Löb's theorem (original) (raw)
En lógica matemática, el teorema de Löb establece que en una teoría con aritmética de Peano, para cualquier fórmula P, se puede demostrar que "si P es demostrable entonces P", entonces P es demostrable. O sea: si , entonces donde Dem(#P) significa que la fórmula con número de Gödel #P es demostrable en T. El teorema de Löb debe su nombre a Martin Hugo Löb.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Satz von Löb ist ein Ergebnis der mathematischen Logik, das von Martin Löb 1955 bewiesen wurde. Er besagt, dass in einer Theorie T, die bestimmte einfache Eigenschaften erfüllt und die Beweisbarkeit in T repräsentieren kann, für jede Formel P die Aussage „wenn P beweisbar ist, dann P“ nur dann beweisbar ist, wenn P beweisbar ist. Formal: wenn , dann wobei bedeutet, dass die Formel P in T beweisbar ist. (#P ist der der Gödelnummer von P zugeordnete Term.) Die Voraussetzungen des Satzes sind in allen hinreichend mächtigen mathematischen Theorien wie der Peano-Arithmetik und der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre erfüllt.Der Satz spielt eine wichtige Rolle in der Beweisbarkeitslogik. (de) In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as Ifthen An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA. Löb's theorem is named for Martin Hugo Löb, who formulated it in 1955. It is related to Curry's paradox. (en) En lógica matemática, el teorema de Löb establece que en una teoría con aritmética de Peano, para cualquier fórmula P, se puede demostrar que "si P es demostrable entonces P", entonces P es demostrable. O sea: si , entonces donde Dem(#P) significa que la fórmula con número de Gödel #P es demostrable en T. El teorema de Löb debe su nombre a Martin Hugo Löb. (es) En logique mathématique, le théorème de Löb, démontré par Martin Hugo Löb (1921-2006), est une variante du second théorème d'incomplétude de Gödel. Il dit que pour toute théorie T satisfaisant les conditions de ce dernier — l'arithmétique de Peano par exemple — pour toute formule P, s'il est démontrable dans T que « si P est démontrable dans T alors P », alors P est démontrable dans T.En d'autres termes : si , alors où DemT(⌈P⌉) est une formule qui exprime que la formule P, de numéro de Gödel ⌈P⌉, est démontrable dans T. En résumé, l'hypothèse qu'un énoncé est démontrable dans une théorie donnée n'aide en rien à la démonstration de cet énoncé dans cette même théorie. Les théories auxquelles s'applique le théorème de Löb sont les mêmes que celles auxquelles s'applique le second théorème d'incomplétude : des théories arithmétiques (ou capables de représenter l'arithmétique) et qui peuvent représenter les démonstrations et leur combinatoire, comme l'arithmétique de Peano, et a fortiori les théories des ensembles usuelles, mais aussi une théorie arithmétique faible comme l' (en). (fr) Теорема Леба — теорема в математичній логіці про взаємозв'язок між доказовими твердження і самим твердженням. Доведена математиком Мартіном Лебом в 1955 році. Теорема Леба стверджує, що у всякій теорії, що включає аксіоматику Пеано, для будь-якого висловлювання доведеність висловлювання «доведеність тягне » можлива тільки у разі доведеності самого висловлювання . Символічно ця теорема може бути записана наступним чином: Наслідком теореми Леба є те, що тільки в суперечливій теорії висловлювання «доведеність тягне » доказове для всіх тверджень . Деякі дослідники відзначають, що теорема Леба може розглядатися як результат формалізації міркувань, аналогічних парадоксу Каррі, за допомогою нумерації Ґеделя. (uk) O teorema de Löb na lógica matemática, estabelece que em uma teoria com aritmética de Peano, para qualquer fórmula P, se é possível demonstrar que “se P é demonstrável, então P é verdadeiro", então P é demonstrável. I.e. Onde Bew(#P) significa que a fórmula P com número de Gödel #P é demonstrável. O teorema de Löb deve seu nome a Martin Hugo Löb, que o formulou em 1955. (pt) Теорема Лёба — теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году. Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику Пеано, для любого высказывания доказуемость высказывания «доказуемость влечет » возможна только в случае доказуемости самого высказывания . Символически эта теорема может быть записана следующим образом: Следствием теоремы Лёба является то, что только в противоречивой теории высказывание «доказуемость влечёт » доказуемо для всех утверждений . Некоторые исследователи отмечают, что теорема Лёба может рассматриваться как результат формализации рассуждений, аналогичных парадоксу Карри, с помощью гёделевской нумерации. (ru) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.lesswrong.com/posts/ALCnqX6Xx8bpFMZq3/the-cartoon-guide-to-loeb-s-theorem http://planetmath.org/%3Fop=getobj&from=objects&id=9381 https://archive.org/details/logicofprovabili0000bool http://plato.stanford.edu/entries/logic-provability/%7Cwebsite=The |
| dbo:wikiPageID | 693002 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 9946 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124115535 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Modal_logic dbr:Paris–Harrington_theorem dbr:Peano_arithmetic dbr:Curry's_paradox dbr:Contrapositive dbr:Mathematical_logic dbr:Eliezer_Yudkowsky dbc:Provability_logic dbr:Doxastic_logic dbc:Theorems_in_the_foundations_of_mathematics dbr:Diagonal_lemma dbr:Hilbert–Bernays_provability_conditions dbr:Journal_of_Symbolic_Logic dbr:Gödel's_incompleteness_theorems dbc:Mathematical_logic dbc:Metatheorems dbc:Modal_logic dbr:Provability_logic dbc:Mathematical_axioms dbr:Martin_Löb dbr:Propositional_variable dbr:PlanetMath dbr:Normal_modal_logic |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_web dbt:Notefoot dbt:Notetag dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Tooltip |
| dct:subject | dbc:Provability_logic dbc:Theorems_in_the_foundations_of_mathematics dbc:Mathematical_logic dbc:Metatheorems dbc:Modal_logic dbc:Mathematical_axioms |
| rdf:type | yago:WikicatAxiomsOfModalLogic yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInTheFoundationsOfMathematics yago:Abstraction100002137 yago:AuditoryCommunication107109019 yago:Communication100033020 yago:Maxim107152948 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Saying107151380 yago:Speech107109196 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | En lógica matemática, el teorema de Löb establece que en una teoría con aritmética de Peano, para cualquier fórmula P, se puede demostrar que "si P es demostrable entonces P", entonces P es demostrable. O sea: si , entonces donde Dem(#P) significa que la fórmula con número de Gödel #P es demostrable en T. El teorema de Löb debe su nombre a Martin Hugo Löb. (es) O teorema de Löb na lógica matemática, estabelece que em uma teoria com aritmética de Peano, para qualquer fórmula P, se é possível demonstrar que “se P é demonstrável, então P é verdadeiro", então P é demonstrável. I.e. Onde Bew(#P) significa que a fórmula P com número de Gödel #P é demonstrável. O teorema de Löb deve seu nome a Martin Hugo Löb, que o formulou em 1955. (pt) Der Satz von Löb ist ein Ergebnis der mathematischen Logik, das von Martin Löb 1955 bewiesen wurde. Er besagt, dass in einer Theorie T, die bestimmte einfache Eigenschaften erfüllt und die Beweisbarkeit in T repräsentieren kann, für jede Formel P die Aussage „wenn P beweisbar ist, dann P“ nur dann beweisbar ist, wenn P beweisbar ist. Formal: wenn , dann (de) En logique mathématique, le théorème de Löb, démontré par Martin Hugo Löb (1921-2006), est une variante du second théorème d'incomplétude de Gödel. Il dit que pour toute théorie T satisfaisant les conditions de ce dernier — l'arithmétique de Peano par exemple — pour toute formule P, s'il est démontrable dans T que « si P est démontrable dans T alors P », alors P est démontrable dans T.En d'autres termes : si , alors où DemT(⌈P⌉) est une formule qui exprime que la formule P, de numéro de Gödel ⌈P⌉, est démontrable dans T. (fr) In mathematical logic, Löb's theorem states that in Peano arithmetic (PA) (or any formal system including PA), for any formula P, if it is provable in PA that "if P is provable in PA then P is true", then P is provable in PA. If Prov(P) means that the formula P is provable, we may express this more formally as Ifthen An immediate corollary (the contrapositive) of Löb's theorem is that, if P is not provable in PA, then "if P is provable in PA, then P is true" is not provable in PA. For example, "If is provable in PA, then " is not provable in PA. (en) Теорема Леба — теорема в математичній логіці про взаємозв'язок між доказовими твердження і самим твердженням. Доведена математиком Мартіном Лебом в 1955 році. Теорема Леба стверджує, що у всякій теорії, що включає аксіоматику Пеано, для будь-якого висловлювання доведеність висловлювання «доведеність тягне » можлива тільки у разі доведеності самого висловлювання . Символічно ця теорема може бути записана наступним чином: Наслідком теореми Леба є те, що тільки в суперечливій теорії висловлювання «доведеність тягне » доказове для всіх тверджень . (uk) Теорема Лёба — теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году. Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику Пеано, для любого высказывания доказуемость высказывания «доказуемость влечет » возможна только в случае доказуемости самого высказывания . Символически эта теорема может быть записана следующим образом: Следствием теоремы Лёба является то, что только в противоречивой теории высказывание «доказуемость влечёт » доказуемо для всех утверждений . (ru) |
| rdfs:label | Satz von Löb (de) Teorema de Löb (es) Théorème de Löb (fr) Teorema di Löb (it) Löb's theorem (en) Teorema de Löb (pt) Теорема Лёба (ru) Теорема Льоба (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Löb's theorem wikidata:Löb's theorem dbpedia-de:Löb's theorem dbpedia-es:Löb's theorem dbpedia-fr:Löb's theorem dbpedia-it:Löb's theorem dbpedia-pt:Löb's theorem dbpedia-ru:Löb's theorem dbpedia-uk:Löb's theorem https://global.dbpedia.org/id/wvPV |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Löb's_theorem?oldid=1124115535&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Löb's_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Martin_Löb |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Lob's_theorem dbr:Löb's_Theorem dbr:Loeb's_Theorem dbr:Löb_theorem dbr:Lob's_Theorem dbr:Lob_theorem dbr:Loeb's_theorem dbr:Loeb_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Curry's_paradox dbr:Index_of_philosophy_articles_(I–Q) dbr:List_of_mathematical_logic_topics dbr:Mathematical_logic dbr:Theorem dbr:Lob's_theorem dbr:Löb's_Theorem dbr:Admissible_rule dbr:Doxastic_logic dbr:Causal_decision_theory dbr:Proof_theory dbr:Provability_logic dbr:Martin_Löb dbr:Loeb's_Theorem dbr:List_of_theorems dbr:Richard's_paradox dbr:Löb_theorem dbr:Lob's_Theorem dbr:Lob_theorem dbr:Loeb's_theorem dbr:Loeb_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Martin_Löb |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Löb's_theorem |