Hyperbolic set (original) (raw)
In der Theorie der dynamischen Systeme bezeichnet man eine unter einem Fluss invariante Menge als hyperbolische Menge, wenn der Fluss entlang dieser Menge in einigen Richtungen kontrahierend und in anderen Richtungen expandierend wirkt. Dieses Verhalten ist typisch für chaotische dynamische Systeme.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Theorie der dynamischen Systeme bezeichnet man eine unter einem Fluss invariante Menge als hyperbolische Menge, wenn der Fluss entlang dieser Menge in einigen Richtungen kontrahierend und in anderen Richtungen expandierend wirkt. Dieses Verhalten ist typisch für chaotische dynamische Systeme. (de) In dynamical systems theory, a subset Λ of a smooth manifold M is said to have a hyperbolic structure with respect to a smooth map f if its tangent bundle may be split into two invariant subbundles, one of which is contracting and the other is expanding under f, with respect to some Riemannian metric on M. An analogous definition applies to the case of flows. In the special case when the entire manifold M is hyperbolic, the map f is called an Anosov diffeomorphism. The dynamics of f on a hyperbolic set, or hyperbolic dynamics, exhibits features of local structural stability and has been much studied, cf. Axiom A. (en) La dynamique hyperbolique est l'étude des systèmes dynamiques qui présentent de l'hyperbolicité. Décrivons un exemple simple : on se donne la matrice diagonale on peut regarder sa dynamique sur le plan. est le seul point fixe. On a une direction qui est comprimée, une direction qui est dilatée. On peut remarquer que les autres points ont trois comportements : soit ils tendent vers , soit ils s'en éloignent en ligne droite, soit ils ont une trajectoire en forme d'hyperbole. On dit qu'un système dynamique différentiel présente de l'hyperbolicité quand tous les points périodiques présentent ce genre de comportement, ou plus généralement, tous les ensembles compacts invariants. Le résultat important concernant ces systèmes dynamiques est qu'il exhibent des propriétés de stabilité et des propriétés ergodiques, qui en font des bons candidats pour décrire les systèmes physiques. (fr) 数学の力学系理論において、ある滑らかな多様体 M の部分集合 Λ が、ある滑らかな写像 f に関する双曲型構造（そうきょくがたこうぞう、英: hyperbolic structure）を持つとは、その接束を二つの不変なに分解でき、M 上のあるリーマン計量に関して、その一方は f の下で縮小で、もう一方は拡大となることを言う。類似の定義はフローに対しても適用できる。 全多様体 M が双曲型であるような特別な場合は、写像 f はと呼ばれる。ある双曲型集合上での f の力学、あるいは双曲型力学と呼ばれるものは、局所的な構造安定性を示すもので、長い間多くの研究がなされている。例えばを参照。 (ja) В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм многообразия гиперболичен на инвариантном множестве , если касательное расслоение над допускает непрерывное разложение в прямую сумму, причём подрасслоения и инвариантны относительно динамики, и вектора растягиваются, а вектора сжимаются под действием динамики: где и — константы. Также в этом случае говорят, что — гиперболическое инвариантное множество отображения . (ru) |
| dbo:wikiPageID | 2658073 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 3175 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 798080525 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Pushforward_(differential) dbr:Anosov_diffeomorphism dbr:Dynamical_systems_theory dbr:Compact_space dbr:Tangent_bundle dbr:Eigenvalues_and_eigenvectors dbr:Structural_stability dbr:Whitney_sum dbr:Absolute_value dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Flow_(mathematics) dbr:Diffeomorphism dbr:Riemannian_metric dbr:Hyperbolic_equilibrium_point dbc:Dynamical_systems dbc:Limit_sets dbr:Axiom_A dbr:Smooth_manifold dbr:Stable_manifold dbr:Subbundle dbr:Unstable_manifold dbr:Periodic_orbit dbr:Smooth_map |
| dbp:id | 4338 (xsd:integer) |
| dbp:title | Hyperbolic Set (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:PlanetMath_attribution |
| dcterms:subject | dbc:Dynamical_systems dbc:Limit_sets |
| rdf:type | yago:WikicatLimitSets yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Collection107951464 yago:DynamicalSystem106246361 yago:Group100031264 yago:PhaseSpace100029114 yago:Set107996689 yago:Space100028651 yago:WikicatDynamicalSystems |
| rdfs:comment | In der Theorie der dynamischen Systeme bezeichnet man eine unter einem Fluss invariante Menge als hyperbolische Menge, wenn der Fluss entlang dieser Menge in einigen Richtungen kontrahierend und in anderen Richtungen expandierend wirkt. Dieses Verhalten ist typisch für chaotische dynamische Systeme. (de) 数学の力学系理論において、ある滑らかな多様体 M の部分集合 Λ が、ある滑らかな写像 f に関する双曲型構造（そうきょくがたこうぞう、英: hyperbolic structure）を持つとは、その接束を二つの不変なに分解でき、M 上のあるリーマン計量に関して、その一方は f の下で縮小で、もう一方は拡大となることを言う。類似の定義はフローに対しても適用できる。 全多様体 M が双曲型であるような特別な場合は、写像 f はと呼ばれる。ある双曲型集合上での f の力学、あるいは双曲型力学と呼ばれるものは、局所的な構造安定性を示すもので、長い間多くの研究がなされている。例えばを参照。 (ja) В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм многообразия гиперболичен на инвариантном множестве , если касательное расслоение над допускает непрерывное разложение в прямую сумму, причём подрасслоения и инвариантны относительно динамики, и вектора растягиваются, а вектора сжимаются под действием динамики: где и — константы. Также в этом случае говорят, что — гиперболическое инвариантное множество отображения . (ru) In dynamical systems theory, a subset Λ of a smooth manifold M is said to have a hyperbolic structure with respect to a smooth map f if its tangent bundle may be split into two invariant subbundles, one of which is contracting and the other is expanding under f, with respect to some Riemannian metric on M. An analogous definition applies to the case of flows. (en) La dynamique hyperbolique est l'étude des systèmes dynamiques qui présentent de l'hyperbolicité. Décrivons un exemple simple : on se donne la matrice diagonale on peut regarder sa dynamique sur le plan. est le seul point fixe. On a une direction qui est comprimée, une direction qui est dilatée. On peut remarquer que les autres points ont trois comportements : soit ils tendent vers , soit ils s'en éloignent en ligne droite, soit ils ont une trajectoire en forme d'hyperbole. (fr) |
| rdfs:label | Hyperbolische Menge (de) Hyperbolic set (en) Dynamique hyperbolique (fr) 双曲型集合 (ja) Гиперболическое множество (ru) Гіперболічна множина (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Hyperbolic set yago-res:Hyperbolic set wikidata:Hyperbolic set dbpedia-de:Hyperbolic set dbpedia-fr:Hyperbolic set dbpedia-ja:Hyperbolic set dbpedia-ru:Hyperbolic set dbpedia-uk:Hyperbolic set https://global.dbpedia.org/id/2pBLM |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hyperbolic_set?oldid=798080525&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hyperbolic_set |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hyperbolic_diffeomorphism dbr:Hyperbolic_dynamics |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Method_of_averaging dbr:Anosov_diffeomorphism dbr:Index_of_physics_articles_(H) dbr:Invariant_manifold dbr:Limit_cycle dbr:Normally_hyperbolic_invariant_manifold dbr:Branched_manifold dbr:Attractor dbr:Hyperbolic_equilibrium_point dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Axiom_A dbr:Hyperbolic_structure dbr:Shadowing_lemma dbr:Solenoid_(mathematics) dbr:Stable_manifold dbr:Morse–Smale_system dbr:Hyperbolic_diffeomorphism dbr:Hyperbolic_dynamics |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hyperbolic_set |