Gegenbauer polynomials (original) (raw)
Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall mit der , mit . Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der . Die Polynome haben die Form für , andernfalls Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion darstellen: Der Wert für ist Die ersten Polynome haben die Gestalt:
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall mit der , mit . Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der . Die Polynome haben die Form für , andernfalls Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion darstellen: Der Wert für ist Die ersten Polynome haben die Gestalt: (de) In mathematics, Gegenbauer polynomials or ultraspherical polynomials C(α)n(x) are orthogonal polynomials on the interval [−1,1] with respect to the weight function (1 − x2)α–1/2. They generalize Legendre polynomials and Chebyshev polynomials, and are special cases of Jacobi polynomials. They are named after Leopold Gegenbauer. (en) En mathématiques, les polynômes de Gegenbauer ou polynômes ultrasphériques sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont nommés ainsi en l'honneur de Leopold Gegenbauer (1849-1903). Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où n est la factorielle décroissante. (fr) 数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) とは、 (1849–1903) にちなんで命名された、区間 上で定義される重み関数 の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、の特殊事例である。 (ja) In matematica i polinomi di Gegenbauer, chiamati anche polinomi ultrasferici, costituiscono una famiglia di successioni di polinomi ortogonali. Essi traggono il loro nome dal matematico austriaco Leopold Gegenbauer (1849-1903). Essi si possono definire come particolari serie ipergeometriche in casi nei quali tali serie si riducono a somme finite: dove denota il fattoriale crescente. (Vedi Abramowitz & Stegun p. 561) (it) Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией . Они могут быть явным образом представлены как где — гамма-функция, а обозначает целую часть числа n/2. Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы . Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903). (ru) Inom matematiken är Gegenbauerpolynomen eller ultrasfäriska polynomen C(α)n(x) en serie ortogonala polynom. De generaliserar Legendrepolynomen och Tjebysjovpolynomen, och är specialfall av Jacobipolynomen. De är uppkallade efter . (sv) 盖根鲍尔多项式又称超球多项式，是定义在区间上、权函数为的正交多项式。它是勒让德多项式和切比雪夫多项式的推广，又是雅可比多项式的特殊情况。它以奥地利数学家命名。 (zh) Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми, ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева. Їх можна явно записати у вигляді суми де — гамма-функція, позначає цілу частину числа , а — символ Похгаммера. Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження , хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного . Згідно наведено вище означення і часто у випадку функцію перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями»). Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі. Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики у Чернівецькому універститеті, на той час — Університеті Франца-Йосифа (нім. Franz-Josephs-Universität). (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Gegenbauer_polynomials.gif?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_774.htm https://archive.org/details/introductiontofo0000stei |
| dbo:wikiPageID | 2122340 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 6998 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1107206837 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Rodrigues_formula dbr:Romanovski_polynomials dbr:Mathematics dbr:Generating_function dbr:Gravitational_potential dbr:Legendre_polynomials dbr:Harmonic_analysis dbr:Leopold_Gegenbauer dbr:Positive-definite_function dbr:Diagonal_matrix dbr:Recurrence_relation dbr:Jacobi_polynomials dbr:Potential_theory dbc:Orthogonal_polynomials dbc:Special_hypergeometric_functions dbr:Chebyshev_polynomials dbr:Weight_function dbr:Askey–Gasper_inequality dbr:Spherical_harmonics dbr:Orthogonal_polynomials dbr:Newtonian_potential dbr:Poisson_kernel dbr:Rogers_polynomials dbr:Rising_factorial dbr:Gaussian_hypergeometric_series dbr:Zonal_spherical_harmonic dbr:Banded_matrix dbr:Spectral_methods |
| dbp:b | n (en) |
| dbp:first | P.K. (en) René F. (en) Roderick S. C. (en) Roelof (en) Tom H. (en) |
| dbp:id | 18 (xsd:integer) U/u095030 (en) |
| dbp:last | Wong (en) Koekoek (en) Koornwinder (en) Swarttouw (en) Suetin (en) |
| dbp:title | Orthogonal Polynomials (en) Ultraspherical polynomials (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation dbt:Harv dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Su dbt:Dlmf dbt:Abramowitz_Stegun_ref |
| dcterms:subject | dbc:Orthogonal_polynomials dbc:Special_hypergeometric_functions |
| gold:hypernym | dbr:Polynomials |
| rdf:type | yago:WikicatOrthogonalPolynomials yago:WikicatSpecialFunctions yago:WikicatSpecialHypergeometricFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Polynomial105861855 yago:Relation100031921 |
| rdfs:comment | Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall mit der , mit . Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der . Die Polynome haben die Form für , andernfalls Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion darstellen: Der Wert für ist Die ersten Polynome haben die Gestalt: (de) In mathematics, Gegenbauer polynomials or ultraspherical polynomials C(α)n(x) are orthogonal polynomials on the interval [−1,1] with respect to the weight function (1 − x2)α–1/2. They generalize Legendre polynomials and Chebyshev polynomials, and are special cases of Jacobi polynomials. They are named after Leopold Gegenbauer. (en) En mathématiques, les polynômes de Gegenbauer ou polynômes ultrasphériques sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont nommés ainsi en l'honneur de Leopold Gegenbauer (1849-1903). Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où n est la factorielle décroissante. (fr) 数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) とは、 (1849–1903) にちなんで命名された、区間 上で定義される重み関数 の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、の特殊事例である。 (ja) In matematica i polinomi di Gegenbauer, chiamati anche polinomi ultrasferici, costituiscono una famiglia di successioni di polinomi ortogonali. Essi traggono il loro nome dal matematico austriaco Leopold Gegenbauer (1849-1903). Essi si possono definire come particolari serie ipergeometriche in casi nei quali tali serie si riducono a somme finite: dove denota il fattoriale crescente. (Vedi Abramowitz & Stegun p. 561) (it) Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией . Они могут быть явным образом представлены как где — гамма-функция, а обозначает целую часть числа n/2. Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы . Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903). (ru) Inom matematiken är Gegenbauerpolynomen eller ultrasfäriska polynomen C(α)n(x) en serie ortogonala polynom. De generaliserar Legendrepolynomen och Tjebysjovpolynomen, och är specialfall av Jacobipolynomen. De är uppkallade efter . (sv) 盖根鲍尔多项式又称超球多项式，是定义在区间上、权函数为的正交多项式。它是勒让德多项式和切比雪夫多项式的推广，又是雅可比多项式的特殊情况。它以奥地利数学家命名。 (zh) Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми, ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева. Їх можна явно записати у вигляді суми де — гамма-функція, позначає цілу частину числа , а — символ Похгаммера. Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження , хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного . Згідно наведено вище означення і часто у випадку функцію перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями»). (uk) |
| rdfs:label | Gegenbauer-Polynom (de) Gegenbauer polynomials (en) Polynôme de Gegenbauer (fr) Polinomi di Gegenbauer (it) ゲーゲンバウアー多項式 (ja) Многочлены Гегенбауэра (ru) Gegenbauerpolynom (sv) 盖根鲍尔多项式 (zh) Поліноми Ґеґенбауера (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Gegenbauer polynomials yago-res:Gegenbauer polynomials wikidata:Gegenbauer polynomials dbpedia-de:Gegenbauer polynomials dbpedia-fr:Gegenbauer polynomials dbpedia-it:Gegenbauer polynomials dbpedia-ja:Gegenbauer polynomials dbpedia-ru:Gegenbauer polynomials dbpedia-sr:Gegenbauer polynomials dbpedia-sv:Gegenbauer polynomials dbpedia-uk:Gegenbauer polynomials dbpedia-zh:Gegenbauer polynomials https://global.dbpedia.org/id/VeMK |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Gegenbauer_polynomials?oldid=1107206837&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/1_in_the_complex_plan...atica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg wiki-commons:Special:FilePath/Gegenbauer_polynomials.gif wiki-commons:Special:FilePath/Mplwp_gegenbauer_Cn05a1.svg wiki-commons:Special:FilePath/Mplwp_gegenbauer_Cn05a2.svg wiki-commons:Special:FilePath/Mplwp_gegenbauer_Cn05a3.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Gegenbauer_polynomials |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Gegenbauer |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Gegenbauer_Polynomials dbr:Gegenbauer_function dbr:Gegenbauer_polynomial dbr:Ultraspherical_differential_equation dbr:Ultraspherical_function dbr:Ultraspherical_polynomial dbr:Ultraspherical_polynomials |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Romanovski_polynomials dbr:Hypergeometric_function dbr:List_of_polynomial_topics dbr:List_of_real_analysis_topics dbr:Gegenbauer dbr:Gauss–Jacobi_quadrature dbr:Batchelor–Chandrasekhar_equation dbr:Legendre_polynomials dbr:Leopold_Gegenbauer dbr:Gegenbauer_Polynomials dbr:Trigonometric_Rosen–Morse_potential dbr:Jacobi_polynomials dbr:Chebyshev_polynomials dbr:Classical_orthogonal_polynomials dbr:Orthogonal_polynomials dbr:List_of_special_functions_and_eponyms dbr:Waffle-iron_filter dbr:Gegenbauer_function dbr:Gegenbauer_polynomial dbr:Ultraspherical_differential_equation dbr:Ultraspherical_function dbr:Ultraspherical_polynomial dbr:Ultraspherical_polynomials |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Gegenbauer_polynomials |
