Задача о вершинном покрытии | это... Что такое Задача о вершинном покрытии? (original) (raw)

Задача о вершинном покрытии — NP-полная задача информатики в области теории графов. Часто используется в теории сложности для доказательства NP-полноты более сложных задач.

Определение

Вершинное покрытие для неориентированного графа G = (V, E) это множество его вершин , такое что, у каждого ребра графа хотя бы один из концов входит в S.

Размером (size) вершинного покрытия называется число входящих в него вершин.

Пример: Граф, изображённый справа имеет вершинное покрытие $\{1,3,5,6\}$ размера 4. Однако оно не является наименьшим вершинным покрытием, поскольку существуют вершинные покрытия меньшего размера, такие как $\{2,4,5\}$ и $\{1,2,4\}$ .

Задача о вершинном покрытии требует указать минимально возможный размер вершинного покрытия для заданного графа.

На входе: Граф .

Результат: - размер наименьшего вершинного покрытия графа .

Также вопрос можно ставить, как эквивалентную задачу о разрешении:

На входе: Граф и положительное целое число .

Вопрос: Существует ли вершинное покрытие для размера ?

Задача о вершинном покрытии сходна с задачей о независимом наборе. Множество вершин является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда его дополнение $\bar S = V \setminus S$ является независимым набором.

Это следует из того, что граф с вершинами имеет вершинное покрытие размера тогда и только тогда, когда данный граф имеет незавимимый набор размера n-k . В этом смысле обе проблемы равнозначны.

NP-полнота

Поскольку задача о вершинном покрытии является NP-полной, то, к сожалению, неизвестны алгоритмы для её решения за полиномиальное время. Однако существуют алгоритмы, дающие «приближённое» решение этой задачи за полиномиальное время — можно найти вершинное покрытие, в котором число вершин не более чем вдвое превосходит минимально возможное.

Ссылки

Литература

Томас Х. Кормен и др. Глава 36. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 1-е изд. — М.: Московского центра непрерывного математического образования, 2001. — С. 866.

NP-полные задачи
Математика
Исследование операций:Оптимизация:Комбинаторная оптимизация
Максимизационная задача укладки (упаковки)	Упаковка в контейнеры (двумерная упаковка • линейная упаковка • упаковка по весу • упаковка по стоимости) • Задача о ранце (рюкзаке)
Теория графов теория множеств	Задача о вершинном покрытии • Задача о клике • Задача о независимом множестве (наборе) • Задача о покрытии множества • Задача Штейнера • Задача коммивояжёра • Обобщённая задача коммивояжёра
Алгоритмические задачи	Задача выполнимости булевых формул (в конъюнктивной нормальной форме)
Логические игры и головоломки	Обобщённые пятнашки с костяшками >15) (задача поиска кратчайшего решения) • Задачи, решения которых применяются в Тетрис • Задача обобщённого судоку • Задача о заполнении латинского квадрата • Задача какуро
См. также	Прикладная математика • Теория алгоритмов • Динамическое программирование • 21 NP-полная задача Карпа
Классы сложности