Essential infimum and essential supremum (original) (raw)
Der Begriff des wesentlichen Supremums oder essentiellen Supremums wird in der Mathematik bei der Einführung der -Räume für den Fall als Erweiterung des Supremum-Begriffs benötigt. Da bei der Konstruktion dieser Funktionenräume Funktionen, die sich nur auf Nullmengen voneinander unterscheiden, als identisch betrachtet werden, kann man nur eingeschränkt von Funktionswerten in einzelnen Punkten sprechen. Der Begriff der beschränkten Funktion muss dementsprechend angepasst werden.
| Property | Value | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| dbo:abstract | Der Begriff des wesentlichen Supremums oder essentiellen Supremums wird in der Mathematik bei der Einführung der -Räume für den Fall als Erweiterung des Supremum-Begriffs benötigt. Da bei der Konstruktion dieser Funktionenräume Funktionen, die sich nur auf Nullmengen voneinander unterscheiden, als identisch betrachtet werden, kann man nur eingeschränkt von Funktionswerten in einzelnen Punkten sprechen. Der Begriff der beschränkten Funktion muss dementsprechend angepasst werden. (de) In mathematics, the concepts of essential infimum and essential supremum are related to the notions of infimum and supremum, but adapted to measure theory and functional analysis, where one often deals with statements that are not valid for all elements in a set, but rather almost everywhere, i.e., except on a set of measure zero. While the exact definition is not immediately straightforward, intuitively the essential supremum of a function is the smallest value that is greater than or equal to the function values everywhere while ignoring what the function does at a set of points of measure zero. For example, if one takes the function that is equal to zero everywhere except at where , then the supremum of the function equals one. However, its essential supremum is zero because we are allowed to ignore what the function does at the single point where is peculiar. The essential infimum is defined in a similar way. (en) 数学における本質的上限（ほんしつてきじょうげん、英: essential supremum）と本質的下限（ほんしつてきかげん、英: essential infimum）の概念は、上限と下限の概念と関連するものであるが、測度論においては前者の方がより意義深いものとなる。なぜならば測度論においては、ある集合のすべての元に対しては有効ではないが、ほとんどすべての元に対して、すなわち測度 0 の集合に含まれないすべての元に対して有効となるような議論が行われるからである。 (X, Σ, μ) を測度空間とし、f: X → R を必ずしも可測ではない X 上の実数値函数とする。ある実数 a が f の上界であるとは、X 内のすべての x に対して f(x) ≤ a が成立すること、すなわち、集合 {x ∈ X | f(x) > a} が空であることを言う。それと比べて、a が本質的上界であるとは、集合 {x ∈ X | f(x) > a} が測度 0 の集合に含まれることを言う。すなわち、X 内のほとんどすべての x に対して f(x) ≤ a が成立することを言う。すると、最小の上界として f の上限が定義されるように、本質的上限は、最小の本質的上界として定義される。 より正式に言うと、f の本質的上限 ess sup f は、その本質的上界の集合 {a ∈ R } が空でないときには ess sup f = inf {a ∈ R | μ({x | f(x) > a}) = 0} で定義され、空であるときには ess sup f = ∞ で定義される。 全く同様に、本質的下限は最大の本質的下界として定義される。すなわち、本質的下界の集合が空でないときには ess inf f = sup {b ∈ R | μ({x | f(x) < b}) = 0} で定義され、空であるときには ess inf f = −∞ で定義される。 (ja) Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori. (sv) Em matemática, o conceito de supremo essencial está relacionado à noção de supremo, mas o primeiro é mais relevante em teoria da medida, onde são consideradas propriedades que não são válidas em todo lugar, ou seja, para todo elemento de um conjunto, mas sim em , ou seja, exceto em um conjunto de medida nula. Seja (X, Σ, μ) um espaço de medida, e f : X → R uma função definida em X e assumindo valores reais, que não é necessriamente mensurável. Um número real a é chamado de cota superior para f se f(x) ≤ a, para todo x em X, isto é, se o conjunto é vazio. Por outro lado, a é dito uma cota superior essencial se o conjunto tem medida nula, isto é, se f(x) ≤ a para quase todo x em X. Então, da mesma forma que o supremo de f' é definido como a menor cota superior, o supremo essencial é definido como a menor cota superior essencial. Mais formalmente, o supremo essencial de f, ess sup f, é definido por se o conjunto das cotas superiores essenciais é não vazio, e ess sup f = +∞ em outros casos. (pt) Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении. (ru) Концепції істотного супремуму і істотного інфімуму пов'язані з поняттями супремуму і інфімуму, але пристосовані до теорії міри і функціонального аналізу, де користувач часто працює з твердженнями не чинними для всіх елементів множини, але швидше майже скрізь, тобто, окрім як на . (uk) 本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关，但前者与测度论的关联性更大，其中通常要涉及不是处处都成立的命题，而是几乎处处，也就是说，除了在测度为零的集合以外。 设(X, Σ, μ)为测度空间，并设f : X → R为定义在X上的实函数，它并不一定是可测的。实数a称为f的上确界，如果对于X内的所有x，都有f(x) ≤ a，也就是说，集合 是空集。而a称为本质上确界，如果集合 的测度为零，也就是说，对于X内的几乎所有x，都有f(x) ≤ a。 更加正式地，f的本质上确界，ess sup f，定义为： 如果本质上确界的集合不是空集，否则ess sup f = +∞。 类似地，我们也可以定义本质下确界： 如果本质下确界的集合不是空集，否则为−∞。 (zh) |
| dbo:wikiPageID | 3535995 (xsd:integer) | |||||
| dbo:wikiPageLength | 7352 (xsd:nonNegativeInteger) | |||||
| dbo:wikiPageRevisionID | 1121538349 (xsd:integer) | |||||
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Almost_everywhere dbr:Upper_bound dbr:Mathematics dbr:Measure_(mathematics) dbr:Measure_theory dbr:Function_(mathematics) dbr:Lp_space dbr:Complete_measure dbr:Empty_set dbr:Functional_analysis dbr:Lebesgue_measure dbr:Null_set dbc:Integral_calculus dbc:Measure_theory dbr:Supremum dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Set_(mathematics) dbr:Infimum dbr:Preimage | |||||
| dbp:title | Essential supremum (en) | |||||
| dbp:urlname | EssentialSupremum (en) | |||||
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Efn dbt:Notelist dbt:Pi dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Measure_theory dbt:PlanetMath_attribution | |||||
| dcterms:subject | dbc:Integral_calculus dbc:Measure_theory | |||||
| rdfs:comment | Der Begriff des wesentlichen Supremums oder essentiellen Supremums wird in der Mathematik bei der Einführung der -Räume für den Fall als Erweiterung des Supremum-Begriffs benötigt. Da bei der Konstruktion dieser Funktionenräume Funktionen, die sich nur auf Nullmengen voneinander unterscheiden, als identisch betrachtet werden, kann man nur eingeschränkt von Funktionswerten in einzelnen Punkten sprechen. Der Begriff der beschränkten Funktion muss dementsprechend angepasst werden. (de) Väsentligt supremum och väsentligt infimum är idéer inom matematik som förenar supremum och infimum med måtteori. (sv) Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении. (ru) Концепції істотного супремуму і істотного інфімуму пов'язані з поняттями супремуму і інфімуму, але пристосовані до теорії міри і функціонального аналізу, де користувач часто працює з твердженнями не чинними для всіх елементів множини, але швидше майже скрізь, тобто, окрім як на . (uk) 本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关，但前者与测度论的关联性更大，其中通常要涉及不是处处都成立的命题，而是几乎处处，也就是说，除了在测度为零的集合以外。 设(X, Σ, μ)为测度空间，并设f : X → R为定义在X上的实函数，它并不一定是可测的。实数a称为f的上确界，如果对于X内的所有x，都有f(x) ≤ a，也就是说，集合 是空集。而a称为本质上确界，如果集合 的测度为零，也就是说，对于X内的几乎所有x，都有f(x) ≤ a。 更加正式地，f的本质上确界，ess sup f，定义为： 如果本质上确界的集合不是空集，否则ess sup f = +∞。 类似地，我们也可以定义本质下确界： 如果本质下确界的集合不是空集，否则为−∞。 (zh) In mathematics, the concepts of essential infimum and essential supremum are related to the notions of infimum and supremum, but adapted to measure theory and functional analysis, where one often deals with statements that are not valid for all elements in a set, but rather almost everywhere, i.e., except on a set of measure zero. (en) 数学における本質的上限（ほんしつてきじょうげん、英: essential supremum）と本質的下限（ほんしつてきかげん、英: essential infimum）の概念は、上限と下限の概念と関連するものであるが、測度論においては前者の方がより意義深いものとなる。なぜならば測度論においては、ある集合のすべての元に対しては有効ではないが、ほとんどすべての元に対して、すなわち測度 0 の集合に含まれないすべての元に対して有効となるような議論が行われるからである。 (X, Σ, μ) を測度空間とし、f: X → R を必ずしも可測ではない X 上の実数値函数とする。ある実数 a が f の上界であるとは、X 内のすべての x に対して f(x) ≤ a が成立すること、すなわち、集合 {x ∈ X | f(x) > a} が空であることを言う。それと比べて、a が本質的上界であるとは、集合 {x ∈ X | f(x) > a} が測度 0 の集合に含まれることを言う。すなわち、X 内のほとんどすべての x に対して f(x) ≤ a が成立することを言う。すると、最小の上界として f の上限が定義されるように、本質的上限は、最小の本質的上界として定義される。 より正式に言うと、f の本質的上限 ess sup f は、その本質的上界の集合 {a ∈ R } が空でないときには (ja) Em matemática, o conceito de supremo essencial está relacionado à noção de supremo, mas o primeiro é mais relevante em teoria da medida, onde são consideradas propriedades que não são válidas em todo lugar, ou seja, para todo elemento de um conjunto, mas sim em , ou seja, exceto em um conjunto de medida nula. Seja (X, Σ, μ) um espaço de medida, e f : X → R uma função definida em X e assumindo valores reais, que não é necessriamente mensurável. Um número real a é chamado de cota superior para f se f(x) ≤ a, para todo x em X, isto é, se o conjunto (pt) | ||||
| rdfs:label | Wesentliches Supremum (de) Wesentliches Infimum und Wesentliches Supremum (de) Essential infimum and essential supremum (en) 本質的上限と本質的下限 (ja) Supremo essencial (pt) Существенный супремум (ru) Väsentligt supremum och väsentligt infimum (sv) Істотний супремум та істотний інфімум (uk) 本质上确界和本质下确界 (zh) | |||||
| owl:sameAs | wikidata:Essential infimum and essential supremum wikidata:Essential infimum and essential supremum dbpedia-de:Essential infimum and essential supremum dbpedia-de:Essential infimum and essential supremum dbpedia-fi:Essential infimum and essential supremum dbpedia-fi:Essential infimum and essential supremum dbpedia-ja:Essential infimum and essential supremum dbpedia-pt:Essential infimum and essential supremum dbpedia-ru:Essential infimum and essential supremum dbpedia-sv:Essential infimum and essential supremum dbpedia-uk:Essential infimum and essential supremum dbpedia-zh:Essential infimum and essential supremum https://global.dbpedia.org/id/tGtF | |||||
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Essential_infimum_and_essential_supremum?oldid=1121538349&ns=0 | |||||
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Essential_infimum_and_essential_supremum | |||||
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Ess_inf dbr:Ess_sup dbr:Essential_infimum dbr:Essential_supremum dbr:Essential_supremum_and_essential_infimum dbr:Essinf dbr:Esssup dbr:Essential_lower_bound dbr:Essential_suprema_and_infima dbr:Essential_upper_bound dbr:Essentially_bounded dbr:Essentially_bounded_function | |||||
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Limit_inferior_and_limit_superior dbr:Gagliardo–Nirenberg_interpolation_inequality dbr:Ess_inf dbr:Ess_sup dbr:Essential_infimum dbr:Essential_supremum dbr:Essential_supremum_and_essential_infimum dbr:Essinf dbr:Esssup dbr:Essential_lower_bound dbr:Essential_suprema_and_infima dbr:Essential_upper_bound dbr:Essentially_bounded dbr:Essentially_bounded_function | |||||
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Essential_infimum_and_essential_supremum |