Laurent series (original) (raw)
En matemàtiques, la sèrie de Laurent d'una funció analítica és la representació d'aquesta funció en sèrie de potències. La sèrie de Laurent pot ser utilitzada per poder expressar una funció complexa en el cas en què no pot ser aplicada la sèrie de Taylor. Les sèries de Laurent van ser anomenades així, després de ser publicades per Pierre Alphonse Laurent el 1843, tot i que havien estat descobertes per Karl Weierstrass, que no les va publicar mai.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, la sèrie de Laurent d'una funció analítica és la representació d'aquesta funció en sèrie de potències. La sèrie de Laurent pot ser utilitzada per poder expressar una funció complexa en el cas en què no pot ser aplicada la sèrie de Taylor. Les sèries de Laurent van ser anomenades així, després de ser publicades per Pierre Alphonse Laurent el 1843, tot i que havien estat descobertes per Karl Weierstrass, que no les va publicar mai. (ca) في الرياضيات, متسلسلة لوران (بالإنجليزية: Laurent series) لدالة عقدية (f(z، هي تمثيل لهذه الدالة على شكل متسلسلة قوى، تحتوي على حدود ذات درجات سالبة. سميت هذه المتسلسلة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات بيير ألفونس لوران، الذي نشرها لأول مرة. كان ذلك عام 1843. كارل فايرشتراس قد يكون هو أول من اكتشف هذه المتسلسلات في مقال كتبه عام 1841، ولكنه لم ينشر إلا بعد وفاته. انظر إلى صيغة كوشي التكاملية. (ar) Laurentova řada je řada ve tvaru , kde je posloupnost komplexních čísel a . (cs) En matematiko, la serio de Laurent de kompleksa funkcio f(z) estas prezento de la funkcio kiel kiu inkluzivas termojn ankaŭ de negativa grado. Ĝi povas esti uzata por esprimi kompleksan funkcion en okazoj en kiuj serio de Taylor ne povas esti uzata. La serio de Laurent por kompleksa funkcio f(z) ĉirkaŭ punkto c kie la an estas konstantoj difinitaj per kurba integralo kiu estas ĝeneraligo de koŝia integrala formulo: La vojo de integralado γ estas fermita ĉirkaŭa kontraŭhorloĝnadla sen sin-intersekcojn, enhavanta punkton c kaj kuŝanta en A en kiu f(z) estasholomorfa (analitika). La elvolvaĵo por f(z) validas ĉie en ĉi tiu ringoformaĵo, simile al tio ke de Taylor estas uzata por esprimi holomorfan funkcion difinitan sur disko. En praktiko, ĉi tiu formulo estas malofte uzata ĉar la integraloj estas malfacilaj por kalkulado. Anstataŭe, oni tipe kreas la seriojn de Laurent per kombinado de sciata elvolvaĵoj de Taylor. La nombroj an kaj c estas plej kutime prenita al esti kompleksaj nombroj, kvankam estas aliaj eblecoj, kiel priskribis pli sube. (eo) Die Laurent-Reihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in mit Entwicklungspunkt diese Gestalt: Dabei sind die und meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt weiter unten beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable anstatt . Summanden, deren Koeffizient ist, werden meist nicht mitgeschrieben, daher muss nicht jede Laurent-Reihe in beide Richtungen ins Unendliche reichen. Dies geschieht genauso, wie es bei Potenzreihen üblich ist, und ähnelt der Darstellung abbrechender Dezimalbrüche, bei denen formal unendlich viele Nullen hinter der letzten Ziffer stehen. Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil oder den regulären Teil. Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker Pierre Alphonse Laurent vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers Karl Weierstraß deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. (de) En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841, pero no lo publicó en ese entonces, paralelamente, el matemático francés Pierre Alphonse Laurent desarrolló las series, y fue quien la publicó por primera vez en el año 1843. (es) En analyse complexe, la série de Laurent (aussi appelée développement de Laurent) d'une fonction holomorphe f est une manière de représenter f au voisinage d'une singularité, ou plus généralement, autour d'un « trou » de son domaine de définition. On représente f comme somme d'une série de puissances (d'exposants positifs ou négatifs) de la variable complexe. Une fonction holomorphe f est analytique, c'est-à-dire développable en série entière au voisinage de chaque point de son domaine de définition. Autrement dit, au voisinage d'un point a où f est définie, on peut écrire f(z) sous la forme : . On a fait apparaître une série entière en a, qui est la série de Taylor de f en a. Les séries de Laurent peuvent être vues comme une extension pour décrire f autour d'un point où elle n'est pas (a priori) définie. On inclut les puissances d'exposants négatifs ; une série de Laurent se présentera donc sous la forme : . Les séries de Laurent furent nommées ainsi après leur publication par Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl Weierstrass les découvrit le premier mais il ne publia pas sa découverte. Le plus souvent, les auteurs d'analyse complexe présentent les séries de Laurent pour les fonctions holomorphes définies sur des couronnes, c'est-à-dire des ouverts du plan complexe délimités par deux cercles concentriques. Ces séries sont surtout utilisées pour étudier le comportement d'une fonction holomorphe autour d'une singularité. (fr) In mathematics, the Laurent series of a complex function is a representation of that function as a power series which includes terms of negative degree. It may be used to express complex functions in cases where a Taylor series expansion cannot be applied. The Laurent series was named after and first published by Pierre Alphonse Laurent in 1843. Karl Weierstrass may have discovered it first in a paper written in 1841, but it was not published until after his death. The Laurent series for a complex function about a point is given by where and are constants, with defined by a line integral that generalizes Cauchy's integral formula: The path of integration is counterclockwise around a Jordan curve enclosing and lying in an annulus in which is holomorphic (analytic). The expansion for will then be valid anywhere inside the annulus. The annulus is shown in red in the figure on the right, along with an example of a suitable path of integration labeled . If we take to be a circle , where , this just amountsto computing the complex Fourier coefficients of the restriction of to . The fact that these integrals are unchanged by a deformation of the contour is an immediate consequence of Green's theorem. One may also obtain the Laurent series for a complex function at . However, this is the same as when (see the example below). In practice, the above integral formula may not offer the most practical method for computing the coefficients for a given function ; instead, one often pieces together the Laurent series by combining known Taylor expansions. Because the Laurent expansion of a function is unique wheneverit exists, any expression of this form that equals the given function in some annulus must actually be the Laurent expansion of . (en) In analisi complessa, la serie di Laurent di una funzione complessa è una rappresentazione di tale funzione in serie di potenze che include termini di grado negativo. Questa rappresentazione può essere utilizzata per esprimere una funzione complessa qualora lo sviluppo in serie di Taylor non possa essere applicato. La serie prende il nome dal matematico francese Pierre Alphonse Laurent che la pubblicò nel 1843, sebbene fosse stata già scoperta nel 1841 da Karl Weierstrass, il quale tuttavia non pubblicò i suoi risultati. (it) 로랑 급수(Laurent級數, 영어: Laurent series)는 정칙함수에 대한, 테일러 급수를 일반화한 급수이다. 테일러 급수와 달리 음의 지수의 항을 가질 수 있고, 고립 특이점을 갖는 함수를 급수로 전개할 때에도 쓸 수 있다. (ko) De laurentreeks van een complexe functie is in de wiskunde een voorstelling van als een machtreeksmet eventueel ook termen met een negatieve macht. Een laurentreeks kan soms toegepast worden als een taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde. (nl) Szereg Laurenta funkcji zespolonej to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku. (pl) ローラン級数（ローランきゅうすう、英: Laurent series）とは負冪の項も含む形での冪級数としての関数の表示のことである。テイラー級数展開できない複素関数を表示する場合に利用される。ローラン級数の名は、最初の発表が1843年にピエール・アルフォンス・ローランによってなされたことに由来する。ローラン級数の概念自体はそれより先の1841年にカール・ワイエルシュトラスによって発見されていたが公表されなかった。 (ja) Em matemática, a série de Laurent de uma função complexa f(z) é sua representação como uma série de potências que inclui termos de grau negativo. Pode ser utilizada para expressar funções complexas nos casos em que uma expansão em série de Taylor não pode ser feita. A série de Laurent tem o nome de quem a primeiro publicou, em 1843: Pierre Alphonse Laurent. Karl Weierstrass pode tê-la descoberto primeiro em um artigo escrito em 1841, mas este foi publicado postumamente. A série de Laurent para uma função complexa f(z) sobre um ponto c é dada por: em que an são constantes, definidas pela integral de linha, que é uma generalização da fórmula integral de Cauchy: O caminho de integração é anti-horário ao redor de uma curva de Jordan ao redor de c e estando em uma coroa circular A em que é holomórfica (analítica). A expansão para vai então ser válida em qualquer lugar dentro da coroa. (pt) En laurentserie är en potensserie av en funktion ƒ(z) som är analytisk i ringen r < |z - z0 | < R, med 0 ≤ r < R ≤ ∞, innehållande både negativa och positiva potenser av (z - z0) inom ringen.Laurentserien för en funktion används när man vill veta hur funktionen beter sig nära en singularitet. De är uppkallade efter Pierre Alphonse Laurent. Funktionen skrivs på serieform som: Koefficienterna cn ges av: Där kurvan C är en enkelt sluten positivtorienterad kurva i r < |
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