Axiom of extensionality (original) (raw)
En teoria de conjunts, l'axioma d'extensionalitat és un axioma que estableix que dos conjunts són iguals si i només si tenen els mateixos elements.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En teoria de conjunts, l'axioma d'extensionalitat és un axioma que estableix que dos conjunts són iguals si i només si tenen els mateixos elements. (ca) In axiomatic set theory and the branches of logic, mathematics, and computer science that use it, the axiom of extensionality, or axiom of extension, is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. It says that sets having the same elements are the same set. (en) Das Extensionalitätsaxiom ist ein Axiom der Mengenlehre, das 1888 von Richard Dedekind formuliert wurde und besagt, dass zwei Klassen oder Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben. Von Dedekind übernahm Ernst Zermelo das Extensionalitätsaxiom in die erste axiomatische Mengenlehre, die Zermelo-Mengenlehre von 1907. Von dort aus kam es in die erweiterte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und alle späteren Versionen der axiomatischen Mengenlehre. (de) En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. (es) L’axiome d’extensionnalité est l’un des axiomes-clés de la plupart des théories des ensembles, en particulier, des théories des ensembles de Zermelo, et de Zermelo-Fraenkel (ZF). Il énonce essentiellement qu'il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments pour montrer que ces deux ensembles sont égaux, au sens où ils ont les mêmes propriétés, aucune propriété ne permettra de distinguer un ensemble de l'autre. Dit d'une façon plus approximative, il affirme que quelle que soit la façon dont on définit un ensemble, celui-ci ne dépend que de son extension, les éléments qui lui appartiennent, et pas de la façon dont il a été défini. Cet axiome peut paraître évident pour la notion intuitive d'ensemble, mais a des conséquences importantes sur la complexité de l'égalité dans la théorie. Pour vérifier l'égalité de deux ensembles, on est amené, à cause par exemple du schéma d'axiomes de compréhension, à vérifier des équivalences entre énoncés de complexité arbitraire, ces énoncés eux-mêmes pouvant utiliser l'égalité entre ensembles (rappelons qu'il n'y a que des ensembles dans les théories des ensembles usuelles). L’axiome est donc intimement lié à la notion d’égalité de deux ensembles. Il permet de montrer l’unicité d’ensembles caractérisés par la donnée de leurs éléments, tels l’ensemble vide, les singletons, les paires, l'ensemble des parties d'un ensemble… (fr) 外延性の公理（がいえんせいのこうり、英: axiom of extensionality）は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。 (ja) In de verzamelingenleer stelt het gelijkheidsaxioma, of de grondstelling van extensionaliteit, dat twee verzamelingen gelijk zijn als ze precies dezelfde elementen hebben. (nl) Nella teoria degli insiemi, l'assioma di estensionalità, o assioma dell'estensione, è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma è scritto: oppure a parole: Dato un generico insieme A e dato un generico insieme B, A è uguale a B se e solo se, dato un qualsiasi altro C, C è un elemento di A se e solo se C è un elemento di B. (Non è necessario che C sia un insieme; ma in ZF tutti gli oggetti sono insiemi. Vedi più avanti per vedere quando questo è violato.) Per comprendere questo assioma, si noti che la clausola fra parentesi nell'espressione simbolica riportata sopra semplicemente afferma che A e B hanno esattamente gli stessi elementi.Quindi, quello che l'assioma sta dicendo è che due insiemi sono uguali se e solo se hanno esattamente gli stessi elementi.Essenzialmente il senso è questo: L'insieme A è determinato unicamente (e univocamente) dai suoi elementi. L'assioma dell'estensionalità può essere usato in ogni espressione della forma,dove P è un predicato unario che non fa menzione di A o B, per definire un unico insieme i cui elementi sono precisamente gli insiemi che soddisfano il predicato .Possiamo introdurre un nuovo simbolo per ; è in questo modo che in definitiva funzionano le definizioni nella matematica ordinaria, quando le loro affermazioni sono ridotte in forma puramente insiemistica. L'assioma di estensionalità è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in praticamente tutte le assiomatizzazioni della teoria degli insiemi.Tuttavia può richiedere delle modifiche in alcuni casi, come si vede più avanti. Fu Leibniz il primo ad utilizzare i termini di estensione e intensione nell'ambito della logica. Che si tratti di una proprietà o di una relazione n-aria (con n>1), l'estensione è l'insieme di individui che possiedono la caratteristica stabilita come intensione (di un concetto). (it) Aksjomat ekstensjonalności, aksjomat jednoznaczności, aksjomat równości – jeden z aksjomatów Zermela-Fraenkla w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermela w 1908 roku. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne. Formalnie aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu (gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym): (pl) O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência e igualdade de conjuntos estão relacionadas. O seu enunciado diz: Se dois conjuntos e são tais que todo elemento de é elemento de e todo elemento de é elemento de , então e são iguais. Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma: O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos. Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos, que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando sempre que for ancestral de . É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais. Em termos da inclusão de conjuntos podemos ainda expressar o axioma da extensão como Em palavras, A inclusão de conjuntos é anti-simétrica. A recíproca do axioma da extensão, é evidentemente verdadeira e alguns autores referem-se a proposição completa como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma. (pt) Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств: Если переписать аксиому объёмности в виде , тогда названную аксиому можно сформулировать следующим образом: «Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.» Другая формулировка: «Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.» (ru) Аксіомою об'ємності називається наступне висловлювання теорії множин: Якщо переписати аксіому об'ємності у вигляді , тоді дану аксіому можна сформулювати так: "Якими би не були дві множини, якщо кожен елемент першої множини належить другій множині, а кожен елемент другої множини належить першій множині, тоді перша множина є ідентичною другій множині." Інше формулювання: «Дві множини рівні в тому і тільки в тому випадку, коли вони складаються з одних і тих самих елементів.» (uk) Extensionalitetsaxiomet är ett av de mängdteoretiska axiomen. Det är till exempel ett av axiomen i Zermelo-Fraenkels mängdteori, med urvalsaxiomet som är det dominerande sättet att axiomatisera mängdteori. Uttryckt med predikatlogikens formella språk lyder axiomet: Med ord kan axiomet uttryckas: För varje mängd A och B gäller att, A är lika med B om och endast om det för varje mängd C gäller att C är ett element i A om och endast om det också är ett element i B. Mindre formellt betyder axiomet helt enkelt att mängderna A och B är lika om och endast om de består av precis samma element, d.v.s. En mängd bestäms unikt av sina element. Man kan se axiomet som ett sätt att definiera vad som menas med att två mängder är lika. (sv) 在公理化集合论与使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，外延性公理或外延公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。 (zh) |
| dbo:wikiPageID | 52376 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 5200 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1080928901 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Predicate_logic dbr:Definition dbr:Paul_Halmos dbr:Thomas_Jech dbr:Mathematics dbr:Equality_(mathematics) dbr:Logic dbr:Computer_science dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Empty_set dbr:Axiomatic_set_theory dbr:Formal_language dbc:Axioms_of_set_theory dbr:Kenneth_Kunen dbr:Axiom dbr:Axiom_of_regularity dbc:Urelements dbr:If_and_only_if dbr:Set_(mathematics) dbr:Extensionality dbr:Predicate_(mathematics) dbr:Ur-element dbr:Equal_(math) dbr:Given_any dbr:Logical_type |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Set_theory dbt:ISBN dbt:No_footnotes dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Axioms_of_set_theory dbc:Urelements |
| gold:hypernym | dbr:Axioms |
| rdf:type | yago:WikicatAxiomsOfSetTheory yago:WikicatMathematicalAxioms yago:Abstraction100002137 yago:AuditoryCommunication107109019 yago:Communication100033020 yago:Maxim107152948 yago:Saying107151380 yago:Speech107109196 |
| rdfs:comment | En teoria de conjunts, l'axioma d'extensionalitat és un axioma que estableix que dos conjunts són iguals si i només si tenen els mateixos elements. (ca) In axiomatic set theory and the branches of logic, mathematics, and computer science that use it, the axiom of extensionality, or axiom of extension, is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. It says that sets having the same elements are the same set. (en) Das Extensionalitätsaxiom ist ein Axiom der Mengenlehre, das 1888 von Richard Dedekind formuliert wurde und besagt, dass zwei Klassen oder Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben. Von Dedekind übernahm Ernst Zermelo das Extensionalitätsaxiom in die erste axiomatische Mengenlehre, die Zermelo-Mengenlehre von 1907. Von dort aus kam es in die erweiterte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und alle späteren Versionen der axiomatischen Mengenlehre. (de) En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. (es) 外延性の公理（がいえんせいのこうり、英: axiom of extensionality）は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。 (ja) In de verzamelingenleer stelt het gelijkheidsaxioma, of de grondstelling van extensionaliteit, dat twee verzamelingen gelijk zijn als ze precies dezelfde elementen hebben. (nl) Aksjomat ekstensjonalności, aksjomat jednoznaczności, aksjomat równości – jeden z aksjomatów Zermela-Fraenkla w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermela w 1908 roku. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne. Formalnie aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu (gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym): (pl) Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств: Если переписать аксиому объёмности в виде , тогда названную аксиому можно сформулировать следующим образом: «Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.» Другая формулировка: «Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов.» (ru) Аксіомою об'ємності називається наступне висловлювання теорії множин: Якщо переписати аксіому об'ємності у вигляді , тоді дану аксіому можна сформулювати так: "Якими би не були дві множини, якщо кожен елемент першої множини належить другій множині, а кожен елемент другої множини належить першій множині, тоді перша множина є ідентичною другій множині." Інше формулювання: «Дві множини рівні в тому і тільки в тому випадку, коли вони складаються з одних і тих самих елементів.» (uk) 在公理化集合论与使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中，外延性公理或外延公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。 (zh) L’axiome d’extensionnalité est l’un des axiomes-clés de la plupart des théories des ensembles, en particulier, des théories des ensembles de Zermelo, et de Zermelo-Fraenkel (ZF). Il énonce essentiellement qu'il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments pour montrer que ces deux ensembles sont égaux, au sens où ils ont les mêmes propriétés, aucune propriété ne permettra de distinguer un ensemble de l'autre. Dit d'une façon plus approximative, il affirme que quelle que soit la façon dont on définit un ensemble, celui-ci ne dépend que de son extension, les éléments qui lui appartiennent, et pas de la façon dont il a été défini. (fr) Nella teoria degli insiemi, l'assioma di estensionalità, o assioma dell'estensione, è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma è scritto: oppure a parole: Dato un generico insieme A e dato un generico insieme B, A è uguale a B se e solo se, dato un qualsiasi altro C, C è un elemento di A se e solo se C è un elemento di B. (Non è necessario che C sia un insieme; ma in ZF tutti gli oggetti sono insiemi. Vedi più avanti per vedere quando questo è violato.) (it) O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência e igualdade de conjuntos estão relacionadas. O seu enunciado diz: Se dois conjuntos e são tais que todo elemento de é elemento de e todo elemento de é elemento de , então e são iguais. Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma: Em termos da inclusão de conjuntos podemos ainda expressar o axioma da extensão como Em palavras, A recíproca do axioma da extensão, (pt) Extensionalitetsaxiomet är ett av de mängdteoretiska axiomen. Det är till exempel ett av axiomen i Zermelo-Fraenkels mängdteori, med urvalsaxiomet som är det dominerande sättet att axiomatisera mängdteori. Uttryckt med predikatlogikens formella språk lyder axiomet: Med ord kan axiomet uttryckas: För varje mängd A och B gäller att, A är lika med B om och endast om det för varje mängd C gäller att C är ett element i A om och endast om det också är ett element i B. Mindre formellt betyder axiomet helt enkelt att mängderna A och B är lika om och endast om de består av precis samma element, d.v.s. (sv) |
| rdfs:label | Axioma d'extensionalitat (ca) Extensionalitätsaxiom (de) Axiom of extensionality (en) Axioma de extensionalidad (es) Aksioma perluasan (in) Axiome d'extensionnalité (fr) Assioma di estensionalità (it) 外延性の公理 (ja) Gelijkheidsaxioma (nl) Aksjomat ekstensjonalności (pl) Axioma da extensão (pt) Extensionalitetsaxiomet (sv) Аксиома объёмности (ru) 外延公理 (zh) Аксіома об'ємності (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Axiom of extensionality wikidata:Axiom of extensionality dbpedia-ca:Axiom of extensionality dbpedia-de:Axiom of extensionality dbpedia-es:Axiom of extensionality dbpedia-et:Axiom of extensionality dbpedia-fa:Axiom of extensionality dbpedia-fr:Axiom of extensionality dbpedia-he:Axiom of extensionality dbpedia-hr:Axiom of extensionality dbpedia-hu:Axiom of extensionality dbpedia-id:Axiom of extensionality dbpedia-it:Axiom of extensionality dbpedia-ja:Axiom of extensionality dbpedia-lmo:Axiom of extensionality dbpedia-nl:Axiom of extensionality dbpedia-pl:Axiom of extensionality dbpedia-pt:Axiom of extensionality dbpedia-ru:Axiom of extensionality dbpedia-sv:Axiom of extensionality dbpedia-uk:Axiom of extensionality dbpedia-zh:Axiom of extensionality https://global.dbpedia.org/id/4ueuU yago-res:Axiom of extensionality |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Axiom_of_extensionality?oldid=1080928901&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Axiom_of_extensionality |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Extension |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Axiom_of_Extensionality dbr:Axiom_of_equality dbr:Axiom_extensionality dbr:Axiom_of_extension dbr:Extensionality_axiom |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Extension dbr:List_of_axioms dbr:Mostowski_collapse_lemma dbr:New_Foundations dbr:Mereotopology dbr:Peano_axioms dbr:Von_Neumann–Bernays–Gödel_set_theory dbr:Index_of_philosophy_articles_(A–C) dbr:Quasi-set_theory dbr:Positive_set_theory dbr:Constructible_universe dbr:Russell's_paradox dbr:Ordinal_definable_set dbr:Tarski–Grothendieck_set_theory dbr:Equality_(mathematics) dbr:Glossary_of_set_theory dbr:Naive_set_theory dbr:Constructive_set_theory dbr:Controversy_over_Cantor's_theory dbr:Equivalents_of_the_Axiom_of_Choice dbr:Empty_set dbr:Kripke–Platek_set_theory dbr:Kripke–Platek_set_theory_with_urelements dbr:Axiom_of_Extensionality dbr:Axiom_schema_of_specification dbr:First-order_logic dbr:Diaconescu's_theorem dbr:Reflection_principle dbr:Ackermann_set_theory dbr:Code_(set_theory) dbr:Axiom_of_empty_set dbr:Axiom_of_infinity dbr:Axiom_of_pairing dbr:Axiom_of_power_set dbr:Axiom_of_regularity dbr:Class_logic dbr:Axiom_of_equality dbr:Extension_(semantics) dbr:Extensionality dbr:ST_type_theory dbr:Scott–Potter_set_theory dbr:Morse–Kelley_set_theory dbr:Urelement dbr:Non-well-founded_set_theory dbr:S_(set_theory) dbr:Zermelo_set_theory dbr:S2S_(mathematics) dbr:Axiom_extensionality dbr:Axiom_of_extension dbr:Extensionality_axiom |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Axiom_of_extensionality |