Аксиомы Пеано | это... Что такое Аксиомы Пеано? (original) (raw)

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

Содержание

О неполноте

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна.

Формулировки

Словесная

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число \,\! a непосредственно следует как за числом \,\! b, так и за числом \,\! c, то \,\! b и \,\! c тождественны;
  5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа \,\! n, вытекает, что оно верно для следующего за \,\! n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Введём функцию \,\! S(x), которая сопоставляет числу \,\! x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N};
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1);
  4. S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c);
  5. P(1)\wedge\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n)).

Или так:

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. S:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{1\};
  3. \exist S^{-1};
  4. 1\in M\land\forall n\in \mathbb{N}(n\in M\Rightarrow S(n)\in M)\Rightarrow \mathbb{N}\subset M.

Дословный текст

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

  1. «1 есть натуральное число»;
  2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
  3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
  4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
  5. Аксиома полной индукции.

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. \,\! x+0=x
  2. \,\! x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)
  3. \,\! x \cdot 0=0
  4. \,\! x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1

История

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Пеано. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях Грассмана. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала \epsilon_0. Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Литература