Сфера Римана | это... Что такое Сфера Римана? (original) (raw)
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 16 июня 2011. |
---|
Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой . Как вещественное многообразие диффеоморфна двумерной сфере .
Сфера Римана на Викискладе? |
---|
Координаты
Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:
.
Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость
Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
![z_0:z_1 = \left\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.
задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.
Преобразования Мёбиуса
Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть — матрица из . Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:
Приложения
Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.
В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.
Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха (en:Bloch sphere) и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. (см. рис.)
В таком случае верны соотношения:
В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.
Внутренность сферы
Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.
Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.
Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.
Ссылки
- Римана Сфера — статья из Большой советской энциклопедии