Ω-consistent theory (original) (raw)
In der mathematischen Logik wird eine Theorie als ω-konsistent (oder omega-konsistent) bezeichnet, falls sie keine Existenzaussage beweisen kann, wenn sie alle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann.
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| dbo:abstract | In der mathematischen Logik wird eine Theorie als ω-konsistent (oder omega-konsistent) bezeichnet, falls sie keine Existenzaussage beweisen kann, wenn sie alle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann. (de) En logique mathématique une théorie arithmétique est appelée théorie ω-cohérente (oméga-cohérente) quand, pour toute propriété P des nombres entiers que l'on peut exprimer dans le langage de la théorie, si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie,alors ¬∀x P(x) n'est pas démontrable dans la théorie (¬ pour la négation, ∀ pour la quantification universelle, « pour tout »). Quand on prend pour P un énoncé clos (qui ne dépend pas de x) on retrouve la définition de la cohérence, appelée parfois dans ce contexte cohérence simple, qui est donc conséquence de l'ω-cohérence. (fr) 数学基礎論においてω無矛盾（オメガむむじゅん、英: ω-consistent）とは、公理系の性質を表す概念のひとつである。不完全性定理を示すためにクルト・ゲーデルによって導入された。ω無矛盾性は、通常の無矛盾性よりも強い性質である。 ヒルベルト・プログラムの下、数学の完全性と無矛盾性を示そうとする試みがなされていたが、1931年にゲーデルの発表した不完全性定理は、ある意味でそのふたつが両立することは不可能であるというものであった。ゲーデルは「公理系が無矛盾ならば不完全」であることを示そうとしたが果たせず、それよりも少し弱い「ω無矛盾ならば不完全」であることを示した。しかし1936年アメリカの論理学者ジョン・バークリー・ロッサーによって、ゲーデルの当初の目的である「無矛盾ならば不完全」が示された。今日では、ゲーデルによるω無矛盾性を用いた前者の定理を「第1不完全性定理」と呼ぶ。 (ja) In mathematical logic, an ω-consistent (or omega-consistent, also called numerically segregative) theory is a theory (collection of sentences) that is not only (syntactically) consistent (that is, does not prove a contradiction), but also avoids proving certain infinite combinations of sentences that are intuitively contradictory. The name is due to Kurt Gödel, who introduced the concept in the course of proving the incompleteness theorem. (en) |
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