Задача о покрытии множества | это... Что такое Задача о покрытии множества? (original) (raw)
Задача о покрытии множества является классическим вопросом информатики и теории сложности. Данная задача обобщает NP-полную задачу о вершинном покрытии (и потому является NP-сложной). Несмотря на то, что задача о вершинном покрытии сходна с данной, подход, использованный в приближённом алгоритме, здесь не работает. Вместо этого мы рассмотрим жадный алгоритм. Даваемое им решение будет хуже оптимального в логарифмическое число раз. С ростом размера задачи качество решения ухудшается, но всё же довольно медленно, поэтому такой подход можно считать полезным.
Содержание
Формулировка задачи
Исходными данными задачи о покрытии множества является конечное множество и семейство его подмножеств. Покрытием называют семейство наименьшей мощности, объединением которых является . В случае постановки вопроса о разрешении на вход подаётся пара и целое число ; вопросом является существование покрывающего множества мощности (или менее).
Пример
В качестве примера задачи о покрытии множества можно привести следующую проблему: представим себе, что для выполнения какого-то задания необходим некий набор навыков . Так же, есть группа людей, владеющих некоторыми из этих навыков. Необходимо сформировать минимальную группу для выполнения задания, включающую в себя носителей всех необходимых навыков.
Методы решения
Жадный приближенный алгоритм
Жадный алгоритм выбирает множества руководствуясь следующим правилом: на каждом этапе выбирается множество, покрывающее максимальное число ещё не покрытых элементов.
Greedy-Set-Cover(U,F)
, где — заданное множество всех элементов, — семейство подмножеств
while
do
- выбираем с наибольшим
return
Можно показать, что такой алгоритм показывает время работы , где — мощность наибольшего множества, и — это сумма первых членов гармонического ряда.
Упрощённый пример работы жадного алгоритма для k = 3
Существует стандартный пример, на котором жадный алгоритм работает за время .
Универсуум состоит из элементов. Набор множеств состоит из попарно не пересекающихся множеств , мощности которых соответственно. Так же имеются два непересекающихся множества , каждое из которых содержит половину элементов из каждого . На таком наборе жадный алгоритм выбирает множества , тогда как оптимальным решением является выбор множеств и Пример подобных входных данных для можно увидеть на рисунке справа.
Генетический алгоритм
Генетический алгоритм представляет собой эвристический метод случайного поиска, основанный на принципе имитации эволюции биологической популяции.
В общем случае в процессе работы алгоритма происходит последовательная смена популяций, каждая из которых является семейством покрытий, называемых особями популяции. Покрытия начальной популяции строятся случайным образом. Наиболее распространённая и лучше всего зарекомендовавшая себя — стационарная схема генетического алгоритма, в которой очередная популяция отличается от предыдущей лишь одной или двумя новыми особями. При построении новой особи из текущей популяции с учётом весов покрытий выбирается "родительская" пара особей , и на их основе в процедуре кроссинговера (случайно или детерминированно) формируется некоторый набор покрывающих множеств . Далее подвергается мутации, после чего из него строится особь, которая замещает в новой популяции покрытие с наибольшим весом. Обновление популяции выполняется некоторое(заданное) число раз, и результатом работы алгоритма является лучшее из найденных покрытий.
Точное решение
Часто задача о покрытии множества формулируется, как задача целочисленного программирования:
Требуется найти .
Где — матрица, причем = 1, если , и = 0 в противном случае; обозначает — вектор из единиц; ; — вектор, где , если входит в покрытие, иначе .
Точное решение может быть получено за полиномиальное время, в случае, когда матрица вполне унимодулярна. Сюда можно отнести и задачу о вершинном покрытии на двудольном графе и дереве. В частности, когда каждый столбец матрицы содержит ровно две единицы, задачу можно рассматривать как задачу рёберного покрытия графа, которая эффективно сводится к поиску максимального паросочетания. На классах задач, где или ограничены константой, задача за полиномиальное время решается методами полного перебора.
Схожие задачи
Литература
- А.В.Еремеев, Л.А.Заозерская, А.А.Колоколов. Задача о покрытии множества: сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования. Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. 2000. Т. 7, N 2. С.22-46.
- Томас Х. Кормен и др. Глава 16. Жадные алгоритмы // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 1-е изд. — М.: Московского центра непрерывного математического образования, 2001. — С. 889-892. — ISBN 5-900916-37-5
Примечания
Ссылки
NP-полные задачи | |
---|---|
Математика | |
Исследование операций:Оптимизация:Комбинаторная оптимизация | |
Максимизационная задача укладки (упаковки) | Упаковка в контейнеры (двумерная упаковка • линейная упаковка • упаковка по весу • упаковка по стоимости) • Задача о ранце (рюкзаке) |
Теория графов теория множеств | Задача о вершинном покрытии • Задача о клике • Задача о независимом множестве (наборе) • Задача о покрытии множества • Задача Штейнера • Задача коммивояжёра • Обобщённая задача коммивояжёра |
Алгоритмические задачи | Задача выполнимости булевых формул (в конъюнктивной нормальной форме) |
Логические игры и головоломки | Обобщённые пятнашки с костяшками >15) (задача поиска кратчайшего решения) • Задачи, решения которых применяются в Тетрис • Задача обобщённого судоку • Задача о заполнении латинского квадрата • Задача какуро |
См. также | Прикладная математика • Теория алгоритмов • Динамическое программирование • 21 NP-полная задача Карпа |
Классы сложности |