Riemannian manifold (original) (raw)
Riemannovým (riemannovským) prostorem nebo též Riemanovou varietou, je v matematice a fyzice označován prostor, na kterém je možné měřit vzdálenosti bodů a úhly tečných vektorů. Pojmenování je po matematikovi Bernhardovi Riemannovi. Speciální případy Riemannových prostorů jsou Euklidovská, Lobačevského a sférická geometrie.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, i més específicament en geometria diferencial, una varietat riemanniana és una varietat diferenciable real dotada d'una mètrica riemanniana, és a dir, un camp tensorial diferenciable que dota cada espai tangent d'un producte escalar. L'estudi de les varietats riemannianes es coneix com a geometria riemanniana. El nom prové del matemàtic alemany del s. XIX Bernhard Riemann, qui amb el seu estudi de les varietats de dimensió arbitrària fou el fundador de la geometria riemanniana. La mètrica riemanniana, també dita tensor mètric, permet definir diverses nocions mètriques en la varietat, com ara longitud de corbes, angles, àrees o volums, curvatura, gradient de funcions i divergència de camps vectorials. (ca) Riemannovým (riemannovským) prostorem nebo též Riemanovou varietou, je v matematice a fyzice označován prostor, na kterém je možné měřit vzdálenosti bodů a úhly tečných vektorů. Pojmenování je po matematikovi Bernhardovi Riemannovi. Speciální případy Riemannových prostorů jsou Euklidovská, Lobačevského a sférická geometrie. (cs) في الهندسة التفاضلية، متعدد شعب ريماني أو فضاء ريماني (بالإنجليزية: Riemannian manifold) هو مزود بجداء داخلي... (ar) Eine riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein riemannscher Raum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie. Diese Mannigfaltigkeiten haben die zusätzliche Eigenschaft, dass sie eine Metrik ähnlich wie ein Prähilbertraum besitzen. Mit Hilfe dieser riemannschen Metrik lassen sich dann die wesentlichen geometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit beschreiben. So gelten auf jeder riemannschen Mannigfaltigkeit die folgenden, teilweise äquivalenten, Eigenschaften: * Die kürzesten Strecken zwischen unterschiedlichen Punkten (die sogenannten Geodäten) sind nicht zwingend Geradenstücke, sondern können gekrümmte Kurven sein. * Die Winkelsumme von Dreiecken kann, im Gegensatz zur Ebene, auch größer (z. B. Kugel) oder kleiner (hyperbolische Räume) als 180° sein. * Die Parallelverschiebung von Tangentialvektoren entlang geschlossener Kurven kann die Richtung des Vektors ändern. * Das Ergebnis einer Parallelverschiebung eines Tangentialvektors hängt auch vom Weg ab, entlang dessen der Tangentialvektor verschoben wird. * Die Krümmung ist im Allgemeinen eine Funktion des Ortes auf der Mannigfaltigkeit. * Abstandsmessungen zwischen unterschiedlichen Punkten sind nur mit Hilfe einer Metrik möglich, die vom Ort auf der Mannigfaltigkeit abhängen kann. Der etwas allgemeinere Begriff der pseudo-riemannschen oder semi-riemannschen Mannigfaltigkeit ist in der allgemeinen Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da in dieser die Raumzeit als solche beschrieben wird. (de) En diferenciala geometrio, rimana sternaĵo estas glata sternaĵo, ekipita per dulineara metriko je ĉiu punkto (la rimana metriko). (eo) En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interno de manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales. (es) En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la variété riemannienne est l'objet de base étudié en géométrie riemannienne.Il s'agit d'une variété, c'est-à-dire un espace courbe généralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) à une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur. En termes techniques, une variété riemannienne est une variété différentielle munie d'une structure supplémentaire appelée métrique riemannienne permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs tangents à la variété en un même point. Cette métrique permet de définir la longueur d'un chemin entre deux points de la variété, puis les géodésiques qui répondent à un problème de plus court chemin. Les concepts fondamentaux qu'on associe à la variété riemannienne sont la connexion de Levi-Civita et la courbure. (fr) Dalam geometri diferensial, sebuah manifold Riemann atau ruang Riemannan adalah sebuah yang dilengkapi dengan sebuah di di setiap titik . Jika dan adalah pada , maka merupakan sebuah fungsi mulus. Keluarga dari darab dalam disebut sebuah . Istilah ini diambil dari nama matematikawan Jerman Bernhard Riemann. Studi mengenai manifold Riemann ini melingkupi subjek yang disebut geometri Riemann. Metrik Riemann (tensor) membuatnya memungkinkan untuk mendefinisikan berbagai titik geometrik pada sebuah manifold Riemann, seperti sudut, jarak kurva, luas (atau volume), , gradien fungsi dan . (in) In differential geometry, a Riemannian manifold or Riemannian space (M, g), so called after the German mathematician Bernhard Riemann, is a real, smooth manifold M equipped with a positive-definite inner product gp on the tangent space TpM at each point p. The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). Riemannian geometry is the study of Riemannian manifolds. A common convention is to take g to be smooth, which means that for any smooth coordinate chart (U, x) on M, the n2 functions are smooth functions. These functions are commonly designated as . With further restrictions on the , one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. A Riemannian metric (tensor) makes it possible to define several geometric notions on a Riemannian manifold, such as angle at an intersection, length of a curve, area of a surface and higher-dimensional analogues (volume, etc.), extrinsic curvature of submanifolds, and intrinsic curvature of the manifold itself. (en) In geometria differenziale, una varietà riemanniana è una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume) e curvatura. È una nozione fondamentale in quanto permette di modellizzare spazi "curvi" di dimensione arbitraria. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann. (it) 미분기하학에서 리만 다양체(Riemann多樣體, 영어: Riemannian manifold)는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운송 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemann幾何學, 영어: Riemannian geometry)이라고 한다. (ko) 微分幾何学におけるリーマン多様体（リーマンたようたい、英: Riemannian manifold）とは、可微分多様体のうちその各点に基本計量テンソル g が与えられるものを言う。ベルンハルト・リーマンによって導入された。 (ja) In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-variëteit een reële differentieerbare variëteit waarvan in elk punt de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De metriek is een positief-definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor. In andere woorden, een riemann-variëteit is een differentieerbare variëteit, waarvan de raakruimte in elk punt een eindig-dimensionale euclidische ruimte is, waar aan elk punt een zekere metriek kan worden toegekend. Als metriek kan men verschillende meetkundige begrippen, zoals hoeken, lengten van krommen, oppervlakken (of volumen), kromming, de gradiënt van functies en de divergentie van vectorvelden, op een riemann-variëteit definiëren. De riemann-variëteit is naast de lorentz-variëteit de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip gekromde ruimte. Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, dat wil zeggen eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald coördinatenstelsel. Riemann-variëteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, variëteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen. (nl) Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – to rzeczywista rozmaitość różniczkowa wymiaru w której zdefiniowana jest odległość (metryka) pomiędzy punktami w następujący sposób: (1) jeżeli wprowadzi się w rozmaitości układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne to długość infinitezymalnego wektora łączącego dany punkt z infinitezymalnie blisko położonym innym punktem rozmaitości zadana jest wzorem gdzie współczynniki stanowią współrzędne tensora metrycznego. Przy tym żąda się, by tensor metryczny był dodatnio określony w całej przestrzeni – oznacza to, że infinitezymalne przemieszczenie musi być liczbą dodatnią w każdym miejscu rozmaitości – analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej. Warunek dodatniej określoności oznacza matematycznie, że wszystkie minory główne liczone wzdłuż przekątnej macierzy tensora powinny być dodatnie, począwszy od wyznacznika tensora, tj. np. dla każdego (2) Tensor metryczny pozwala obliczać długości krzywych w rozmaitości (patrz niżej). (3) Metrykę (odległość) pomiędzy dowolnymi punktami rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w i łączącej te punkty. Krzywa ta jest linią geodezyjną, gdy jednak punkty są infinitezymalnie odległe, tj. to geodezyjna redukuje się do odcinka prostej euklidesowej – metryka jest wtedy równa długości elementu liniowego Rozmaitość riemannowska jest wiec przestrzenią metryczną, z metryką zdefiniowaną w oparciu o różniczkowe elementy liniowe których współczynniki są elementami tensora metrycznego. (4) Tensor metryczny pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitości: krzywizny, pola powierzchni, objętości (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni itp. zawartych w rozmaitości. W ten sposób definiuje się geometrię na rozmaitości. Nazwa rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna. Uwaga: Jeżeli zamiast warunku dodatniej określoności tensora metrycznego nałoży się mniej wymagający warunek, by tensor był niezdegenerowany, to uzyskuje się w ogólnym przypadku rozmaitości pseudoriemannowskie. Albert Einstein użył teorii pseudorozmaitości Riemanna w sformułowaniu ogólnej teorii względności. (pl) Em geometria de Riemann, uma variedade de Riemann (a designação variedade riemanniana também é encontrada) é uma variedade diferenciável real na qual cada espaço tangente é dotado de um produto interior de maneira que varie suavemente ponto a ponto. Isto permite que se definam várias noções métricas como comprimento de curvas, ângulos, áreas (ou volumes), curvaturas, gradientes de funções e divergência de campos vetoriais. (pt) Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством. Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей. Риманова метрика g — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности (0,2). Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей. Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана. (ru) Riemannmångfald eller Riemannsk mångfald är ett begrepp inom matematiken. Det betecknar en glatt mångfald tillsammans med en inre produkt på varje tangentrum som varierar glatt över mångfalden. Begreppet introducerades av Bernhard Riemann under hans föreläsningar 1854. (sv) 黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間，等距是指其（intrinsic metric）和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間： 如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度L（γ）為 （注意：γ'（t）是切空間M在γ（t）點的元素；| |
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