Madhava series (original) (raw)
في الرياضيات، متسلسلة مادهافا أو متسلسلة لايبنتس هي مجموعة من المتسلسلات التي يعتقد أنها أكتشفت من قبل مادهافا السنغماراي (1350 - 1425)، مؤسس مدرسة كيرلا لعلم الفلك والرياضيات ولاحقًا من قبل غوتفريد لايبنتس، من بين آخرين. هذه التعبيرات هي متسلسلة ماكلورين للدوال المثلثية الجيب، وجيب التمام ودالة الظل العكسية، والحالة الخاصة لمتسلسلة القوى لدالة الظل العكسية تساعد في حساب قيمة الثابت π.
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| dbo:abstract | في الرياضيات، متسلسلة مادهافا أو متسلسلة لايبنتس هي مجموعة من المتسلسلات التي يعتقد أنها أكتشفت من قبل مادهافا السنغماراي (1350 - 1425)، مؤسس مدرسة كيرلا لعلم الفلك والرياضيات ولاحقًا من قبل غوتفريد لايبنتس، من بين آخرين. هذه التعبيرات هي متسلسلة ماكلورين للدوال المثلثية الجيب، وجيب التمام ودالة الظل العكسية، والحالة الخاصة لمتسلسلة القوى لدالة الظل العكسية تساعد في حساب قيمة الثابت π. (ar) In mathematics, a Madhava series or Leibniz series is any one of the series in a collection of infinite series expressions all of which are believed to have been discovered by an Indian Mathematician and Astronomer Madhava of Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425), the founder of the Kerala school of astronomy and mathematics and later by Gottfried Wilhelm Leibniz, among others. These expressions are the Maclaurin series expansions of the trigonometric sine, cosine and arctangent functions, and the special case of the power series expansion of the arctangent function yielding a formula for computing π. The power series expansions of sine and cosine functions are respectively called Madhava's sine series and Madhava's cosine series. The power series expansion of the arctangent function is sometimes called Madhava–Gregory series or Gregory–Madhava series. These power series are also collectively called Taylor–Madhava series. The formula for π is referred to as Madhava–Newton series or Madhava–Leibniz series or Leibniz formula for pi or Leibnitz–Gregory–Madhava series. These further names for the various series are reflective of the names of the Western discoverers or popularizers of the respective series. No surviving works of Madhava contain explicit statements regarding the expressions which are now referred to as Madhava series. However, in the writing of later members of the Kerala school of astronomy and mathematics like Nilakantha Somayaji and Jyeshthadeva one can find unambiguous attributions of these series to Madhava. It is also in the works of these later astronomers and mathematicians one can trace the Indian proofs of these series expansions. These proofs provide enough indications about the approach Madhava had adopted to arrive at his series expansions. Unlike most previous cultures, which had been rather nervous about the concept of infinity, Madhava was more than happy to play around with infinity, particularly infinite series. He showed how, although the number 1 can be approximated by adding a half plus a quarter plus an eighth plus a sixteenth, etc., (as even the ancient Egyptians and Greeks had known), the exact total of 1 can only be achieved by adding up infinitely many fractions. But Madhava went further and linked the idea of an infinite series with geometry and trigonometry. He realized that, by successively adding and subtracting different odd number fractions to infinity, he could home in on an exact formula for pi (this was two centuries before Leibniz was to come to the same conclusion in Europe). (en) En matemáticas, una serie de Madhava, también conocida como una serie de Leibniz, es cualquiera de las series pertenecientes a una colección de expresiones de series infinitas todas las cuales se cree que fueron descubiertas por Madhava de Sangamagrama (c. 1350-c. 1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala; y posteriormente por Gottfried Wilhelm Leibniz, entre otros. Estas expresiones son los desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones trigonométricas seno, coseno y arco tangente, y el caso especial del desarrollo en serie de potencias de la función arco tangente, produciendo una fórmula para el cálculo de π. Los desarrollos en series de potencias de las funciones seno y coseno se denominan respectivamente serie seno de Madhava y serie coseno de Madhava. La serie de potencias de la función arco tangente a veces se denomina serie de Madhava-Gregory o serie de Gregory-Madhava. Estas series de potencias también se denominan colectivamente series de Taylor-Madhava. La fórmula para π se conoce como serie de Madhava-Newton o serie de Madhava-Leibniz; o también fórmula de Leibniz para pi, o serie de Leibnitz-Gregory-Madhava. Estas denominaciones adicionales para las diversas series reflejan los nombres de los descubridores o divulgadores occidentales de las series respectivas. Las demostraciones de estas series usan muchos conceptos relacionados con el cálculo, como la suma, la tasa de variación y la interpolación, lo que sugiere que los matemáticos indios tenían una comprensión sólida del concepto de límite y de los conceptos básicos del cálculo mucho antes de que se desarrollaran en Europa. Otra evidencia del grado de avance de las matemáticas indias, que como el interés en las series infinitas y el uso de un sistema decimal de base diez también sugiere que era posible que el cálculo se hubiera desarrollado en India casi 300 años antes de su nacimiento reconocido en Europa. Ninguna obra conservada de Madhava contiene declaraciones explícitas con respecto a las expresiones que ahora llevan su nombre. Sin embargo, en los escritos de miembros posteriores de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, como Nilakantha Somayaji y Jyeṣṭhadeva, se pueden encontrar atribuciones inequívocas de estas series a Madhava. También se pueden rastrear en los trabajos de estos astrónomos y matemáticos posteriores las demostraciones indias de estos desarrollos en serie, que proporcionan suficientes indicaciones sobre el enfoque que Madhava había adoptado para llegar a sus resultados. A diferencia de la mayoría de las culturas anteriores, bastante incómodas con la idea de infinito, Madhava se mostraba complacido de poder operar con este concepto, particularmente con las series infinitas. Demostró cómo, aunque el número 1 se puede aproximar agregando un medio más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etc. (como sabían incluso los antiguos egipcios y griegos), el total exacto de 1 solo se puede lograr mediante la suma de infinitas fracciones. Pero Madhava fue más allá y vinculó la idea de una serie infinita con la geometría y la trigonometría. Se dio cuenta de que, al sumar y restar sucesivamente diferentes fracciones de números impares hasta el infinito, podía encontrar una fórmula exacta para π (esto fue dos siglos antes de que Leibniz llegara a la misma conclusión en Europa). (es) |
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