Lebesgue measure (original) (raw)
مقياس لوبيغ (بالإنجليزية: Lebesgue measure) في نظرية القياس هي الطريقة المعيارية لتعيين القياس إلى مجموعات فرعية من الأبعاد ن في الفضاء الإقليدي. هو عبارة عن أمتداد لمقياس جوردان , قدم بواسطة العالم ليبيج عام 1902م.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Lebesgueova míra je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardním pojmem délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem. Lebesgueova míra se používá v především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se v tomto článku označuje λ(A). Lebesgueova míra je pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi, který ji popsal v roce 1901. V roce 1902 vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902. Lebesgueova míra se často značí dx; toto označení nesmíme zaměňovat se stejně značenou variety. (cs) En matemàtiques, la mesura de Lebesgue, anomenada així en honor de Henri Lebesgue, és la forma estàndard d'assignar una longitud, àrea o volum a subconjunts d'un espai euclidià (és a dir, una mesura). Es fa servir en anàlisi real, en particular per a definir la integral de Lebesgue. Els conjunts als que es pot assignar un volum segons aquesta mesura es diuen Lebesgue mesurables i el valor d'aquesta mesura en el conjunt mesurable A es denota generalment per λ(A), m(A) o fins i tot ∣A∣. És possible que un conjunt tingui mesura de Lebesgue de valor ∞ però tot i això, si considerem cert l'axioma d'elecció no tots els subconjunts de ℝn són Lebesgue mesurables. El comportament estrany dels conjunts no mesurables dona lloc a afirmacions com la paradoxa de Banach-Tarski, una conseqüència de l'axioma d'elecció. La mesura de Lebesgue es denota sovint com , però això no s'ha de confondre amb la forma de volum que és una noció diferent. (ca) مقياس لوبيغ (بالإنجليزية: Lebesgue measure) في نظرية القياس هي الطريقة المعيارية لتعيين القياس إلى مجموعات فرعية من الأبعاد ن في الفضاء الإقليدي. هو عبارة عن أمتداد لمقياس جوردان , قدم بواسطة العالم ليبيج عام 1902م. (ar) Το μέτρο Λεμπέγκ είναι ένα μέτρο του χώρου που γενικεύει την έννοια του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Διαισθητικά, ο όγκος ενός αντικειμένου είναι ανεξάρτητος της θέσεως του στον χώρο. Αποδεικνύεται ότι ένα σ-περατό μέτρο ορισμένο στα σύνολα Μπορέλ, με αυτή την ιδιότητα, είναι μη-αρνητικό πολλαπλάσιο του μέτρου Λεμπέγκ περιορισμένου στα σύνολα Μπορέλ. (el) En , la lebega mezuro estas mezuro aŭ la norma maniero de asignado de longo, areo aŭ volumeno al subaroj de eŭklida spaco. Ĝi estas uzata en tuta , aparte por difino de . Aro al kiu povas esti asignita volumeno estas nomata kiel lebege mezurebla; la mezuro de la lebege mezurebla aro A estas skribata kiel λ(A). Lebegaj mezuroj de malfiniaj aroj estas eblaj. La lebega mezuro estas nomita post Henri Leon Lebesgue. Li priskribis ĉi tiu mezuron en la jaro 1901, en la sekva jaro li priskribis de la lebegan integralon. Ambaŭ estis publikigita kiel parto de lia disertaĵo en 1902. Lebega mezuro estas ofte signifata per dx, sed ĉi tio devus ne esti konfuzita kun la malsama komprenaĵo de . (eo) Das Lebesgue-Maß [ləˈbɛg] (nach Henri Léon Lebesgue) ist das Maß im euklidischen Raum, das geometrischen Objekten ihren Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen …) zuordnet. Es ist ein Spezialfall des Lebesgue-Stieltjes-Maßes und dient zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals. (de) In measure theory, a branch of mathematics, the Lebesgue measure, named after French mathematician Henri Lebesgue, is the standard way of assigning a measure to subsets of n-dimensional Euclidean space. For n = 1, 2, or 3, it coincides with the standard measure of length, area, or volume. In general, it is also called n-dimensional volume, n-volume, or simply volume. It is used throughout real analysis, in particular to define Lebesgue integration. Sets that can be assigned a Lebesgue measure are called Lebesgue-measurable; the measure of the Lebesgue-measurable set A is here denoted by λ(A). Henri Lebesgue described this measure in the year 1901, followed the next year by his description of the Lebesgue integral. Both were published as part of his dissertation in 1902. (en) En matemáticas, la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, área o volumen a los subconjuntos de un espacio euclídeo. Se usa en el análisis real, especialmente para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los que se les puede asignar un tamaño se denominan Lebesgue-medibles, o medibles a secas si no hay ambigüedad sobre la medida; el volumen o medida de un conjunto Lebesgue-medible A se denota por λ(A). Un valor de ∞ para la medida de Lebesgue es perfectamente posible, pero aún en ese caso, si se asume el axioma de elección, no todos los conjuntos de Rn son Lebesgue-medibles. El comportamiento «extraño» de los conjuntos no medibles da lugar a tales resultados como la paradoja de Banach-Tarski, una consecuencia del axioma de elección. (es) La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. (fr) In matematica, la misura di Lebesgue è la misura solitamente utilizzata per i sottoinsiemi di uno spazio euclideo di dimensione n. Si tratta di una misura positiva completa che costituisce una generalizzazione dei concetti elementari di area e volume di sottoinsiemi dello spazio euclideo. Gli insiemi a cui è possibile assegnare una misura di Lebesgue sono detti misurabili secondo Lebesgue o Lebesgue-misurabili. Si tratta di una misura molto usata in analisi matematica, e riveste particolare importanza nella definizione dell'integrale di Lebesgue. Se si assume l'assioma della scelta non tutti gli insiemi in sono Lebesgue-misurabili, ed un classico esempio di insieme non misurabile è l'insieme di Vitali. Il comportamento degli insiemi non misurabili dà origine a risultati come il paradosso di Banach-Tarski, una conseguenza anch'esso dell'assioma della scelta. Henri Lebesgue ha descritto la sua misura nel 1901, seguita l'anno seguente dalla descrizione dell'integrale di Lebesgue. Entrambi furono pubblicati come parte della sua dissertazione nel 1902. (it) 측도론에서 르베그 측도(영어: Lebesgue measure)는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이 또는 부피를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 르베그 적분을 정의할 수 있다. (ko) Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary uogólniające pojęcia długości, pola powierzchni i objętości (np. wg Jordana). Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a). Miara Lebesgue’a to jedyna zupełna, wewnętrznie regularna i niezmiennicza na przesunięcia (zob. ) miara borelowska (określona na σ-ciele zawierającym wszystkie otwarte podzbiory przestrzeni), w której (jednostkowa) kostka wielowymiarowa ma miarę jednostkową. Rodzina podzbiorów przestrzeni euklidesowej, dla których sensowne jest określenie miary Lebesgue’a, nie może być opisana w sposób jawny. Elementy tej rodziny tworzą σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Ewentualne istnienie zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a ma podłoże teoriomnogościowe. Mówiąc wprost, zależy to od przyjętego rozszerzenia aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zob. ). (pl) 数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 Rn の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを選択公理によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 A の測度を λ(A) で表す。 (ja) In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een lebesgue-maat, vernoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue, de standaardmanier om een lengte, een oppervlakte of een volume, in het algemeen een maat, aan deelverzamelingen van de euclidische ruimte toe te kennen, overeenkomstig het gewone gebruik van deze termen. De lebesgue-maat van een interval is dus z'n gewone lengte, een rechthoek heeft als maat z'n oppervlakte als lengte maal breedte en een balk (blok) heeft z'n volume, dus lengte maal breedte maal hoogte als maat. Ook in hogere dimensies is de lebesgue-maat van het analogon van een rechthoek of balk, de hyperrechthoek, het product van de lengten van de ribben. De lebesgue-maat is door deze eigenschap eenduidig bepaald. Het begrip wordt door de gehele reële analyse gebruikt, in het bijzonder om de lebesgue-integratie te definiëren. Verzamelingen waaraan een maat kan worden toegekend, worden lebesgue-meetbaar genoemd en het volume of de maat van een lebesgue-meetbare verzameling wordt meestal aangeduid met . Een lebesgue-maat kan ∞ zijn, en ook zijn er onder de veronderstelling van het keuzeaxioma niet-meetbare verzamelingen, waaronder deelverzamelingen van een reëel interval. Het "vreemde" gedrag van niet-meetbare verzamelingen wordt geïllustreerd door de banach-tarskiparadox. (nl) Ме́ра Лебе́га на — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств. В частности, мера Лебега отрезка на вещественной прямой равна его длине, мера Лебега многоугольника на плоскости равна его площади. Была введена французским математиком Анри Лебегом в 1902 году в своей диссертационной работе. (ru) Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do . Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados. (pt) Міра Лебе́га на — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році. (uk) Inom matematiken är Lebesguemått ett mått som motsvarar de vanliga uppfattningarna om längd, yta och volym för mängder i en, två och tre dimensioner. Lebesguemåttet är definierat i det euklidiska rummet . Det introducerades år 1901 i en artikel av Henri Lebesgue och publicerades även i hans doktorsavhandling 1902. (sv) 在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。 勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。 (zh) |
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| rdfs:comment | مقياس لوبيغ (بالإنجليزية: Lebesgue measure) في نظرية القياس هي الطريقة المعيارية لتعيين القياس إلى مجموعات فرعية من الأبعاد ن في الفضاء الإقليدي. هو عبارة عن أمتداد لمقياس جوردان , قدم بواسطة العالم ليبيج عام 1902م. (ar) Το μέτρο Λεμπέγκ είναι ένα μέτρο του χώρου που γενικεύει την έννοια του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Διαισθητικά, ο όγκος ενός αντικειμένου είναι ανεξάρτητος της θέσεως του στον χώρο. Αποδεικνύεται ότι ένα σ-περατό μέτρο ορισμένο στα σύνολα Μπορέλ, με αυτή την ιδιότητα, είναι μη-αρνητικό πολλαπλάσιο του μέτρου Λεμπέγκ περιορισμένου στα σύνολα Μπορέλ. (el) Das Lebesgue-Maß [ləˈbɛg] (nach Henri Léon Lebesgue) ist das Maß im euklidischen Raum, das geometrischen Objekten ihren Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen …) zuordnet. Es ist ein Spezialfall des Lebesgue-Stieltjes-Maßes und dient zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals. (de) En matemáticas, la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, área o volumen a los subconjuntos de un espacio euclídeo. Se usa en el análisis real, especialmente para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los que se les puede asignar un tamaño se denominan Lebesgue-medibles, o medibles a secas si no hay ambigüedad sobre la medida; el volumen o medida de un conjunto Lebesgue-medible A se denota por λ(A). Un valor de ∞ para la medida de Lebesgue es perfectamente posible, pero aún en ese caso, si se asume el axioma de elección, no todos los conjuntos de Rn son Lebesgue-medibles. El comportamiento «extraño» de los conjuntos no medibles da lugar a tales resultados como la paradoja de Banach-Tarski, una consecuencia del axioma de elección. (es) La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. (fr) 측도론에서 르베그 측도(영어: Lebesgue measure)는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이 또는 부피를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 르베그 적분을 정의할 수 있다. (ko) 数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 Rn の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを選択公理によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 A の測度を λ(A) で表す。 (ja) Ме́ра Лебе́га на — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств. В частности, мера Лебега отрезка на вещественной прямой равна его длине, мера Лебега многоугольника на плоскости равна его площади. Была введена французским математиком Анри Лебегом в 1902 году в своей диссертационной работе. (ru) Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do . Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados. (pt) Міра Лебе́га на — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році. (uk) Inom matematiken är Lebesguemått ett mått som motsvarar de vanliga uppfattningarna om längd, yta och volym för mängder i en, två och tre dimensioner. Lebesguemåttet är definierat i det euklidiska rummet . Det introducerades år 1901 i en artikel av Henri Lebesgue och publicerades även i hans doktorsavhandling 1902. (sv) 在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。 勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。 (zh) En matemàtiques, la mesura de Lebesgue, anomenada així en honor de Henri Lebesgue, és la forma estàndard d'assignar una longitud, àrea o volum a subconjunts d'un espai euclidià (és a dir, una mesura). Es fa servir en anàlisi real, en particular per a definir la integral de Lebesgue. Els conjunts als que es pot assignar un volum segons aquesta mesura es diuen Lebesgue mesurables i el valor d'aquesta mesura en el conjunt mesurable A es denota generalment per λ(A), m(A) o fins i tot ∣A∣. És possible que un conjunt tingui mesura de Lebesgue de valor ∞ però tot i això, si considerem cert l'axioma d'elecció no tots els subconjunts de ℝn són Lebesgue mesurables. El comportament estrany dels conjunts no mesurables dona lloc a afirmacions com la paradoxa de Banach-Tarski, una conseqüència de l'axio (ca) Lebesgueova míra je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardním pojmem délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem. Lebesgueova míra se používá v především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se v tomto článku označuje λ(A). Lebesgueova míra se často značí dx; toto označení nesmíme zaměňovat se stejně značenou variety. (cs) En , la lebega mezuro estas mezuro aŭ la norma maniero de asignado de longo, areo aŭ volumeno al subaroj de eŭklida spaco. Ĝi estas uzata en tuta , aparte por difino de . Aro al kiu povas esti asignita volumeno estas nomata kiel lebege mezurebla; la mezuro de la lebege mezurebla aro A estas skribata kiel λ(A). Lebegaj mezuroj de malfiniaj aroj estas eblaj. La lebega mezuro estas nomita post Henri Leon Lebesgue. Li priskribis ĉi tiu mezuron en la jaro 1901, en la sekva jaro li priskribis de la lebegan integralon. Ambaŭ estis publikigita kiel parto de lia disertaĵo en 1902. (eo) In measure theory, a branch of mathematics, the Lebesgue measure, named after French mathematician Henri Lebesgue, is the standard way of assigning a measure to subsets of n-dimensional Euclidean space. For n = 1, 2, or 3, it coincides with the standard measure of length, area, or volume. In general, it is also called n-dimensional volume, n-volume, or simply volume. It is used throughout real analysis, in particular to define Lebesgue integration. Sets that can be assigned a Lebesgue measure are called Lebesgue-measurable; the measure of the Lebesgue-measurable set A is here denoted by λ(A). (en) In matematica, la misura di Lebesgue è la misura solitamente utilizzata per i sottoinsiemi di uno spazio euclideo di dimensione n. Si tratta di una misura positiva completa che costituisce una generalizzazione dei concetti elementari di area e volume di sottoinsiemi dello spazio euclideo. Gli insiemi a cui è possibile assegnare una misura di Lebesgue sono detti misurabili secondo Lebesgue o Lebesgue-misurabili. (it) In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een lebesgue-maat, vernoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue, de standaardmanier om een lengte, een oppervlakte of een volume, in het algemeen een maat, aan deelverzamelingen van de euclidische ruimte toe te kennen, overeenkomstig het gewone gebruik van deze termen. De lebesgue-maat van een interval is dus z'n gewone lengte, een rechthoek heeft als maat z'n oppervlakte als lengte maal breedte en een balk (blok) heeft z'n volume, dus lengte maal breedte maal hoogte als maat. Ook in hogere dimensies is de lebesgue-maat van het analogon van een rechthoek of balk, de hyperrechthoek, het product van de lengten van de ribben. De lebesgue-maat is door deze eigenschap eenduidig bepaald. Het begrip wordt door de gehele reële analyse gebr (nl) Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – pojęcie teorii miary uogólniające pojęcia długości, pola powierzchni i objętości (np. wg Jordana). Historycznie pojęcie miary (nazywanej dziś miarą Lebesgue’a) pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż przedziały domknięte (tzw. całka Lebesgue’a). (pl) |
| rdfs:label | مقياس لوبيغ (ar) Mesura de Lebesgue (ca) Lebesgueova míra (cs) Lebesgue-Maß (de) Μέτρο Λεμπέγκ (el) Lebega mezuro (eo) Medida de Lebesgue (es) Mesure de Lebesgue (fr) Misura di Lebesgue (it) Lebesgue measure (en) ルベーグ測度 (ja) 르베그 측도 (ko) Lebesgue-maat (nl) Miara Lebesgue’a (pl) Medida de Lebesgue (pt) Мера Лебега (ru) Lebesguemått (sv) 勒贝格测度 (zh) Міра Лебега (uk) |
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