Class number problem (original) (raw)

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数学における、（虚二次体の）ガウスの類数問題 (英: Gauss class number problem)とは、普通は、各 n ≥ 1 に対し類数が n である虚二次体 （ただし d は負の整数）の完全なリストを求める問題である。この名前はカール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)にちなむ。また、の観点から記述することもできる。これと関連する問題として、実二次体の場合や、 のときどのような振る舞いを示すか、というものがある。 この問題の困難な点は、範囲の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対して類数を計算することは易しく、類数の無効(ineffective)な下限がいくつか存在するが（つまり、それらは計算されない定数を含む）、しかし有効な範囲を求めること（そしてリストの完全性の証明）は難しい。

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dbo:abstract In mathematics, the Gauss class number problem (for imaginary quadratic fields), as usually understood, is to provide for each n ≥ 1 a complete list of imaginary quadratic fields (for negative integers d) having class number n. It is named after Carl Friedrich Gauss. It can also be stated in terms of discriminants. There are related questions for real quadratic fields and for the behavior as . The difficulty is in effective computation of bounds: for a given discriminant, it is easy to compute the class number, and there are several ineffective lower bounds on class number (meaning that they involve a constant that is not computed), but effective bounds (and explicit proofs of completeness of lists) are harder. (en) En mathématiques, le problème du nombre de classes de Gauss pour les corps quadratiques imaginaires, au sens usuel, est de fournir pour chaque entier n ≥ 1, la liste complète des corps quadratiques imaginaires dont l'anneau des entiers a un nombre de classes égal à n. C'est une question de calcul effectif. La première démonstration (Hans Heilbronn, 1934) qu'une telle liste est finie ne fournissait pas, même en théorie, un moyen de la calculer (voir Résultats effectifs en théorie des nombres). Dans les développements ultérieurs, le cas n = 1 fut en premier développé par Kurt Heegner, en utilisant les formes modulaires. Ce travail ne fut pas accepté initialement et c'est seulement après le travail ultérieur de clarification de Harold Stark que le travail de Heegner fut compris (voir Théorème de Stark-Heegner et Nombre de Heegner). Le cas n = 2 fut abordé peu après, au moins en principe, en application du travail d'Alan Baker. Le cas général attendit la découverte, par Dorian Goldfeld, que le problème du nombre de classes pouvait être relié aux fonctions L des courbes elliptiques. Ceci réduisit en principe la question de détermination effective à celle d'établir l'existence d'un zéro multiple d'une telle fonction L. Ceci put être fait sur la base du théorème de Gross-Zagier ultérieur. Ainsi, à ce point, on put préciser un calcul fini, dont le résultat serait une liste complète pour un nombre de classes donné. En fait, en pratique, de telles listes qui sont probablement complètes peuvent être calculées par des méthodes relativement simples, mais le problème est qu'elle ne le sont pas certainement. Les cas jusqu'à n = 100 ont été traités. Le cas des corps quadratiques réels est très différent et beaucoup moins connu. Ceci car ce qui intervient dans la formule analytique du nombre de classes n'est pas h, le nombre de classes, mais h log ε, où ε est une (en). Ce facteur supplémentaire est difficile à contrôler. La conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1 n'est toujours pas résolue. (fr) 数学における、（虚二次体の）ガウスの類数問題 (英: Gauss class number problem)とは、普通は、各 n ≥ 1 に対し類数が n である虚二次体 （ただし d は負の整数）の完全なリストを求める問題である。この名前はカール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)にちなむ。また、の観点から記述することもできる。これと関連する問題として、実二次体の場合や、 のときどのような振る舞いを示すか、というものがある。 この問題の困難な点は、範囲の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対して類数を計算することは易しく、類数の無効(ineffective)な下限がいくつか存在するが（つまり、それらは計算されない定数を含む）、しかし有効な範囲を求めること（そしてリストの完全性の証明）は難しい。 (ja) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het klassengetalprobleem van Gauss (voor complexe kwadratische lichamen/velden) om voor elke een volledige opsomming te geven van complexe Kwadratische lichamen (Ned) / velden (Be) met . Het probleem is genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss. Het probleem kan ook worden uitgedrukt in termen van . Er bestaan gerelateerde vragen voor de reële kwadratische velden en hun gedrag als . (nl)
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rdfs:label Class number problem (en) Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires (fr) 類数問題 (ja) Klassengetalprobleem (nl)
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