Порядковое число | это... Что такое Порядковое число? (original) (raw)

Порядковое число, ординал (лат. ordinalis — порядковый) или трансфинитное число (лат. trans — за, через + finitio — край, предел) в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Арифметика порядковых чисел
- 3.1 Определения операций
- 3.2 Свойства операций
4 См. также
5 Литература

Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы $\alpha, \beta, \dots.$ Данная статья придерживается таких обозначений.

Свойства

Если $\alpha$ — порядковое число, то каждый элемент $\alpha$ — порядковое число.
Для любых $\alpha, \beta$ выполняется ровно одно из следующих соотношений: $\alpha \in \beta, \alpha = \beta, \beta \in \alpha.$
Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением $\in$ (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением $\in$ ), при этом $\bigcap x$ — наименьший элемент множества , $\bigcup x$ — порядковое число, большее или равное любому из элементов множества . Выражения $\alpha < \beta$ и $\alpha \in \beta$ для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения $\in.$
Для любого вполне упорядоченного множества существует единственное порядковое число, изоморфное (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
Любое $\alpha$ совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем $\alpha$ .
Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
Пустое множество $\varnothing$ — наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
$\alpha$ называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно $\varnothing$ , либо существует непосредственно предшествующее ему $\beta;$ другими словами, если существует $\beta < \alpha,$ но между ними нельзя вставить другое порядковое число $\beta < \gamma < \alpha.$ В последнем случае говорят, что $\alpha$ — порядковое число, следующее за $\beta$ , и пишут: $\alpha = \beta \dot+ 1$ (иногда просто $\alpha = \beta + 1,$ что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда $\varnothing$ тоже относят к предельным порядковым числам).
$\alpha \dot+ 1 = \alpha\cup\{\alpha\}.$
Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:

$\begin{align} &0=\varnothing;\\ &1=\{0\}=0\cup\{0\}=\{\varnothing\};\\ &2=\{0,1\}=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\};\\ &3=\{0,1,2\}=2\cup\{2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\};\\ &\dots \end{align}$

Арифметика порядковых чисел

Определения операций

Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:

$\begin{align} &\alpha + 0 = \alpha\\ &\alpha + (\beta \dot+ 1) = (\alpha + \beta) \dot+ 1\\ &\alpha + \gamma = \sup \{ \alpha + \beta | \beta < \gamma \}, \end{align}$

где третье правило применяется в случае, когда $\gamma$ является предельным порядковым числом.

Используя те же обозначения, определим операцию умножения:

$\begin{align} &\alpha \cdot 0 = 0\\ &\alpha \cdot (\beta \dot+ 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha\\ &\alpha \cdot \gamma = \sup \{ \alpha \cdot \beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}$

Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:

$\begin{align} &\alpha^0 = 1\\ &\alpha^{\beta \dot+ 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha\\ &\alpha^\gamma = \sup \{ \alpha^\beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}$

Свойства операций

См. также

Кардинальное число

Литература

Числовые системы
Счётныемножества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) • Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) • Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) • Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числаи их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) • Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) • Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) • Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другиечисловые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион