Ekeland's variational principle (original) (raw)
Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland, qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation. Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet. Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematical analysis, Ekeland's variational principle, discovered by Ivar Ekeland, is a theorem that asserts that there exist nearly optimal solutions to some optimization problems. Ekeland's principle can be used when the lower level set of a minimization problems is not compact, so that the Bolzano–Weierstrass theorem cannot be applied. The principle relies on the completeness of the metric space. The principle has been shown to be equivalent to completeness of metric spaces.In proof theory, it is equivalent to Π11CA0 over RCA0, i.e. relatively strong. It also leads to a quick proof of the Caristi fixed point theorem. (en) Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland, qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation. Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet. Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques). (fr) In de theorie van de metrische ruimten is het variatieprincipe van Ekeland een stelling die garandeert dat er sub-optimale oplossingen bestaan voor sommige optmaliseringsproblemen. Het principe kent veel toepassingen binnen de functionaalanalyse. De grote kracht ervan is dat er uiterst weinig verondersteld wordt. Waar in de meeste stellingen bijvoorbeeld continuïteit van functies wordt geëist, wordt hier volstaan met half-continuïteit van beneden. (nl) |
| dbo:wikiPageID | 21341034 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 11831 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1108335730 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Q.E.D. dbr:Reverse_mathematics dbr:Ivar_Ekeland dbc:Theorems_in_functional_analysis dbr:Mathematical_analysis dbr:Level_set dbr:Lower_semicontinuous dbr:Closed_set dbr:Complete_metric_space dbc:Variational_analysis dbr:Paris_Dauphine_University dbr:Proof_theory dbc:Convex_analysis dbr:Effective_domain dbr:Bolzano–Weierstrass_theorem dbr:Metric_space dbr:Open_set dbr:Optimization_problem dbc:Variational_principles dbr:Proper_convex_function dbr:Compactness_(topology) dbr:Caristi_fixed_point_theorem dbr:Extended_real_numbers dbr:Neighborhood_(topology) |
| dbp:b | 1 (xsd:integer) |
| dbp:mathStatement | Let be a complete metric space, and let be a lower semicontinuous functional on that is bounded below and not identically equal to Fix and a point such that Then, for every there exists a point such that and, for all (en) |
| dbp:name | Corollary (en) |
| dbp:p | 1 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Annotated_link dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Em dbt:Reflist dbt:Sfn dbt:Visible_anchor dbt:Math_proof dbt:Su dbt:Convex_analysis_and_variational_analysis dbt:Functional_analysis dbt:Math_theorem dbt:Zălinescu_Convex_Analysis_in_General_Vector_Spaces_2002 |
| dcterms:subject | dbc:Theorems_in_functional_analysis dbc:Variational_analysis dbc:Convex_analysis dbc:Variational_principles |
| gold:hypernym | dbr:Theorem |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalPrinciples yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatVariationalPrinciples yago:Abstraction100002137 yago:Cognition100023271 yago:Communication100033020 yago:Content105809192 yago:Generalization105913275 yago:Idea105833840 yago:Message106598915 yago:Principle105913538 yago:Proposition106750804 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland, qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation. Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet. Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques). (fr) In de theorie van de metrische ruimten is het variatieprincipe van Ekeland een stelling die garandeert dat er sub-optimale oplossingen bestaan voor sommige optmaliseringsproblemen. Het principe kent veel toepassingen binnen de functionaalanalyse. De grote kracht ervan is dat er uiterst weinig verondersteld wordt. Waar in de meeste stellingen bijvoorbeeld continuïteit van functies wordt geëist, wordt hier volstaan met half-continuïteit van beneden. (nl) In mathematical analysis, Ekeland's variational principle, discovered by Ivar Ekeland, is a theorem that asserts that there exist nearly optimal solutions to some optimization problems. Ekeland's principle can be used when the lower level set of a minimization problems is not compact, so that the Bolzano–Weierstrass theorem cannot be applied. The principle relies on the completeness of the metric space. The principle has been shown to be equivalent to completeness of metric spaces.In proof theory, it is equivalent to Π11CA0 over RCA0, i.e. relatively strong. (en) |
| rdfs:label | Ekeland's variational principle (en) Principe variationnel d'Ekeland (fr) Variatieprincipe van Ekeland (nl) |
| owl:sameAs | freebase:Ekeland's variational principle yago-res:Ekeland's variational principle wikidata:Ekeland's variational principle dbpedia-fr:Ekeland's variational principle dbpedia-nl:Ekeland's variational principle https://global.dbpedia.org/id/sFoG |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Ekeland's_variational_principle?oldid=1108335730&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Ekeland's_variational_principle |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Calculus_of_variations dbr:Variational_principle dbr:Ivar_Ekeland dbr:Louis_Nirenberg dbr:Caristi_fixed-point_theorem dbr:Variational_analysis dbr:Bolzano–Weierstrass_theorem |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Ekeland's_variational_principle |