Diagonal matrix (original) (raw)
V lineární algebře označuje pojem diagonální matice čtvercovou matici n×n, která může mít nenulové prvky pouze na hlavní diagonále.Někdy se tento termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku toto zobecnění nebudeme uvažovat. Příkladem diagonální matice je matice Diagonální matice se někdy zapisuje jako diag(a1, …, an), kde ai odpovídá prvku matice aii.Matice v předchozím příkladu je tedy diag(1, 4, -3). Každá jednotková matice a každá čtvercová nulová matice je diagonální maticí.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في الجبر الخطي، مصفوفة قطرية (بالإنجليزية: Diagonal matrix) هي مصفوفة مربعة تكون فيها كل العناصر الواقعة خارج القطر الرئيسي مساوية لصفر. أمّا العناصر التي تقع على القطر الرئيسي فيمكنها أن تتخذ أية قيم كانت. وبصيغة رياضية، فإنّ المصفوفة ذات n أسطر وn أعمدة تدعى قطرية إذا تحقّق: على سبيل المثال، المصفوفة التالية هي قطرية: المصفوفات القطرية، نظرا إلى بنيتها، هي أيضًا مصفوفات متناظرة. بالإضافة إلى ذلك، فإنّ كل مصفوفة قطرية هي مصفوفة مثلثية عليا وأيضًا مصفوفة مثلثية دنيا. إنّ مصفوفة الوحدة (أي التي كل العناصر في قطرها الرئيسي تساوي 1، وباقي العناصر تساوي صفرًا)هي أيضًا مصفوفة قطرية، وكذلك المصفوفات الصفرية (أي التي تساوي جميع عناصرها صفرًا). أمّا إذا كانت جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي في مصفوفة قطرية كانت ذات نفس القيمة، ، فتدعى المصفوفة آنذاك مصفوفة عددية، وبالإمكان كتابتها كـ، حيث هي مصفوفة الوحدة. (ar) En l'àlgebra lineal, una matriu diagonal és una matriu quadrada en què els seus elements valen zero a excepció dels de la diagonal principal, que poden valer zero o no. Així, la matriu és diagonal si i només si: Per exemple, la matriu següent és diagonal: Un altre exemple de matriu diagonal és la matriu identitat. Sovint, es designa amb la notació diag(a1,...,an) la matriu diagonal que té les entrades a1,...,an en la diagonal principal, començant per la cantonada superior esquerra. És a dir, l'exemple anterior es correspon amb la matriu diag(1,4,-2); mentre que les matrius identitat són les del tipus diag(1,1,...,1). Tota matriu diagonal és també una matriu simètrica, triangular (superior i inferior) i, si les entrades provenen del cos ℝ o ℂ, normal. (ca) V lineární algebře označuje pojem diagonální matice čtvercovou matici n×n, která může mít nenulové prvky pouze na hlavní diagonále.Někdy se tento termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku toto zobecnění nebudeme uvažovat. Příkladem diagonální matice je matice Diagonální matice se někdy zapisuje jako diag(a1, …, an), kde ai odpovídá prvku matice aii.Matice v předchozím příkladu je tedy diag(1, 4, -3). Každá jednotková matice a každá čtvercová nulová matice je diagonální maticí. (cs) Als Diagonalmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt. Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen.Wird eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden. Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, wenn eine reguläre Matrix so existiert, dass bzw. gilt. (de) En lineara algebro, diagonala matrico estas kvadrata matrico en kiu la elementoj ekster la ĉefdiagonalo estas ĉiuj nulaj. La diagonalaj elementoj povas esti aŭ ne esti nulaj. Tiel, matrico D = (di,j) kun n kolumnoj kaj n linioj estas diagonala se: Skribmaniero uzata estas diag(d1,...,dn) por diagonala matrico kies diagonalaj elementoj startante de la supra maldekstre angulo estas d1,...,dn. Ekzemple, jena matrico estas diagonala: = diag (2, -5, 6) . La termino diagonala matrico povas iam esti uzata por ortangula diagonala matrico, kiu estas m-per-n matrico kie nur la elementoj de la formo di,i povas esti ne nulaj, ekzemple, aŭ . Tamen, en la resto de ĉi tiu artikolo ni estos konsiderantaj nur kvadrataj matricoj. Ĉiu diagonala matrico estas ankaŭ simetria matrico. Ankaŭ, se la elementoj estas de la kampo R aŭ C, tiam ĝi estas normala matrico. Ekvivalente, oni povas difini diagonalan matricon kiel matrico kiu estas samtempe supra triangula matrico kaj suba triangula matrico. La identa matrico In kaj ĉiu kvadrata nula matrico estas diagonala. Unu-dimensia matrico estas ĉiam diagonala. Diagonala matrico kun ĉiuj ĝiaj ĉefdiagonalaj elementoj la samaj estas skalara matrico, ĝi estas skalaro multiplikita je identa matrico λI. Ĝia efiko sur vektoro estas la sama kiel de skalara multipliko per λ. La skalaraj matricoj estas la de la algebro de matricoj, alivorte ili estas matricoj kiuj komutiĝas kun ĉiuj kvadrataj matricoj de la sama amplekso. (eo) En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño es mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño es La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una ) es una matriz diagonal. (es) In linear algebra, a diagonal matrix is a matrix in which the entries outside the main diagonal are all zero; the term usually refers to square matrices. Elements of the main diagonal can either be zero or nonzero. An example of a 2×2 diagonal matrix is , while an example of a 3×3 diagonal matrix is. An identity matrix of any size, or any multiple of it (a ), is a diagonal matrix. A diagonal matrix is sometimes called a scaling matrix, since matrix multiplication with it results in changing scale (size). Its determinant is the product of its diagonal values. (en) Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, matrizea diagonala da : bada. Hau da:. Adibidez, honako matrize hau diagonala da: Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da. Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(a1,...,an) notazioa erabiltzen da, non a1,...,an diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...,1) motakoak dira. Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, deitzen dira. (eu) Dalam aljabar linear, matriks diagonal adalah matriks dengan elemen-elemen yang bukan diagonal utama bernilai nol. Matriks ini umumnya merujuk pada matriks persegi. Contoh matriks diagonal berukuran 2 x 2 adalah , sedangkan contoh matriks diagonal berukuran 3 x 3 adalah . Matriks identitas berukuran berapapun, maupun kelipatannya (matriks skalar), juga termasuk matriks identitas. Determinan dari matriks diagonal adalah hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. (in) En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire. La matrice identité In est diagonale. (fr) 数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、英: diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（(i, i)-要素）以外が零であるような行列のことである。 この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば diag(c1, c2, ..., cn) のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。 (ja) 선형대수학에서 대각 행렬(對角行列, 영어: diagonal matrix)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.:100 (ko) In matematica, una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui solamente i valori della diagonale principale possono essere diversi da 0. Non si impone che i valori sulla diagonale siano diversi da zero: la matrice quadrata nulla è quindi diagonale. Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici: come anche la matrice identità. Talvolta tra le matrici diagonali si considerano anche matrici rettangolari del tipo: (it) In de lineaire algebra is een diagonaalmatrix een vierkante matrix, waarvan alle elementen buiten de hoofddiagonaal (↘) gelijk aan nul zijn. De diagonale elementen kunnen al of niet gelijk zijn aan nul. De -matrix is een diagonaalmatrix als voor alle : Diagonaalmatrices worden volledig bepaald door de waarden van de elementen op de hoofddiagonaal. Een gebruikelijke schrijfwijze is . De som van de elementen op de hoofddiagonaal van de diagonaalmatrix wordt het spoor van genoemd, symbool: , en is bijgevolg gedefinieerd als: (nl) Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie. (pl) Inom linjär algebra är en diagonal, i en kvadratisk matris, följden av element från dess övre vänstra till dess nedre högra hörn. Med andra ord, om n×n-matrisen A har elementet aij i den unika positionen i rad i och kolumn j, så består dess diagonal av följden . Ibland kallas inte bara denna följd, huvuddiagonalen, för diagonal, utan varje följd om n element som har precis ett element ur varje rad och precis ett element ur varje kolonn kallas för en diagonal. Med denna vidare definition blir till exempel (för n=3) en diagonal. En n×n-matris har i denna mening n! (n-fakultet) många diagonaler. (sv) Uma matriz diagonal, em álgebra linear, é uma matriz cujos elementos exteriores à diagonal principal são nulos. Equivalentemente, pode-se definir uma matriz diagonal como sendo uma matriz que é ao simultaneamente triangular superior e inferior. Por exemplo, as seguintes matrizes são diagonais: Toda matriz quadrada diagonal é simétrica. A definição de uma matriz diagonal permite que o elementos que pertencem à diagonal principal de uma matriz diagonal sejam nulos. (pt) Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: . Диагональная матрица с элементами , стоящими на главной диагонали, обозначается . Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали. Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно: , . Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: . Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть: . Обратная матрица для диагональной матрицы равна: . Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны). В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме). (ru) 對角矩陣（英語：diagonal matrix）是一类除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n阶方块矩阵 = (di,j)符合以下性質： 則矩陣為對角矩陣。 (zh) Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю. Більш формально, діагональною називають таку матрицю , що . Можна також записати , де — символ Кронекера. Одинична матриця діагональна за визначенням. (uk) |
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(es) In linear algebra, a diagonal matrix is a matrix in which the entries outside the main diagonal are all zero; the term usually refers to square matrices. Elements of the main diagonal can either be zero or nonzero. An example of a 2×2 diagonal matrix is , while an example of a 3×3 diagonal matrix is. An identity matrix of any size, or any multiple of it (a ), is a diagonal matrix. A diagonal matrix is sometimes called a scaling matrix, since matrix multiplication with it results in changing scale (size). Its determinant is the product of its diagonal values. (en) Dalam aljabar linear, matriks diagonal adalah matriks dengan elemen-elemen yang bukan diagonal utama bernilai nol. Matriks ini umumnya merujuk pada matriks persegi. Contoh matriks diagonal berukuran 2 x 2 adalah , sedangkan contoh matriks diagonal berukuran 3 x 3 adalah . Matriks identitas berukuran berapapun, maupun kelipatannya (matriks skalar), juga termasuk matriks identitas. Determinan dari matriks diagonal adalah hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. (in) En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale. Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire. La matrice identité In est diagonale. (fr) 数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、英: diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（(i, i)-要素）以外が零であるような行列のことである。 この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば diag(c1, c2, ..., cn) のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。 (ja) 선형대수학에서 대각 행렬(對角行列, 영어: diagonal matrix)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.:100 (ko) In matematica, una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui solamente i valori della diagonale principale possono essere diversi da 0. Non si impone che i valori sulla diagonale siano diversi da zero: la matrice quadrata nulla è quindi diagonale. Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici: come anche la matrice identità. Talvolta tra le matrici diagonali si considerano anche matrici rettangolari del tipo: (it) In de lineaire algebra is een diagonaalmatrix een vierkante matrix, waarvan alle elementen buiten de hoofddiagonaal (↘) gelijk aan nul zijn. De diagonale elementen kunnen al of niet gelijk zijn aan nul. De -matrix is een diagonaalmatrix als voor alle : Diagonaalmatrices worden volledig bepaald door de waarden van de elementen op de hoofddiagonaal. Een gebruikelijke schrijfwijze is . De som van de elementen op de hoofddiagonaal van de diagonaalmatrix wordt het spoor van genoemd, symbool: , en is bijgevolg gedefinieerd als: (nl) Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie. (pl) Inom linjär algebra är en diagonal, i en kvadratisk matris, följden av element från dess övre vänstra till dess nedre högra hörn. Med andra ord, om n×n-matrisen A har elementet aij i den unika positionen i rad i och kolumn j, så består dess diagonal av följden . Ibland kallas inte bara denna följd, huvuddiagonalen, för diagonal, utan varje följd om n element som har precis ett element ur varje rad och precis ett element ur varje kolonn kallas för en diagonal. Med denna vidare definition blir till exempel (för n=3) en diagonal. En n×n-matris har i denna mening n! (n-fakultet) många diagonaler. (sv) Uma matriz diagonal, em álgebra linear, é uma matriz cujos elementos exteriores à diagonal principal são nulos. Equivalentemente, pode-se definir uma matriz diagonal como sendo uma matriz que é ao simultaneamente triangular superior e inferior. Por exemplo, as seguintes matrizes são diagonais: Toda matriz quadrada diagonal é simétrica. A definição de uma matriz diagonal permite que o elementos que pertencem à diagonal principal de uma matriz diagonal sejam nulos. (pt) 對角矩陣（英語：diagonal matrix）是一类除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n阶方块矩阵 = (di,j)符合以下性質： 則矩陣為對角矩陣。 (zh) Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю. Більш формально, діагональною називають таку матрицю , що . Можна також записати , де — символ Кронекера. Одинична матриця діагональна за визначенням. (uk) في الجبر الخطي، مصفوفة قطرية (بالإنجليزية: Diagonal matrix) هي مصفوفة مربعة تكون فيها كل العناصر الواقعة خارج القطر الرئيسي مساوية لصفر. أمّا العناصر التي تقع على القطر الرئيسي فيمكنها أن تتخذ أية قيم كانت. وبصيغة رياضية، فإنّ المصفوفة ذات n أسطر وn أعمدة تدعى قطرية إذا تحقّق: على سبيل المثال، المصفوفة التالية هي قطرية: المصفوفات القطرية، نظرا إلى بنيتها، هي أيضًا مصفوفات متناظرة. بالإضافة إلى ذلك، فإنّ كل مصفوفة قطرية هي مصفوفة مثلثية عليا وأيضًا مصفوفة مثلثية دنيا. (ar) En l'àlgebra lineal, una matriu diagonal és una matriu quadrada en què els seus elements valen zero a excepció dels de la diagonal principal, que poden valer zero o no. Així, la matriu és diagonal si i només si: Per exemple, la matriu següent és diagonal: Un altre exemple de matriu diagonal és la matriu identitat. Tota matriu diagonal és també una matriu simètrica, triangular (superior i inferior) i, si les entrades provenen del cos ℝ o ℂ, normal. (ca) En lineara algebro, diagonala matrico estas kvadrata matrico en kiu la elementoj ekster la ĉefdiagonalo estas ĉiuj nulaj. La diagonalaj elementoj povas esti aŭ ne esti nulaj. Tiel, matrico D = (di,j) kun n kolumnoj kaj n linioj estas diagonala se: Skribmaniero uzata estas diag(d1,...,dn) por diagonala matrico kies diagonalaj elementoj startante de la supra maldekstre angulo estas d1,...,dn. Ekzemple, jena matrico estas diagonala: = diag (2, -5, 6) . aŭ . Tamen, en la resto de ĉi tiu artikolo ni estos konsiderantaj nur kvadrataj matricoj. (eo) Als Diagonalmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt. Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen.Wird eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden. (de) Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, matrizea diagonala da : bada. Hau da:. Adibidez, honako matrize hau diagonala da: Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da. Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, deitzen dira. (eu) Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: . Диагональная матрица с элементами , стоящими на главной диагонали, обозначается . Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали. Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно: , . Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: . . Обратная матрица для диагональной матрицы равна: . (ru) |
| rdfs:label | مصفوفة قطرية (ar) Matriu diagonal (ca) Diagonální matice (cs) Diagonalmatrix (de) Διαγώνιος πίνακας (el) Diagonala matrico (eo) Matriz diagonal (es) Matrize diagonal (eu) Diagonal matrix (en) Matriks diagonal (in) Matrice diagonale (it) Matrice diagonale (fr) 대각 행렬 (ko) 対角行列 (ja) Diagonaalmatrix (nl) Macierz diagonalna (pl) Matriz diagonal (pt) Diagonal (linjär algebra) (sv) Диагональная матрица (ru) Діагональна матриця (uk) 對角矩陣 (zh) |
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