Конечная группа | это... Что такое Конечная группа? (original) (raw)
Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60°
Конечная группа — алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.
Несмотря на относительную простоту конечных групп, их полной теории создать не удалось. Лучше всего исследованы группы, порядок которых — простое число или степень простого числа (простые, или p-группы), проведена их полная классификация.
Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: топология, криптография, кристаллография, атомная физика, теория орнаментов и др. Они тесно связаны с симметрией исследуемых объектов.
Содержание
- 1 Примеры
- 2 Свойства и связанные определения
- 3 Смежные классы и фактор-группа
- 4 Классификация
- 5 См. также
- 6 Литература
- 7 Ссылки
- 8 Примечания
Примеры
Свойства и связанные определения
Порядок элемента g конечной группы G — минимальное натуральное число m такое, что . Порядок определён для каждого элемента конечной группы; порядок единичного элемента считается равным нулю.
Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
- Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядок группы.
- Следствие 2: любой элемент g конечной группы порядка n удовлетворяет соотношению:
Пример для приведённой системы вычетов: теорема Эйлера в теории чисел.
Частное от деления порядка группы на порядок подгруппы называется индексом этой подгруппы и обозначается . Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа порядка 4 и индекса 2.
Смежные классы и фактор-группа
Пусть H — подгруппа порядка m в конечной группе G порядка n. Будем считать элементы эквивалентными по подгруппе H, если существует такое, что Легко проверить, что это отношение эквивалентности в группе G. Оно разбивает группу на непересекающиеся классы эквивалентности, называемыми (левыми) смежными классами, все они содержат по m элементов, число классов равно индексу подгруппы. Каждый элемент входит в смежный класс , образованный всевозможными произведениями g на элементы подгруппы H.
Если подгруппа H является нормальным делителем, то можно перенести групповую операцию на множество смежных классов, определив:
Результат такой операции не зависит от выбора представителей и превращает множество смежных классов в группу, называемую фактор-группой. Она обозначается . Порядок фактор-группы равен индексу соответствующей подгруппы.
Классификация
Конечные циклические группы
Наиболее простую структуру имеют конечные циклические группы, все элементы которых можно представить как последовательные степени некоторого фиксированного элемента
(n — порядок группы).
Элемент a называется образующим (или первообразным) для данной группы. Количество образующих элементов для группы порядка n равно (функция Эйлера). Пример: группа корней из единицы.
Циклические группы всегда коммутативны (абелевы). Другие свойства:
- Любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда вытекает, что, с точностью до изоморфизма, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
- Группа порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент того же порядка n.
- Циклическая группа имеет нетривиальные подгруппы тогда и только тогда, когда её порядок является составным числом.
- Любая подгруппа циклической группы тоже циклична. Циклической будет и всякая фактор-группа циклической группы G/H.
- Не всякая коммутативная конечная группа является циклической. Простейший контрпример: четверная группа Клейна.
Группы с простым порядком (p-группы)
Пусть порядок группы — простое число p, тогда имеют место следующие свойства.
- Группа является циклической.
- Группа коммутативна (абелева) и нильпотентна.
- Все группы одного и того же порядка p изоморфны друг другу.
Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть p-группами. См. их общую классификацию.
Коммутативные (абелевы) группы
Основная теорема (Фробениус): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как прямая сумма p-групп. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.
Количество различных групп заданного порядка
Большой практический интерес представляет задача определить, сколько различных групп имеет заданный порядок n (изоморфные группы не различаются) и сколько из этих групп коммутативны.
Порядок группы | Число групп[1] | Коммутативных | Некоммутативных |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 0 |
2 | 1 | 1 | 0 |
3 | 1 | 1 | 0 |
4 | 2 | 2 | 0 |
5 | 1 | 1 | 0 |
6 | 2 | 1 | 1 |
7 | 1 | 1 | 0 |
8 | 5 | 3 | 2 |
9 | 2 | 2 | 0 |
10 | 2 | 1 | 1 |
11 | 1 | 1 | 0 |
12 | 5 | 2 | 3 |
13 | 1 | 1 | 0 |
14 | 2 | 1 | 1 |
15 | 1 | 1 | 0 |
16 | 14 | 5 | 9 |
17 | 1 | 1 | 0 |
18 | 5 | 2 | 3 |
19 | 1 | 1 | 0 |
20 | 5 | 2 | 3 |
21 | 2 | 1 | 1 |
22 | 2 | 1 | 1 |
23 | 1 | 1 | 0 |
24 | 15 | 3 | 12 |
25 | 2 | 2 | 0 |
См. также
- Бесконечная группа
- Действие группы
- Классификация простых конечных групп
- Конечно определённая группа
- Локально конечная группа
- Представление группы
- Теоремы Силова
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
- Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — Мир, 1985.
- Конечная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
- Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Ссылки
- Finite Group на Wolfram Math World. (англ.)
Примечания
- ↑ John F. Humphreys, A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996, pp. 238-242.