Метризуемое пространство | это... Что такое Метризуемое пространство? (original) (raw)

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости

В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости: они нормальны и даже коллективно нормальны.
Каждое метризуемое пространство паракомпактно.
Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности.
Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, протяженность, вес.

Достаточное условие метризуемости

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемости

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

Критерий Нагаты — Смирнова: пространство метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База $\mathcal B$ пространства называется регулярной (равномерной), если для всякой точки $x\in X$ и любой ее окрестности O_x найдется окрестность U_x этой точки такая, что число элементов базы $\mathcal B$ , пересекающих одновременно U_x и дополнение к O_x , конечно (соответственно, если множество элементов $\Omega\in \mathcal B$ таких что $\Omega\ni x$ , $\Omega\not\subset O_x$ конечно).

Пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
Для метризуемости -пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

Частные случаи

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

X обладает счетной базой;
X обладает точечно-счетной базой;
в X есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности — причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полноте

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и является множеством типа $G_\delta$ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путем отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.