Open set (original) (raw)

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في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (بالإنجليزية: Open set)‏ إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة. بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر. وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما وأساسيا في الرياضيات.

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dbo:abstract En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia. Per exemple, a amb la topologia euclidiana, diem que és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor tal que sempre podrem trobar un valor tal que la bola (obert de la topologia) . En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt , no podríem dir el mateix, ja que per no existeix cap que compleixi la condició. El fet que un cert conjunt sigui obert o tancat no depèn dels elements de l'espai sinó també de la topologia que s'hi defineix. Així per exemple el cas anterior, en , no és un obert si prenem la topologia grollera. (ca) في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (بالإنجليزية: Open set)‏ إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة. بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر. وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما وأساسيا في الرياضيات. (ar) Otevřená množina je matematická vlastnost množin, která je zobecněním otevřeného intervalu reálných čísel. Množina M topologického prostoru anebo metrického prostoru se nazývá otevřená, pokud s každým bodem x, který do ní patří, patří do této množiny i nějaké jeho okolí. Znamená to, že obsahuje s každým bodem i body, které jsou dostatečně blízko. (cs) Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην τοπολογία, ένα ανοικτό σύνολο είναι μια αφηρημένη έννοια που γενικεύει την ιδέα ενός ανοικτού διαστήματος στην πραγματική γραμμή. Το απλούστερο παράδειγμα είναι στους μετρικούς χώρους όπου ανοικτά σύνολα μπορούν να οριστούν ως εκείνα τα σύνολα που περιέχουν μια σφαίρα γύρω από κάθε ένα από τα σημεία τους (ή, ισοδύναμα, ένα σετ είναι ανοιχτό αν δεν περιέχει κανένα από τα όρια του). Ωστόσο, ένα ανοιχτό σύνολο γενικά μπορεί να είναι πολύ αφηρημένο: κάθε συλλογή συνόλων μπορεί να ονομαστεί ανοιχτή, αρκεί να είναι ανοιχτή η ένωση ενός αυθαίρετου αριθμού ανοιχτών συνόλων, η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοικτή, και ο ίδιος ο χώρος είναι ανοιχτός. Αυτές οι συνθήκες είναι πολύ χαλαρές και επιτρέπουν τεράστια ευελιξία στην επιλογή των ανοικτών συνόλων. Στις δύο ακραίες περιπτώσεις, κάθε σετ μπορεί να είναι ανοιχτό (που ονομάζεται διακριτή τοπολογία), ή κανένα σύνολο δεν μπορεί να είναι ανοιχτό εκτός από τον ίδιο τον χώρο και το κενό σύνολο (η αδιάκριτη τοπολογία). Στην πράξη, ωστόσο, τα ανοιχτά σύνολα επιλέγονται συνήθως να είναι παρόμοια με τα ανοιχτά διαστήματα της πραγματικής γραμμής. Η έννοια ενός ανοιχτού συνόλου παρέχει έναν θεμελιώδη τρόπο στο να μιλάμε για την εγγύτητα των σημείων σε ένα τοπολογικό χώρο, χωρίς να έχουμε ρητά οριστεί μια έννοια της απόστασης. Μόλις γίνει μια επιλογή ανοιχτών συνόλων, οι ιδιότητες της συνέχειας, της και της συμπάγειας, οι οποίες χρησιμοποιούν τις έννοιες της εγγύτητας, μπορούν να οριστούν χρησιμοποιώντας αυτά τα ανοικτά σύνολα. Κάθε επιλογή ανοιχτών συνόλων για έναν χώρο ονομάζεται τοπολογία. Παρόλο που τα ανοιχτά σύνολα και οι τοπολογίες που συνιστούν έχουν κεντρική σημασία στην γενική τοπολογία, χρησιμοποιούνται επίσης ως οργανωτικό εργαλείο σε άλλους σημαντικούς κλάδους των μαθηματικών. Παραδείγματα τοπολογιών περιλαμβάνουν την στην αλγεβρική γεωμετρία που αντικατοπτρίζει την αλγεβρική φύση των ποικιλιών και την τοπολογία σε μια στη διαφορική τοπολογία όπου κάθε σημείο εντός του χώρου περιέχεται σε ένα ανοιχτό σύνολο που είναι ομοιομορφικό με μια ανοιχτή μπάλα σε ένα ευκλείδειο χώρο πεπερασμένης διάστασης. (el) In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine offene Menge eine Menge mit einer genau definierten Eigenschaft (siehe unten). Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Die Komplementärmenge einer offenen Menge nennt man abgeschlossene Menge. Diese Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten. Ein einfaches Beispiel einer offenen Menge ist das Intervall in den reellen Zahlen. Jede reelle Zahl mit der Eigenschaft ist nur von Zahlen mit derselben Eigenschaft umgeben: Wähle als Umgebung die Menge , dann sind das die Zahlen zwischen 0 und 1. Deshalb nennt man das Intervall ein offenes Intervall. Dagegen ist das Intervall nicht offen, denn „rechts“ vom Element 1 (größer als 1) ist kein Element des Intervalls mehr. Ob eine Menge offen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die rationalen Zahlen mit bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen, da jedes Intervall reeller Zahlen mit mehr als einem Element auch irrationale Zahlen enthält. Zu beachten ist, dass es sowohl Mengen gibt, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie etwa das Intervall , als auch Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen set bezeichnet. Die Unterscheidung offener und abgeschlossener Mengen lässt sich auch mit Hilfe des Randes einer Menge treffen. Gehört dieser vollständig zur Menge dazu, so ist sie abgeschlossen. Gehört der Rand vollständig zum Komplement der Menge, so ist die Menge offen. Der Begriff der offenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir gehen hier vom anschaulichen euklidischen Raum über den metrischen Raum zum allgemeinsten Kontext, dem topologischen Raum. (de) En topologio kaj rilatantaj kampoj de matematiko, aro U estas nomata kiel malfermita se, oni povas movi ĉiun punkton x el U per malfinie malgrando movo en ĉiu direkto kaj la punkto denove estos ene de U.En aliaj vortoj, se x estas ĉirkaŭbarita nur per eroj de U; ĝi ne povas esti sur rando de U. Kiel tipa ekzemplo, konsideru la malfermita intervalon ]0,1[ konsistantan el ĉiuj reelaj nombroj x : 0 < x < 1. Ĉi tie, la topologio estas kiel la kutima topologio sur la reela linio. Se oni movos ĉi tiun punkton x iom malmulte, tiam la movita versio estos ankoraŭ nombro inter 0 kaj 1, se la movo estas ne tro granda.Pro tio, la intervalo ]0,1[ estas malfermita.Tamen, la intervalo ]0,1] konsistanta de ĉiuj nombroj x kun 0 < x ≤ 1 estas ne malfermita; se oni prenas x = 1 kaj movas ĝin eĉ malmulte en la pozitiva direkto, ĝi estos ekster (0,1]. Ni notu ankaŭ ke malfermita ne estas la kontraŭo de fermita" (fermita aro estas la komplemento de malfermita aro). (eo) Un conjunto abierto, en topología y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que cada uno de sus elementos tiene un entorno que está incluido en el mismo conjunto;​ o, dicho de una manera más intuitiva, que ningún elemento de dicho conjunto pertenece también a la frontera de este. En términos rigurosos se dice que en cualquier elemento del conjunto puede centrarse una bola abierta que está totalmente contenida en el conjunto.​ Se puede generalizar el concepto de ‘bola’ como los elementos que están muy cerca de otro en cualquier dirección, rodeándolo, pero para ello es necesario definir una función distancia que permita evaluar la lejanía o cercanía entre los objetos del conjunto, constituyendo así un espacio métrico —un conjunto más una definición de distancia en él—. Como ejemplo típico se puede evaluar el intervalo abierto (0, 1) en los números reales, que se corresponde con todos los números entre 0 y 1 pero sin incluir estos, es decir, todos los números reales x con 0 < x < 1. Pues bien, intuitivamente se dice que es un conjunto abierto porque, para cualquier número x que pertenezca al conjunto, por mucho que pretendamos acercarnos a la frontera del conjunto —0 y 1—, siempre hay más elementos entre dicho número x y la frontera. Por ejemplo, si evaluamos el punto 0.9, entre este y el 1 está el 0,99, por ejemplo; al igual que entre 0,99 y 1 está el 0,999; y así sucesivamente. Siempre hay más números entre cualquier elemento del conjunto y la frontera, y es por tanto ‘abierto’. Sin embargo, en el conjunto cerrado [0, 1] entre el elemento 1 y la frontera del intervalo —que también es 1— no existen más elementos, por lo que se deduce que es en conjunto ‘cerrado’. O valorando la explicación más rigurosa, el espacio métrico en el caso del intervalo (0, 1), denotado como , es el constituido por: * Los elementos que pertenecen a los números reales, esto es, desde a . * La función distancia que, usando la distancia euclídea (d), se define como el valor absoluto de la resta . De esta manera en todo número x del conjunto (0, 1) puede centrarse una bola que está incluida dentro del conjunto; puesto que en la recta real una bola abierta centrada en un número x se corresponde con otro intervalo de la forma (x - ε, x + ε), donde epsilon es una cantidad muy pequeña, todo lo que se quiera. Así, una bola centrada en 0,9 estará dentro del conjunto, así como en 0,99 o en 0,999999, pues siempre habrá un epsilon de separación entre el punto y la frontera. Por el contrario en el conjunto cerrado [0, 1], una bola centrada en el elemento 1 quedará parcialmente fuera del conjunto. Observe que el que un conjunto dado U sea abierto depende del espacio circundante, el "cuarto de juegos". Por ejemplo, el conjunto de los números racionales entre 0 y 1 (exclusivo) es abierto en los números racionales, pero no es abierto en los números reales. Observe también que "abierto" no es el contrario de cerrado. Primero, existen conjuntos que son ambos abiertos y cerrados, llamados conjuntos clopen, como por ejemplo el conjunto de los números racionales más pequeños que √2 en los números racionales. Segundo, hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados, como por ejemplo (0, 1] en R. (es) Matematikan, eta zehazkiago topologian, multzo irekia zuzen errealaren tarte irekiaren kontzeptua orokortzen duen idea abstraktua da. Adibiderik sinpleena hau da: espazio metrikoetan multzo irekiak beren puntu guztietan zentratutako bola bat parte duten multzo gisa definitu daitezke. Hala ere, multzo ireki bat, orokorrean, oso abstraktua izan daiteke: multzoz osaturiko edozein bilduma multzo irekien bilduma izango da baldin eta bilduma horretako multzoen edozein bildura eta ebakidura finituak bilduma horretan badaude; eta horrez gain, espazio osoa eta multzo hutsa bilduma horretan badaude. Baldintza hauek ez dira oso zehatzak eta multzo irekien aukeraketan malgutasun handia ematen dute. Bi muturretan, multzo guztiak irekiak izan daitezke, edo posible da ф eta X ez den beste multzo irekirik ez egotea. Multzo irekiaren ideiak espazio topologikoetako puntuen gertutasunaz hitz egitea ahalbidetzen du, distantzia kontzeptua zehazki definitua egon gabe. Behin multzo irekiak aukeratuta, jarraitutasuna, eta bezalako propietateak, zeintzuk gertutasunaren ideia erabiltzen/jasotzen duten, multzo ireki horien bitartez defini daitezke. Multzo irekien aukeraketa bakoitzari topologia deritzo. (eu) In mathematics, open sets are a generalization of open intervals in the real line. In a metric space (a set along with a distance defined between any two points), open sets are the sets that, with every point P, contain all points that are sufficiently near to P (that is, all points whose distance to P is less than some value depending on P). More generally, one defines open sets as the members of a given collection of subsets of a given set, a collection that has the property of containing every union of its members, every finite intersection of its members, the empty set, and the whole set itself. A set in which such a collection is given is called a topological space, and the collection is called a topology. These conditions are very loose, and allow enormous flexibility in the choice of open sets. For example, every subset can be open (the discrete topology), or no set can be open except the space itself and the empty set (the indiscrete topology). In practice, however, open sets are usually chosen to provide a notion of nearness that is similar to that of metric spaces, without having a notion of distance defined. In particular, a topology allows defining properties such as continuity, connectedness, and compactness, which were originally defined by means of a distance. The most common case of a topology without any distance is given by manifolds, which are topological spaces that, near each point, resemble an open set of a Euclidean space, but on which no distance is defined in general. Less intuitive topologies are used in other branches of mathematics; for example, the Zariski topology, which is fundamental in algebraic geometry and scheme theory. (en) Dalam matematika, himpunan terbuka adalah suatu himpunan dengan sifat yang ditentukan dengan seksama. Secara gamblang, himpunan U dikatakan terbuka jika sebarang titik x anggota U hanya dilingkungi oleh anggota U juga, sehingga x dapat berpindah dengan "cara" apapun dan masih tetap berada di U. Gagasan himpunan terbuka memberikan cara yang paling mendasar untuk membahas kedekatan titik-titik di dalam ruang topologi, tanpa mendefinisikan konsep jarak. Konsep yang menggunakan gagasan kedekatan, seperti kontinuitas fungsi, dapat diterjemahkan ke dalam bahasa himpunan terbuka. Di dalam topologi himpunan-titik, himpunan terbuka digunakan untuk membedakan titik-titik dan himpunan bagian suatu ruang. Derajat keterpisahan dua titik sembarang diatur oleh aksioma pemisahan. Kumpulan semua himpunan terbuka di suatu ruang mendefinisikan topologi ruang. Fungsi dari satu ruang topologi ke ruang topologi lainnya yang mengawetkan topologi adalah fungsi kontinu. Meskipun himpunan terbuka dan topologi yang mereka cakup adalah yang terpenting di dalam topologi himpunan-titik, mereka juga digunakan sebagai alat pengorganisasian di cabang-cabang penting matematika lainnya. Contoh topologi adalah topologi Zariski di dalam geometri aljabar yang mencerminkan sifat aljabar dari , dan topologi pada suatu di dalam di mana tiap-tiap titik di dalam ruang adalah berada di dalam himpunan terbuka yang bersifat homeomorfik terhadap bola terbuka di dalam ruang euklides berdimensi berhingga. (in) En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique. (fr) 数学の位相空間論における開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線における開区間の概念を一般化する概念である。もっとも簡単な例は距離空間における場合で、そこでは開集合の概念は、各点を中心とする球体を含むような部分集合と一致する。しかし、一般には開集合は非常に抽象的なもので、「開集合の任意個の合併は開集合である」「開集合の有限個の交わりは開集合である」「全体空間は開集合である」という性質を満たす限りにおいて任意の集合族を開集合族とすることができる。空間に対する開集合族の選び方の各々は位相と呼ばれる（位相の特徴付けの項も参照せよ）。全ての集合には、任意の部分集合が開集合である離散位相と、空集合と全体集合のみを開集合とする密着位相という、二つの自明な位相が定義できる。 しかし実用上は、離散位相と密着位相の中間にある非自明な位相を考えることが多く、開集合の概念は位相空間における点の「近さ」について述べる方法を提供する基本的な道具立てである。開集合族がひとたび決められたならば、近さの概念を言い表すのに用いられる連続性・連結性およびコンパクト性が定義される。 開集合およびそれを含む位相の概念は点集合位相において中心的な重要性を持つものであるが、数学の他の主要分野における構造化の道具としても用いられる。そのような位相の例には、代数幾何学におけるザリスキー位相（代数多様体の代数的特性を反映する）や、微分位相幾何学における可微分多様体上の位相（空間内の各点が有限次元ユークリッド空間内の開球体に同相な近傍を持つ）などがある。 (ja) Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo. (it) 일반위상수학에서 열린집합(-集合, 영어: open set) 또는 개집합(開集合)은 스스로의 경계를 전혀 포함하지 않는, 위상 공간의 부분 집합이다. 마찬가지로, 닫힌집합(-集合, 영어: closed set) 또는 폐집합(閉集合)은 스스로의 경계를 모두 포함하는, 위상 공간의 부분 집합이다. 열린집합은 닫힌집합의 여집합이며, 반대로 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다. 이름과 달리, 열린집합과 닫힌집합의 개념은 서로 반대말이 아니다. 즉, 주어진 부분 집합은 동시에 열린집합이자 닫힌집합일 수 있으며, 이러한 부분 집합을 열린닫힌집합(-集合, 영어: clopen set) 또는 개폐집합(開閉集合)이라고 한다. (ko) In de metrische topologie en aanverwante gebieden van de wiskunde wordt een verzameling, , open genoemd, indien, intuïtief gesproken, vanaf elk punt in men een infinitesimaal kleine beweging in elke richting kan maken en in alle gevallen nog steeds deel uitmaakt van de verzameling . Met andere woorden, de afstand tussen elk punt in en de rand van is altijd groter dan nul. Men kan dit illustreren aan de hand van het plaatje hiernaast. Intuïtief is het rode gebied zonder rand een open verzameling: rond elk punt kan men een omgeving (gebiedje), construeren dat helemaal om heen ligt, maar toch in zijn geheel ook deel uitmaakt van . Een verzameling, waarvan het complement open is, heet gesloten. In ons voorbeeld is de blauwe cirkel een gesloten verzameling. Zie het artikel over topologische ruimten voor de precieze eigenschappen, waaraan de topologie (de collectie open verzamelingen van een topologische ruimte) moet voldoen. De bekendste voorbeelden van open verzamelingen zijn de open bollen in een metrische ruimte met metriek . Dit zijn verzamelingen van de vorm voor gegeven en een reëel getal groter dan 0. Beschouw als een verder voorbeeld, het open interval, , bestaande uit alle reële getallen met . De topologie is hier de topologie van de Euclidische ruimte op de reële getallenlijn. We kunnen dit op twee manieren bekijken. Aangezien elk punt in het interval verschilt van 0 en 1, is de afstand vanaf dat punt tot de rand altijd niet-nul. Of equivalent uitgedrukt, voor elk punt binnen het interval kunnen wij een infinitesimaal klein stukje in enige richting bewegen zonder de rand te raken, terwijl we nog steeds nog binnen het interval blijven. Het interval , bestaande uit alle getallen met , is niet open in de topologie van de reële getallenlijn; als men start in leidt zelfs een infinitesimale beweging in de positieve richting ertoe, dat men buiten het interval zit. (nl) Zbiór otwarty – w danej przestrzeni topologicznej dowolny element rodziny Dopełnienie zbioru otwartego nazywane jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń (pl) Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto. (pt) Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым. Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры).Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии. (ru) En öppen mängd är ett topologiskt begrepp inom matematik. Informellt är en öppen mängd en mängd som inte innehåller några punkter på sin rand, dvs. den kurva eller yta som begränsar mängden är inte själv en del av mängden. Man kan ofta, men inte alltid, intuitivt tänka sig en öppen mängd som att en mängd G är öppen om det för varje element i G finns ett litet klot centrerat på elementet som också är en delmängd till G. Den generella definitionen av en öppen mängd är helt enkelt att en öppen mängd är en mängd som tillhör topologin på rummet. En mängd vars komplement tillhör topologin kallas sluten. Öppna mängder är grundläggande i reell och komplex analys och ingår i den mer generella definitionen av kontinuerliga funktioner. De förekommer ofta i samband med metriska rum som i sig är topologiska rum. Topologin definieras där utifrån metriken, och därmed också vilka mängder som är öppna. (sv) 在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。 通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 越來越大時數列 跟 要多靠近有多靠近的時，就說 是數列 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。 (zh) Відкри́та множина́ — в математичному аналізі, геометрії — це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології. Відкрита множина це абстрактне поняття, яке узагальнює ідею відкритого проміжку на осі дійсних чисел. Найпростіший приклад відноситься до метричних просторів, де відкриту множину можна визначити як таку множину, яка містить шар довкола кожної точки, що належить множині (або, еквівалентно, множина буде відкритою, якщо вона не містить точок межі). (uk)
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rdfs:comment في الطوبولوجيا، تدعى المجموعة U بالمجموعة المفتوحة (بالإنجليزية: Open set)‏ إذا كان، ابتداءً من أي نقطة x في المجموعة U من الممكن التحرك في أي اتجاه بشكل بسيط دون الخروج خارج المجموعة. بشكل آخر، إن المسافة بين أي نقطة x في المجموعة U ومحيط المجموعة U تكون دائماً أكبر من الصفر. وبصفة عامة في فضاء طوبولوجي (E,T) المجموعات المفتوحة أو المفتوحات اختصارا هي عناصر T. يشكل هذا المفهوم مفهوما هاما وأساسيا في الرياضيات. (ar) Otevřená množina je matematická vlastnost množin, která je zobecněním otevřeného intervalu reálných čísel. Množina M topologického prostoru anebo metrického prostoru se nazývá otevřená, pokud s každým bodem x, který do ní patří, patří do této množiny i nějaké jeho okolí. Znamená to, že obsahuje s každým bodem i body, které jsou dostatečně blízko. (cs) En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique. (fr) Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo. (it) 일반위상수학에서 열린집합(-集合, 영어: open set) 또는 개집합(開集合)은 스스로의 경계를 전혀 포함하지 않는, 위상 공간의 부분 집합이다. 마찬가지로, 닫힌집합(-集合, 영어: closed set) 또는 폐집합(閉集合)은 스스로의 경계를 모두 포함하는, 위상 공간의 부분 집합이다. 열린집합은 닫힌집합의 여집합이며, 반대로 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다. 이름과 달리, 열린집합과 닫힌집합의 개념은 서로 반대말이 아니다. 즉, 주어진 부분 집합은 동시에 열린집합이자 닫힌집합일 수 있으며, 이러한 부분 집합을 열린닫힌집합(-集合, 영어: clopen set) 또는 개폐집합(開閉集合)이라고 한다. (ko) Zbiór otwarty – w danej przestrzeni topologicznej dowolny element rodziny Dopełnienie zbioru otwartego nazywane jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń (pl) Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto. (pt) Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым. Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры).Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии. (ru) 在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。 通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 越來越大時數列 跟 要多靠近有多靠近的時，就說 是數列 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。 (zh) Відкри́та множина́ — в математичному аналізі, геометрії — це множина, кожна точка якої входить в неї разом з деяким околом. Відкрита множина є фундаментальним поняттям загальної топології. Відкрита множина це абстрактне поняття, яке узагальнює ідею відкритого проміжку на осі дійсних чисел. Найпростіший приклад відноситься до метричних просторів, де відкриту множину можна визначити як таку множину, яка містить шар довкола кожної точки, що належить множині (або, еквівалентно, множина буде відкритою, якщо вона не містить точок межі). (uk) En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia. Per exemple, a amb la topologia euclidiana, diem que és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor tal que sempre podrem trobar un valor tal que la bola (obert de la topologia) . En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt , no podríem dir el mateix, ja que per no existeix cap que compleixi la condició. (ca) Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην τοπολογία, ένα ανοικτό σύνολο είναι μια αφηρημένη έννοια που γενικεύει την ιδέα ενός ανοικτού διαστήματος στην πραγματική γραμμή. Το απλούστερο παράδειγμα είναι στους μετρικούς χώρους όπου ανοικτά σύνολα μπορούν να οριστούν ως εκείνα τα σύνολα που περιέχουν μια σφαίρα γύρω από κάθε ένα από τα σημεία τους (ή, ισοδύναμα, ένα σετ είναι ανοιχτό αν δεν περιέχει κανένα από τα όρια του). Ωστόσο, ένα ανοιχτό σύνολο γενικά μπορεί να είναι πολύ αφηρημένο: κάθε συλλογή συνόλων μπορεί να ονομαστεί ανοιχτή, αρκεί να είναι ανοιχτή η ένωση ενός αυθαίρετου αριθμού ανοιχτών συνόλων, η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοικτή, και ο ίδιος ο χώρος είναι ανοιχτός. Αυτές οι συνθήκες είναι πολύ χαλαρές και επιτρέπουν τεράστια ευελιξία στην επιλογή τ (el) En topologio kaj rilatantaj kampoj de matematiko, aro U estas nomata kiel malfermita se, oni povas movi ĉiun punkton x el U per malfinie malgrando movo en ĉiu direkto kaj la punkto denove estos ene de U.En aliaj vortoj, se x estas ĉirkaŭbarita nur per eroj de U; ĝi ne povas esti sur rando de U. Ni notu ankaŭ ke malfermita ne estas la kontraŭo de fermita" (fermita aro estas la komplemento de malfermita aro). (eo) In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine offene Menge eine Menge mit einer genau definierten Eigenschaft (siehe unten). Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Die Komplementärmenge einer offenen Menge nennt man abgeschlossene Menge. Diese Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten. (de) Un conjunto abierto, en topología y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que cada uno de sus elementos tiene un entorno que está incluido en el mismo conjunto;​ o, dicho de una manera más intuitiva, que ningún elemento de dicho conjunto pertenece también a la frontera de este. En términos rigurosos se dice que en cualquier elemento del conjunto puede centrarse una bola abierta que está totalmente contenida en el conjunto.​ Se puede generalizar el concepto de ‘bola’ como los elementos que están muy cerca de otro en cualquier dirección, rodeándolo, pero para ello es necesario definir una función distancia que permita evaluar la lejanía o cercanía entre los objetos del conjunto, constituyendo así un espacio métrico —un conjunto más una definición de distancia en él—. (es) Matematikan, eta zehazkiago topologian, multzo irekia zuzen errealaren tarte irekiaren kontzeptua orokortzen duen idea abstraktua da. Adibiderik sinpleena hau da: espazio metrikoetan multzo irekiak beren puntu guztietan zentratutako bola bat parte duten multzo gisa definitu daitezke. Hala ere, multzo ireki bat, orokorrean, oso abstraktua izan daiteke: multzoz osaturiko edozein bilduma multzo irekien bilduma izango da baldin eta bilduma horretako multzoen edozein bildura eta ebakidura finituak bilduma horretan badaude; eta horrez gain, espazio osoa eta multzo hutsa bilduma horretan badaude. (eu) In mathematics, open sets are a generalization of open intervals in the real line. In a metric space (a set along with a distance defined between any two points), open sets are the sets that, with every point P, contain all points that are sufficiently near to P (that is, all points whose distance to P is less than some value depending on P). (en) Dalam matematika, himpunan terbuka adalah suatu himpunan dengan sifat yang ditentukan dengan seksama. Secara gamblang, himpunan U dikatakan terbuka jika sebarang titik x anggota U hanya dilingkungi oleh anggota U juga, sehingga x dapat berpindah dengan "cara" apapun dan masih tetap berada di U. Gagasan himpunan terbuka memberikan cara yang paling mendasar untuk membahas kedekatan titik-titik di dalam ruang topologi, tanpa mendefinisikan konsep jarak. Konsep yang menggunakan gagasan kedekatan, seperti kontinuitas fungsi, dapat diterjemahkan ke dalam bahasa himpunan terbuka. (in) 数学の位相空間論における開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線における開区間の概念を一般化する概念である。もっとも簡単な例は距離空間における場合で、そこでは開集合の概念は、各点を中心とする球体を含むような部分集合と一致する。しかし、一般には開集合は非常に抽象的なもので、「開集合の任意個の合併は開集合である」「開集合の有限個の交わりは開集合である」「全体空間は開集合である」という性質を満たす限りにおいて任意の集合族を開集合族とすることができる。空間に対する開集合族の選び方の各々は位相と呼ばれる（位相の特徴付けの項も参照せよ）。全ての集合には、任意の部分集合が開集合である離散位相と、空集合と全体集合のみを開集合とする密着位相という、二つの自明な位相が定義できる。 しかし実用上は、離散位相と密着位相の中間にある非自明な位相を考えることが多く、開集合の概念は位相空間における点の「近さ」について述べる方法を提供する基本的な道具立てである。開集合族がひとたび決められたならば、近さの概念を言い表すのに用いられる連続性・連結性およびコンパクト性が定義される。 (ja) In de metrische topologie en aanverwante gebieden van de wiskunde wordt een verzameling, , open genoemd, indien, intuïtief gesproken, vanaf elk punt in men een infinitesimaal kleine beweging in elke richting kan maken en in alle gevallen nog steeds deel uitmaakt van de verzameling . Met andere woorden, de afstand tussen elk punt in en de rand van is altijd groter dan nul. voor gegeven en een reëel getal groter dan 0. (nl) En öppen mängd är ett topologiskt begrepp inom matematik. Informellt är en öppen mängd en mängd som inte innehåller några punkter på sin rand, dvs. den kurva eller yta som begränsar mängden är inte själv en del av mängden. Man kan ofta, men inte alltid, intuitivt tänka sig en öppen mängd som att en mängd G är öppen om det för varje element i G finns ett litet klot centrerat på elementet som också är en delmängd till G. (sv)
rdfs:label مجموعة مفتوحة (ar) Conjunt obert (ca) Otevřená množina (cs) Offene Menge (de) Ανοικτό σύνολο (el) Malfermita aro (eo) Conjunto abierto (es) Multzo ireki (eu) Himpunan terbuka (in) Ouvert (topologie) (fr) Insieme aperto (it) 열린집합 (ko) Open set (en) 開集合 (ja) Open verzameling (nl) Zbiór otwarty (pl) Conjunto aberto (pt) Открытое множество (ru) Öppen mängd (sv) 开集 (zh) Відкрита множина (uk)
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