Локально тривиальное расслоение | это... Что такое Локально тривиальное расслоение? (original) (raw)

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение

Пусть , и суть топологические пространства. Сюрьективное отображение $\pi \colon E\to B$ называется локально тривиальным расслоением пространства над базой со слоем если для всякой точки базы $x\in B$ существует окрестность $U \sub B$ , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм $\varphi\colon \pi^{-1}(U)\to U\times F$ , такой что коммутативна диаграмма

Local triviality condition .

Здесь $\mathrm{proj_1}:\, U\times F \to U$ — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определения

Сечение расслоения — это отображение $s: B \to E$ , такое что $\pi \circ s = \mathrm{id}_B$ . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть — многообразие, а $E \to M$ подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении . Тогда сечение расслоения — это векторное поле без нулей на . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
Множество $F_x = \pi^{-1}\{x\}$ называется слоем расслоения $\pi$ над точкой $x\in B$ . Каждый слой гомеоморфен пространству , поэтому пространство называется общим (или модельным) слоем расслоения $\pi$ ,
Гомеоморфизм $\varphi$ , отождествляющий ограничение расслоения $\pi$ над окрестностью точки с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения $\pi$ над окрестностью точки .
Если $\{U_{\alpha}\}$ — покрытие базы открытыми множествами, и $\varphi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha}) \to U_{\alpha}\times F$ — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство $\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}$ называется тривиализующим атласом расслоения $\pi:E\to B$ .
Предположим локально тривиальное расслоение $\pi:E\to B$ снабжено покрытием $\{U_\alpha\}$ базы с выделенной тривиализацией $\phi_\alpha : U_\alpha\times F\to \pi^{-1}(U_\alpha)$ и сужение любого отображения сличения $\phi_\alpha^{-1}\circ\phi_\beta$ на слой принадлежит некоторой подгруппе группы всех автоморфизмов . Тогда $\pi$ называется локально тривиальным расслоением со структурной группой .

Примеры

$(\alpha, x, f_{\alpha}) = (\beta, x, f_{\beta})$ , если $f_{\beta} = u_{\beta\alpha}f_{\alpha}$

Свойства

$\begin{matrix} M\times [0;1] \! && \stackrel{\tilde f}{\longrightarrow} \! && E \\ \\ && \tilde g \searrow && \downarrow \pi \\ \\ && && B \end{matrix}$

$\dots \to \pi_2(F) \to \pi_2(E) \to \pi_2(B) \to \pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F)$

Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если $x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\gamma}$ , то $u_{\beta\alpha}(x) = u_{\beta\gamma}(x)\circ u_{\gamma\alpha}(x)$ .

где $\{f_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathrm{Aut}\, F\}$ — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta}\to \mathrm{Aut}\, F\}$ . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

Вариации и обобщения

Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
- расслоений Гуревича и
- расслоений Серра.

Литература

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7