Расслоение Хопфа | это... Что такое Расслоение Хопфа? (original) (raw)

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

$S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2.$

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S^3 как единичной сферы в $\mathbb{C}^2$ , а двумерной сферы S^2 как комплексной проективной прямой $\mathbb{C}P^1$ . Тогда отображение

$p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2)$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S^1 :

$\theta : (z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1, \theta z_2),$

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

$S^1=\{\theta \mid \theta\in\mathbb{C}, \, |\theta|=1 \}.$

Обобщения

$S^0\hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1 \,$ (вещественная),

$S^1\hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 \,$ (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

$S^3\hookrightarrow S^7\rightarrow S^4 \,$ (кватернионная),

$S^7\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^8 \,$ (октавная).

На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.

Ссылки

См. также

Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]

Примечания

↑ Р.Пенроуз, В.Риндлер Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78.
↑ Д.Н. Клышко (1993). «Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах». УФН 163 (11): 1.