Adaptive step size (original) (raw)
In mathematics and numerical analysis, an adaptive step size is used in some methods for the numerical solution of ordinary differential equations (including the special case of numerical integration) in order to control the errors of the method and to ensure stability properties such as A-stability. Using an adaptive stepsize is of particular importance when there is a large variation in the size of the derivative. For example, when modeling the motion of a satellite about the earth as a standard Kepler orbit, a fixed time-stepping method such as the Euler method may be sufficient. However things are more difficult if one wishes to model the motion of a spacecraft taking into account both the Earth and the Moon as in the Three-body problem. There, scenarios emerge where one can take large
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| dbo:abstract | In mathematics and numerical analysis, an adaptive step size is used in some methods for the numerical solution of ordinary differential equations (including the special case of numerical integration) in order to control the errors of the method and to ensure stability properties such as A-stability. Using an adaptive stepsize is of particular importance when there is a large variation in the size of the derivative. For example, when modeling the motion of a satellite about the earth as a standard Kepler orbit, a fixed time-stepping method such as the Euler method may be sufficient. However things are more difficult if one wishes to model the motion of a spacecraft taking into account both the Earth and the Moon as in the Three-body problem. There, scenarios emerge where one can take large time steps when the spacecraft is far from the Earth and Moon, but if the spacecraft gets close to colliding with one of the planetary bodies, then small time steps are needed. Romberg's method and Runge–Kutta–Fehlberg are examples of a numerical integration methods which use an adaptive stepsize. (en) Schrittweitensteuerung ist eine Technik, die in der numerischen Mathematik bei Algorithmen angewendet werden kann, die ein kontinuierliches Problem durch Diskretisierung in einzelne Schritte lösen. Verschiedene Problemklassen führen auf die Aufgabe eine Kurve für ein gewisses -Intervall in zu konstruieren. Dazu gehören die Lösung eines Anfangswertproblems für gewöhnliche Differentialgleichungen und die Verfolgung einer Lösungskurve nichtlinearerer Gleichungssysteme mit Homotopieverfahren.Solche Probleme werden in der numerischen Mathematik oft mit Verfahren gelöst, die die Lösung nur schrittweise an einzelnen Punkten berechnen, also Näherungen , wobei als Anfangswert bekannt ist.Die verwendeten Schrittweiten nennt man .Typischerweise ist der Rechenaufwand für einen einzelnen Schritt i.w. konstant und der Fehler hängt ab von einer Potenz der Schrittweite, er hat die Form . Man steht dann vor der Frage, wie groß die Schrittweiten zu wählen sind, um eine gewünschte Genauigkeit insgesamt zu erreichen.Dabei ist zu beachten, dass die Vorfaktoren von der unbekannten Lösungskurve abhängen, insbesondere von ihren Ableitungen , die Größenordnung dieser Vorfaktoren kann daher stark schwanken.Daher verwendet man bei modernen Algorithmen keine konstante Schrittweite .Die wichtigsten Argumente für eine Schrittweitensteuerung sind * aus Effizienzgründen ist es sinnvoll bei kleinen Werten mit großen Schrittweiten und bei großen Werten mit kleinen zu arbeiten, um einen gleichmäßig kleinen Gesamtfehler mit möglichst wenigen Schritten zu erreichen. * eine feste Schrittweite müsste sich nach der ungünstigsten Stelle mit dem größten richten und man würde in weniger kritischen Bereichen viel zu viele Schritte machen, was bei Anfangswertproblemen auch zu großen Rundungsfehlern in der Lösung führen kann. * Schrittweitensteuerung ermöglicht die Programmierung automatischer, selbststeuernder Algorithmen. (de) |
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