Biorthogonal system (original) (raw)
Biorthogonalität ist eine Abwandlung der bekannten Orthogonalität. Man spricht von biorthogonalen Matrizen und , wenn die Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen, , wobei eine Diagonalmatrix bezeichnet. Die Matrizen sind biorthonormal, wenn die Diagonalmatrix die Identität ist, also wenn . Die Definitionen für Orthogonalität und Orthonormalität erhält man, indem man wählt. Biorthogonalität tritt im Kontext vom unsymmetrischen Lanczos-Verfahren und beim zweiseitigen Gram-Schmidt auf.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Biorthogonalität ist eine Abwandlung der bekannten Orthogonalität. Man spricht von biorthogonalen Matrizen und , wenn die Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen, , wobei eine Diagonalmatrix bezeichnet. Die Matrizen sind biorthonormal, wenn die Diagonalmatrix die Identität ist, also wenn . Die Definitionen für Orthogonalität und Orthonormalität erhält man, indem man wählt. Biorthogonalität tritt im Kontext vom unsymmetrischen Lanczos-Verfahren und beim zweiseitigen Gram-Schmidt auf. (de) In mathematics, a biorthogonal system is a pair of indexed families of vectors such thatwhere and form a pair of topological vector spaces that are in duality, is a bilinear mapping and is the Kronecker delta. An example is the pair of sets of respectively left and right eigenvectors of a matrix, indexed by eigenvalue, if the eigenvalues are distinct. A biorthogonal system in which and is an orthonormal system. (en) 数学において、双対性（双線型形式 ⟨,⟩）を持つ位相線型空間の対 E, F に関する双直交系（そうちょっこうけい、英: biorthogonal system; 二重直交系）とは、 を満たす（I は適当な添字集合で、δ はクロネッカーのデルタ）ベクトルの族の対 ({vi ∈ E}, {ui ∈ F}) を言う。E = F かつ vi = ui (∀i∈ I) なるときの双直交系は、すなわち正規直交系である。 において、函数族 および は二重直交系を構成する。その他の例として、行列の、固有値によって添字付けられる左固有ベクトルの集合と右固有ベクトルの集合の対は双直交系である。 (ja) Układ biortogonalny – dla przestrzeni unormowanej indeksowany ciąg elementów postaci o tej własności, że (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg punktów p. nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg punktów p. taki, że jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego Definicję układu biortogonalnego można mutatis mutandis rozszerzyć na klasę przestrzeni liniowo-topologicznych o nietrywialnych przestrzeniach sprzężonych. (pl) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.mmj/1028989861 |
| dbo:wikiPageID | 1090253 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2693 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1108338990 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Topological_vector_spaces dbr:Mathematics dbr:Eigenvalue dbr:Eigenvector dbr:Orthogonal_basis dbr:Kernel_(algebra) dbr:Topological_vector_space dbr:Linear_span dbr:Dual_system dbr:Indexed_family dbr:Kronecker_delta dbr:Bilinear_mapping |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Reflist dbt:Functional_analysis dbt:Duality_and_spaces_of_linear_maps |
| dct:subject | dbc:Topological_vector_spaces |
| rdf:type | yago:WikicatBanachSpaces yago:WikicatTopologicalVectorSpaces yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Space100028651 |
| rdfs:comment | Biorthogonalität ist eine Abwandlung der bekannten Orthogonalität. Man spricht von biorthogonalen Matrizen und , wenn die Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen, , wobei eine Diagonalmatrix bezeichnet. Die Matrizen sind biorthonormal, wenn die Diagonalmatrix die Identität ist, also wenn . Die Definitionen für Orthogonalität und Orthonormalität erhält man, indem man wählt. Biorthogonalität tritt im Kontext vom unsymmetrischen Lanczos-Verfahren und beim zweiseitigen Gram-Schmidt auf. (de) In mathematics, a biorthogonal system is a pair of indexed families of vectors such thatwhere and form a pair of topological vector spaces that are in duality, is a bilinear mapping and is the Kronecker delta. An example is the pair of sets of respectively left and right eigenvectors of a matrix, indexed by eigenvalue, if the eigenvalues are distinct. A biorthogonal system in which and is an orthonormal system. (en) 数学において、双対性（双線型形式 ⟨,⟩）を持つ位相線型空間の対 E, F に関する双直交系（そうちょっこうけい、英: biorthogonal system; 二重直交系）とは、 を満たす（I は適当な添字集合で、δ はクロネッカーのデルタ）ベクトルの族の対 ({vi ∈ E}, {ui ∈ F}) を言う。E = F かつ vi = ui (∀i∈ I) なるときの双直交系は、すなわち正規直交系である。 において、函数族 および は二重直交系を構成する。その他の例として、行列の、固有値によって添字付けられる左固有ベクトルの集合と右固有ベクトルの集合の対は双直交系である。 (ja) Układ biortogonalny – dla przestrzeni unormowanej indeksowany ciąg elementów postaci o tej własności, że (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg punktów p. nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg punktów p. taki, że jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (pl) |
| rdfs:label | Biorthogonalität (de) Biorthogonal system (en) 双直交系 (ja) Układ biortogonalny (pl) |
| owl:sameAs | freebase:Biorthogonal system yago-res:Biorthogonal system wikidata:Biorthogonal system dbpedia-de:Biorthogonal system dbpedia-ja:Biorthogonal system dbpedia-pl:Biorthogonal system https://global.dbpedia.org/id/52Coy |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Biorthogonal_system?oldid=1108338990&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Biorthogonal_system |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Biorthogonal_basis |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Basis_function dbr:Geometric_algebra dbr:Orthogonalization dbr:Markushevich_basis dbr:Dual_basis dbr:Wavelet dbr:Biconjugate_gradient_method dbr:Orthogonal_matrix dbr:Self-adjoint_operator dbr:Biorthogonal_basis |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Biorthogonal_system |