Stark–Heegner theorem (original) (raw)
Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n. (fr) In number theory, the Baker–Heegner–Stark theorem states precisely which quadratic imaginary number fields admit unique factorisation in their ring of integers. It solves a special case of Gauss's class number problem of determining the number of imaginary quadratic fields that have a given fixed class number. Let Q denote the set of rational numbers, and let d be a non-square integer. Then Q(√d) is a finite extension of Q of degree 2, called a quadratic extension. The class number of Q(√d) is the number of equivalence classes of ideals of the ring of integers of Q(√d), where two ideals I and J are equivalent if and only if there exist principal ideals (a) and (b) such that (a)I = (b)J. Thus, the ring of integers of Q(√d) is a principal ideal domain (and hence a unique factorization domain) if and only if the class number of Q(√d) is equal to 1. The Baker–Heegner–Stark theorem can then be stated as follows: If d < 0, then the class number of Q(√d) is equal to 1 if and only if These are known as the Heegner numbers. This list is also written, replacing −1 with −4 and −2 with −8 (which does not change the field), as: where D is interpreted as the discriminant (either of the number field or of an elliptic curve with complex multiplication). This is more standard, as the D are then fundamental discriminants. (en) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, bepaalt de stelling van Stark-Heegner precies welke kwadratische imaginaire getallenlichamen unieke factorisatie in hun ring van de gehele getallen toelaten. De stelling van Stark-Heegner lost een speciaal geval van Gauss zijn op door het aantal imaginaire kwadratische velden, die een gegeven vast klassegetal hebben, vast te stellen. (nl) Twierdzenie Starka-Heegnera (również Bakera-Heegnera-Starka) – twierdzenie z teorii liczb ściśle określające, które ciała kwadratowe pozwalają na jednoznaczny rozkład w ich pierścieniu liczb całkowitych. Rozwiązuje przypadek szczególny problemu Gaussa zwanego i związanego z wyznaczaniem liczby ciał kwadratowych urojonych, które mają ustaloną . (pl) Теорема Бейкера — Хегнера — Старка — утверждение алгебраической теории чисел о том, какие в точности квадратичные комплексные числовые поля позволяют единственное разложение в его . Теорема решает специальный случай гауссовой , в которой требуется определить число мнимых квадратичных полей, которые имеют заданное фиксированное число классов. Алгебраическое числовое поле (где — целое число, не являющееся квадратом) является конечным расширением поля рациональных чисел порядка 2, называемым квадратичным расширением. Число классов поля — это число классов эквивалентности идеалов кольца целых чисел поля , где два идеала и эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют главные идеалы ) и , такие что . Тогда кольцо целых чисел поля является областью главных идеалов (а следовательно, областью с единственным разложением) тогда и только тогда, когда число классов поля равно 1. Таким образом, теорему Бейкера — Хегнера — Старка можно сформулировать так: если , то число классов поля равно 1 тогда и только тогда, когда: . Эти числа известны как числа Хегнера. При замене −1 на −4, а −2 на −8 (что не меняет поля), список может быть записан следующим образом: , где интерпретируется как дискриминант (либо алгебраического поля, либо эллиптической кривой с ). Это более стандартный подход, так как тогда является Фундаментальный дискриминант. (ru) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://library.msri.org/books/Book35%7Ctitle=The http://library.msri.org/books/Book35/contents.html%7Ctitle=The http://library.msri.org/books/Book35/files/elkies.pdf%7Ccontribution=The http://library.msri.org/books/Book49/files/00pref.pdf http://library.msri.org/books/Book49/files/01birch.pdf https://books.google.com/books%3Fisbn=0821886983 http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/33039/1/0000425.pdf%7Ctitle=On http://eudml.org/doc/150996 |
| dbo:wikiPageID | 391251 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 9314 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1082317083 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Principal_ideal dbr:Principal_ideal_domain dbr:Quadratic_field dbr:Algebraic_number_field dbr:Ring_of_integers dbr:Inventiones_Mathematicae dbr:Kurt_Heegner dbr:List_of_number_fields_with_class_number_one dbr:Mathematische_Zeitschrift dbr:Elliptic_curve dbr:Modular_form dbr:Equivalence_class dbr:Complex_multiplication dbr:Fundamental_discriminant dbr:Ideal_class_group dbr:Proceedings_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Mathematika dbr:Disquisitiones_Arithmeticae dbr:Alan_Baker_(mathematician) dbr:Fields_Medal dbr:Number_field dbr:Number_theory dbr:Discriminant_of_an_algebraic_number_field dbr:Journal_of_Number_Theory dbr:Unique_factorization_domain dbr:Harold_Stark dbr:Heegner_number dbr:Heinrich_Martin_Weber dbc:Theorems_in_algebraic_number_theory dbr:Diophantine_equation dbr:Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Field_extension dbr:If_and_only_if dbr:Integer dbr:Klein_quartic dbr:Rational_number dbr:Ring_ideal dbr:Bryan_Birch dbr:Class_number_problem_for_imaginary_quadratic_fields dbr:Journal_für_die_reine_und_angewandte_Mathematik |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Harv dbt:Radic dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_algebraic_number_theory |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInAlgebraicNumberTheory yago:WikicatTheoremsInNumberTheory yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n. (fr) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, bepaalt de stelling van Stark-Heegner precies welke kwadratische imaginaire getallenlichamen unieke factorisatie in hun ring van de gehele getallen toelaten. De stelling van Stark-Heegner lost een speciaal geval van Gauss zijn op door het aantal imaginaire kwadratische velden, die een gegeven vast klassegetal hebben, vast te stellen. (nl) Twierdzenie Starka-Heegnera (również Bakera-Heegnera-Starka) – twierdzenie z teorii liczb ściśle określające, które ciała kwadratowe pozwalają na jednoznaczny rozkład w ich pierścieniu liczb całkowitych. Rozwiązuje przypadek szczególny problemu Gaussa zwanego i związanego z wyznaczaniem liczby ciał kwadratowych urojonych, które mają ustaloną . (pl) In number theory, the Baker–Heegner–Stark theorem states precisely which quadratic imaginary number fields admit unique factorisation in their ring of integers. It solves a special case of Gauss's class number problem of determining the number of imaginary quadratic fields that have a given fixed class number. If d < 0, then the class number of Q(√d) is equal to 1 if and only if These are known as the Heegner numbers. This list is also written, replacing −1 with −4 and −2 with −8 (which does not change the field), as: (en) Теорема Бейкера — Хегнера — Старка — утверждение алгебраической теории чисел о том, какие в точности квадратичные комплексные числовые поля позволяют единственное разложение в его . Теорема решает специальный случай гауссовой , в которой требуется определить число мнимых квадратичных полей, которые имеют заданное фиксированное число классов. . Эти числа известны как числа Хегнера. При замене −1 на −4, а −2 на −8 (что не меняет поля), список может быть записан следующим образом: , (ru) |
| rdfs:label | Théorème de Stark-Heegner (fr) Stelling van Stark-Heegner (nl) Twierdzenie Starka-Heegnera (pl) Stark–Heegner theorem (en) Теорема Бейкера — Хегнера — Старка (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Stark–Heegner theorem wikidata:Stark–Heegner theorem dbpedia-fi:Stark–Heegner theorem dbpedia-fr:Stark–Heegner theorem dbpedia-nl:Stark–Heegner theorem dbpedia-pl:Stark–Heegner theorem dbpedia-ru:Stark–Heegner theorem https://global.dbpedia.org/id/2bd77 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Stark–Heegner_theorem?oldid=1082317083&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Stark–Heegner_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Alan_Baker_(mathematician) dbr:Harold_Stark |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Stark dbr:Heegner |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Stark-Heegner_theorem dbr:Class_numbers_of_imaginary_quadratic_fields dbr:Stark's_theorem dbr:Stark's_theorum |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quadratic_field dbr:Quadratic_integer dbr:List_of_algebraic_number_theory_topics dbr:Kurt_Heegner dbr:Ideal_class_group dbr:Stark dbr:Alan_Baker_(mathematician) dbr:Curt_Meyer dbr:Harold_Stark dbr:Heegner_number dbr:Stark-Heegner_theorem dbr:Class_number_problem dbr:Klein_quartic dbr:Heegner dbr:List_of_theorems dbr:PSL(2,7) dbr:Class_numbers_of_imaginary_quadratic_fields dbr:Stark's_theorem dbr:Stark's_theorum |
| is dbp:knownFor of | dbr:Alan_Baker_(mathematician) dbr:Harold_Stark |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Stark–Heegner_theorem |