Bialgebra (original) (raw)
Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, a bialgebra over a field K is a vector space over K which is both a unital associative algebra and a counital coassociative coalgebra. The algebraic and coalgebraic structures are made compatible with a few more axioms. Specifically, the comultiplication and the counit are both unital algebra homomorphisms, or equivalently, the multiplication and the unit of the algebra both are coalgebra morphisms. (These statements are equivalent since they are expressed by the same commutative diagrams.) Similar bialgebras are related by bialgebra homomorphisms. A bialgebra homomorphism is a linear map that is both an algebra and a coalgebra homomorphism. As reflected in the symmetry of the commutative diagrams, the definition of bialgebra is self-dual, so if one can define a dual of B (which is always possible if B is finite-dimensional), then it is automatically a bialgebra. (en) Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören. (de) En matemáticas, una biálgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial sobre K que es un álgebra asociativa unitaria y una coálgebra. Las estructuras algebraica y coalgebraica deberán cumplir varios axiomas para decirse compatibles. En particular, la comultiplicación y la counidad deben ser ambos homomorfismos de álgebras o, equivalentemente, la multiplicación y la unidad del álgebra deben ser morfismos de la coálgebra (ambas condiciones son equivalentes ya que están expresadas por el mismo diagrama conmutativo). Las biálgebras similares están relacionadas por homomorfismos de biálgebras. Un homomorfismo de biálgebras es una aplicación lineal que es al mismo tiempo homomorfismo de álgebras y homomorfismo de coálgebras. Como se refleja en la simetría de los diagramas conmutativos, la definición de biálgebras es autodual, de forma que si se define un dual de B (lo cual es siempre posible si B es de dimensión finita), entonces es automáticamente una biálgebra (es) En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres. (fr) Dalam matematika, sebuah bialjabar atas medan K adalah ruang vektor atas K yang merupakan aljabar asosiatif dan . Struktur aljabar dan koaljabar dibuat secara kompatibel dengan beberapa aksioma. Secara khusus, dan keduanya merupakan aljabar unital homomorfisme, atau ekuivalen, perkalian dan unital aljabar keduanya adalah (pernyataan ini ekuivalen karena dinyatakan dengan diagram komutatif yang sama). Bialjabar serupa dihubungkan oleh homomorfisme bialjabar. Homomorfisme bialjabar adalah peta linear yang merupakan aljabar dan homomorfisme koaljabar. Sebagaimana tercermin dalam simetri diagram komutatif, definisi bialjabar adalah , apabila mendefinisikan dari B (yang selalu dimungkinkan jika B adalah dimensi-hingga), maka secara otomatis merupakan bialjabar. (in) 数学において，体 K 上の双代数（そうだいすう，英: bialgebra）とは，K 上のベクトル空間であって，単位的結合代数かつ余代数であるようなものである．代数構造と余代数構造はさらなる公理によって整合性を持つ．具体的には，余積と余単位はともに単位的代数の準同型である，あるいは同じことであるが，代数の積と単位射はともにである．（これらのステートメントは同じ可換図式によって表されるから同値である．） 類似している双代数は双代数準同型によって関連付けられる．双代数の準同型は代数と余代数両方の準同型であるような線型写像である． 可換図式の対称性に反映されているように，双代数の定義は自己双対であり，したがって，B の双対を定義できるならば（B が有限次元ならいつでも可能である），自動的に双代数になる． (ja) Биалгебра — векторное пространство над полем, которое одновременно является унитальной ассоциативной алгеброй и коунитальной коассоциативной коалгеброй, так что алгебраическая и коалгебраическая структуры согласованы. А именно, коумножение и коединица являются гомоморфизмами унитальной алгебры, или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры (эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами). Гомоморфизм биалгебр — это линейное отображение, которое является одновременно гомоморфизмом соответствующих алгебр и коалгебр. Из симметрии коммутативных диаграмм видно, что определение биалгебры является самодвойственным, поэтому, если возможно определить двойственное пространство к векторному пространству, на котором строится биалгебра (что всегда возможно, если оно конечномерно), то оно автоматически является биалгеброй. (ru) 在數學中，域 上的雙代數是兼具 上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Bialgebra2.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 310887 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10156 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1109636191 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Probability_distribution dbr:Multilinear_map dbr:Algebra_over_a_field dbr:Homomorphism dbr:Homomorphisms dbc:Coalgebras dbr:Unital_algebra dbr:Vector_space dbr:Lie_bialgebra dbc:Monoidal_categories dbr:Convolution dbr:Counit dbr:Mathematics dbr:Quasi-bialgebra dbr:Monoid dbr:Commutative_diagram dbr:Frobenius_algebra dbr:Hopf_algebra dbr:Dual_(category_theory) dbr:Linear_map dbr:Dual_space dbr:Field_(mathematics) dbr:Random_variable dbr:Group_(mathematics) dbr:Coalgebra dbr:Associative_algebra dbc:Bialgebras dbr:Marginal_distribution dbr:Tensor_algebra dbr:Multiplication_as_juxtaposition dbr:Comultiplication dbr:File:Bialgebra1.svg dbr:File:Bialgebra2.svg dbr:File:Bialgebra3.svg dbr:File:Bialgebra4a.svg dbr:File:Bialgebra_Diagram.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Algebraic_structures dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:More_citations_needed dbt:Reflist dbt:Google_books |
| dcterms:subject | dbc:Coalgebras dbc:Monoidal_categories dbc:Bialgebras |
| gold:hypernym | dbr:Space |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatMonoidalCategories yago:Abstraction100002137 yago:Class107997703 yago:Collection107951464 yago:Group100031264 yago:WikicatQuantumGroups |
| rdfs:comment | Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören. (de) En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres. (fr) 数学において，体 K 上の双代数（そうだいすう，英: bialgebra）とは，K 上のベクトル空間であって，単位的結合代数かつ余代数であるようなものである．代数構造と余代数構造はさらなる公理によって整合性を持つ．具体的には，余積と余単位はともに単位的代数の準同型である，あるいは同じことであるが，代数の積と単位射はともにである．（これらのステートメントは同じ可換図式によって表されるから同値である．） 類似している双代数は双代数準同型によって関連付けられる．双代数の準同型は代数と余代数両方の準同型であるような線型写像である． 可換図式の対称性に反映されているように，双代数の定義は自己双対であり，したがって，B の双対を定義できるならば（B が有限次元ならいつでも可能である），自動的に双代数になる． (ja) 在數學中，域 上的雙代數是兼具 上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。 (zh) In mathematics, a bialgebra over a field K is a vector space over K which is both a unital associative algebra and a counital coassociative coalgebra. The algebraic and coalgebraic structures are made compatible with a few more axioms. Specifically, the comultiplication and the counit are both unital algebra homomorphisms, or equivalently, the multiplication and the unit of the algebra both are coalgebra morphisms. (These statements are equivalent since they are expressed by the same commutative diagrams.) (en) En matemáticas, una biálgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial sobre K que es un álgebra asociativa unitaria y una coálgebra. Las estructuras algebraica y coalgebraica deberán cumplir varios axiomas para decirse compatibles. En particular, la comultiplicación y la counidad deben ser ambos homomorfismos de álgebras o, equivalentemente, la multiplicación y la unidad del álgebra deben ser morfismos de la coálgebra (ambas condiciones son equivalentes ya que están expresadas por el mismo diagrama conmutativo). (es) Dalam matematika, sebuah bialjabar atas medan K adalah ruang vektor atas K yang merupakan aljabar asosiatif dan . Struktur aljabar dan koaljabar dibuat secara kompatibel dengan beberapa aksioma. Secara khusus, dan keduanya merupakan aljabar unital homomorfisme, atau ekuivalen, perkalian dan unital aljabar keduanya adalah (pernyataan ini ekuivalen karena dinyatakan dengan diagram komutatif yang sama). Bialjabar serupa dihubungkan oleh homomorfisme bialjabar. Homomorfisme bialjabar adalah peta linear yang merupakan aljabar dan homomorfisme koaljabar. (in) Биалгебра — векторное пространство над полем, которое одновременно является унитальной ассоциативной алгеброй и коунитальной коассоциативной коалгеброй, так что алгебраическая и коалгебраическая структуры согласованы. А именно, коумножение и коединица являются гомоморфизмами унитальной алгебры, или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры (эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами). (ru) |
| rdfs:label | Bialgebra (de) Biálgebra (es) Bialgebra (en) Bialgèbre (fr) Bialjabar (in) 双代数 (ja) Биалгебра (ru) 雙代數 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Bialgebra yago-res:Bialgebra http://d-nb.info/gnd/4316695-7 wikidata:Bialgebra dbpedia-de:Bialgebra dbpedia-es:Bialgebra dbpedia-fr:Bialgebra dbpedia-id:Bialgebra dbpedia-ja:Bialgebra dbpedia-ru:Bialgebra dbpedia-zh:Bialgebra https://global.dbpedia.org/id/4adUY |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Bialgebra?oldid=1109636191&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Bialgebra1.svg wiki-commons:Special:FilePath/Bialgebra2.svg wiki-commons:Special:FilePath/Bialgebra3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Bialgebra4a.svg wiki-commons:Special:FilePath/Bialgebra_Diagram.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Bialgebra |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Bi-algebra dbr:Bigebra |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:Monoidal_monad dbr:Internal_bialgebroid dbr:R-algebroid dbr:Lie_bialgebra dbr:Convolution dbr:Quasi-bialgebra dbr:Bogdanov_affair dbr:Bialgebroid dbr:Frobenius_algebra dbr:Hopf_algebra dbr:6-j_symbol dbr:Hasse–Schmidt_derivation dbr:Schur_algebra dbr:Weak_Hopf_algebra dbr:Exterior_algebra dbr:Basil_Hiley dbr:Dimension_(vector_space) dbr:Bimodule dbr:Coalgebra dbr:Cofree_coalgebra dbr:Associative_algebra dbr:Associative_bialgebroid dbr:Tensor_algebra dbr:Manin_matrix dbr:Representation_theory_of_Hopf_algebras dbr:Outline_of_algebraic_structures dbr:Bi-algebra dbr:Bigebra |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Bialgebra |
