Доказательство от противного | это... Что такое Доказательство от противного? (original) (raw)

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Доказательство «от противного» (лат. Contradictio in contrarium) в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы $((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A$ в классической логике и законе двойного отрицания.

Схема доказательства

Доказательство утверждения проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение , которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение $\neg\neg A$ , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению .

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

Пример

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ .

Допустим противное: $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$ .

Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и ; следовательно, m^2 делится на 4, а значит, n^2 и тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$ . Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Доказательство от противного | это... Что такое Доказательство от противного? (original) (raw)

Схема доказательства

Пример

См. также