Норма алгебраического числа | это... Что такое Норма алгебраического числа? (original) (raw)

Норма алгебраического числа — теоретико-числовая функция, норма, определённая в конечном алгебраическом расширении поля. Норма алгебраического числа равна произведению всех корней минимального многочлена данного числа. Норма отображает кольцо целых элементов расширения поля в кольцо целых элементов поля. Часто в качестве поля берется поле рациональных чисел $\mathbb{Q}~$ , а значит в качестве кольца его целых элементов берется кольцо целых чисел $\mathbb{Z}~$ .

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
- 2.1 Норма в кольце гауссовых целых чисел
- 2.2 Норма в действительном квадратичной расширении кольца целых чисел
3 Применение
4 Литература

Свойства

Норма - мультипликативная функция.
Норма отображает обратимые элементы кольца в обратимые элементы кольца.
Норма сохраняет отношение делимости элементов кольца, в частности, норма простого элемента кольца равна простому элементу кольца

Примеры

Норма в кольце гауссовых целых чисел

Поле $\mathbb{Q}[i]~$ - расширение поля рациональных чисел, кольцо его целых элементов - это кольцо гауссовых целых чисел $K=\mathbb{Z}[i]~$ чисел вида $a+bi, a,b \in\mathbb{Z}~$ . Норма определяется как N(a+bi)=a^2+b^2~ . Для данной нормы - простое число в $\mathbb{Z}~$ тогда и только тогда, когда a+bi~ - простой элемент кольца $\mathbb{Z}[i]~$ . Таким образом, в $\mathbb{Z}[i]~$ 2 и все простые числа вида p=4k+1~ разложимы в $\mathbb{Z}[i]~$ , а простые вида p=4k+3~ - неразложимы, поэтому N(p)=p^2~ .

Множество обратимых элементов кольца $\mathbb{Z}[i]~$ состоит из 4-х элементов: $\{1,-1,i,-i\}~$ , норма только этих элементов равна 1.

Норма в действительном квадратичной расширении кольца целых чисел

Если d>1~ - натуральное число, свободное от квадратов, то $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]~$ - действительное квадратичное расширение кольца степени 2, его элементы имеют вид $a+b\sqrt{d},a,b\in\mathbb{Z}~$ . Норма в $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]~$ определяется как $N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2~$ . Множество обратимых элементов кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]~$ состоит из бесконечного множества элементов - всех решений уравнения Пелля a^2-db^2=1~ .

Применение

Норма применяется для решения диофантовых уравнений. Если уравнение имеет вид $F(x_1,\ldots ,x_n)=A~$ , где F - норма N некоторого кольца алгебраических чисел K, а $\alpha\in K~$ - элемент кольца, определенный энкой $(x_1,\ldots ,x_n)~$ , то для решения уравнения достаточно найти хотя бы одно решение уравнения $N(\alpha)=A~$ и все обратимые элементы кольца $N(\varepsilon)=1~$ . Так могут быть решены обобщенные уравнения Пелля вида a^2-db^2=A~ .

Норма может применятся для исследования простых элементов колец алгебраических чисел и простых элементов кольца $\mathbb{Z}~$ .

Литература

Боревич З.И. Шафаревич И.Р. Теория чисел. — ФизМатЛит, 1985.
Постников М.М. Высшая геометрия. — ФизМатЛит, 1982.