Mice problem (original) (raw)
In matematica, nel problema dei topi - anche chiamato problema degli scarabei - topi partono dai vertici di un poligono regolare di lati di lunghezza unitaria, ed ogni topo si dirige verso il compagno più vicino, muovendosi in senso antiorario ed a velocità costante. Il problema chiede di determinare la traiettoria di ciascun topo, ed il loro punto di incontro.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En mathématiques le problème des souris (ou des trois ou quatre chiens) est un problème de poursuite et d'interception dans lequel on recherche le parcours et le point de rencontre de souris, placées initialement aux coins d'un polygone régulier, qui se poursuivent. On suppose quatre souris au sommet d'un carré unitaire ABCD. La souris A poursuit la souris B qui poursuit la souris C qui poursuit la souris D qui poursuit la souris A. Les quatre souris se déplacent à la même vitesse constante unitaire. Au fur et à mesure des déplacements les souris parcourent des segments de droites et modifient leur trajectoire pour rester en direction de leur cible. Les souris se rencontrent après un temps d'une unité car la distance entre deux souris voisines décroît toujours à la vitesse d'une unité. Plus généralement, pour un polygone régulier de n côtés, la distance entre deux souris voisines diminue à la vitesse de , elles se rencontrent donc à un temps de . Pour tous les polygones réguliers les souris tracent une spirale logarithmique dont le centre est celui du polygone. Dans un triangle quelconque, avec des vitesses déterminées de sorte que le triangle déterminé par les souris reste semblable à lui-même, le point de rencontre est l'un des deux points de Brocard du triangle de départ . (fr) In mathematics, the mice problem is a continuous pursuit–evasion problem in which a number of mice (or insects, dogs, missiles, etc.) are considered to be placed at the corners of a regular polygon. In the classic setup, each then begins to move towards its immediate neighbour (clockwise or anticlockwise). The goal is often to find out at what time the mice meet. The most common version has the mice starting at the corners of a unit square, moving at unit speed. In this case they meet after a time of one unit, because the distance between two neighboring mice always decreases at a speed of one unit. More generally, for a regular polygon of unit-length sides, the distance between neighboring mice decreases at a speed of , so they meet after a time of . (en) In matematica, nel problema dei topi - anche chiamato problema degli scarabei - topi partono dai vertici di un poligono regolare di lati di lunghezza unitaria, ed ogni topo si dirige verso il compagno più vicino, muovendosi in senso antiorario ed a velocità costante. Il problema chiede di determinare la traiettoria di ciascun topo, ed il loro punto di incontro. (it) Het muizenprobleem is een wiskundig probleem waarin drie of meer muizen (of honden, kevers, ...) op de hoekpunten van een regelmatige veelhoek staan. Elke muis achtervolgt zijn naaste buur, in wijzerzin of tegenwijzerzin. Alle muizen starten tegelijk en lopen even snel. De vraag is: waar en wanneer komen de muizen samen en welke afstand hebben ze dan afgelegd? Welke baan hebben ze daarbij gevolgd? Het probleem (drie honden die starten op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek) werd geformuleerd door Édouard Lucas in 1877. Henri Brocard bewees in 1880 dat de banen die ze volgen logaritmische spiralen zijn, die samenkomen in het middelpunt van de driehoek. Dit kan geïllustreerd worden voor het geval van vier muizen die elkaar achtervolgen: A achtervolgt B, B achtervolgt C, C achtervolgt D en D achtervolgt A. Bij aanvang volgt iedere muis de zijde van het vierkant. Na verloop van een korte tijd Δ bevinden ze zich in posities A', B', C' en D', de hoekpunten van een nieuw vierkant, en moeten ze hun richting aanpassen naar deze nieuwe posities. Dit herhaalt zich steeds (in realiteit continu), zodat hun posities een soort vortex vormen waarvan de hoekpunten uiteindelijk samenkomen in het midden van het vierkant. In het algemeen geldt voor n muizen in een regelmatige veelhoek met n zijden, waarvan de lengte van een zijde gelijk is aan 1, en waarin de muizen bewegen met een snelheid gelijk aan 1: de afstand tussen twee naburige muizen vermindert met de snelheid van 1 − cos(2π/n), zodat ze samenkomen na een verlopen tijd van 1/(1 − cos(2π/n)), wat tegelijk de afstand is die ze hebben afgelegd. Het probleem won aan populariteit toen het verscheen in het boek Mathematical Snapshots van Hugo Steinhaus in 1950 (oorspronkelijk in het Pools verschenen in 1937). Diverse varianten zijn bestudeerd, zoals: wat als de muizen op de hoekpunten van een niet-regelmatige veelhoek vertrekken? Wat als de muizen verschillende snelheden hebben? Wat als ze niet hun naaste buur achtervolgen maar een andere? In 1971 bewezen Klamkin en Newman dat drie even snelle muizen vanuit de hoekpunten van een willekeurige driehoek elkaar altijd gelijktijdig treffen (zolang de drie hoekpunten niet op een lijn liggen). Behroozi en Gagnon toonden aan dat dit ook geldt voor vier muizen wanneer die vertrekken vanop de hoekpunten van een convexe vierhoek. (nl) Em matemática, o problema do rato é um problema em que cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido anti-horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho de polígonos proporcionais ao original. * (pt) Задача про мышей — математическая головоломка, по условию которой несколько мышей (или комаров, собак, ракет), расположены в углах правильного многоугольника. Каждая мышь начинает двигаться в направлении ближайшего соседа (по часовой стрелке или против часовой стрелки). В задаче требуется определить момент времени, когда мыши встретятся. Наиболее распространённый вариант задачи — когда мыши начинают двигаться из углов единичного квадрата, причём скорость мышей одинакова. В этом случае все они встречаются в один и тот же момент времени, поскольку расстояние между двумя соседними мышами всегда уменьшается, а скорость постоянна. В общем, для правильного многоугольника с n сторонами, расстояние между соседними мышами уменьшается со скоростью 1 − cos(2π/n), и таким образом, они встретятся через время 1/(1 − cos(2π/n)). (ru) У математиці задачею про мишей є задача, в якій декілька мишей (або комах, собак, ракет і т. д.), перебувають в кутах правильного многокутника. Кожна миша починає рухатися у напрямку до найближчого сусіда (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки). Рішенням цієї задачі є момент зустрічі мишей. Найбільш поширений варіант задачі — коли миші починають рухатись з кутів одиничного квадрата, рухаючись з однаковою швидкістю. У цьому випадку вони зустрічаються через однаковий час, оскільки відстань між двома сусідніми мишами завжди зменшується, a швидкість стала. В цілому, для правильного багатокутника з n сторонами, відстань між сусідніми мишами зменшується зі швидкістю 1 − cos(2π/n), так що вони зустрінуться за час 1/(1 − cos(2π/n)). (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Four_point_pursuit_curve.gif?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.youtube.com/watch%3Fv=NdTVvWrD6r0 |
| dbo:wikiPageID | 8532654 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2718 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123438288 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Pursuit_curve dbr:Regular_polygon dbc:Recreational_mathematics dbr:Mathematics dbr:Pursuit–evasion dbr:Logarithmic_spiral dbr:Dara_Ó_Briain:_School_of_Hard_Sums dbc:Pursuit–evasion dbr:File:Four_point_pursuit_curve.gif |
| dbp:caption | Six mice (en) Three mice (en) |
| dbp:id | MiceProblem (en) |
| dbp:image | Problema dei topi n=3 animazione.gif (en) Problema dei topi n=6 animazione.gif (en) |
| dbp:title | Mice Problem (en) |
| dbp:width | 150 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:For dbt:Geometry-stub dbt:Mathworld dbt:Multiple_image dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:Recreational_mathematics dbc:Pursuit–evasion |
| gold:hypernym | dbr:Problem |
| rdf:type | dbo:Disease |
| rdfs:comment | In matematica, nel problema dei topi - anche chiamato problema degli scarabei - topi partono dai vertici di un poligono regolare di lati di lunghezza unitaria, ed ogni topo si dirige verso il compagno più vicino, muovendosi in senso antiorario ed a velocità costante. Il problema chiede di determinare la traiettoria di ciascun topo, ed il loro punto di incontro. (it) Em matemática, o problema do rato é um problema em que cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido anti-horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho de polígonos proporcionais ao original. * (pt) In mathematics, the mice problem is a continuous pursuit–evasion problem in which a number of mice (or insects, dogs, missiles, etc.) are considered to be placed at the corners of a regular polygon. In the classic setup, each then begins to move towards its immediate neighbour (clockwise or anticlockwise). The goal is often to find out at what time the mice meet. (en) En mathématiques le problème des souris (ou des trois ou quatre chiens) est un problème de poursuite et d'interception dans lequel on recherche le parcours et le point de rencontre de souris, placées initialement aux coins d'un polygone régulier, qui se poursuivent. Plus généralement, pour un polygone régulier de n côtés, la distance entre deux souris voisines diminue à la vitesse de , elles se rencontrent donc à un temps de . Pour tous les polygones réguliers les souris tracent une spirale logarithmique dont le centre est celui du polygone. (fr) Het muizenprobleem is een wiskundig probleem waarin drie of meer muizen (of honden, kevers, ...) op de hoekpunten van een regelmatige veelhoek staan. Elke muis achtervolgt zijn naaste buur, in wijzerzin of tegenwijzerzin. Alle muizen starten tegelijk en lopen even snel. De vraag is: waar en wanneer komen de muizen samen en welke afstand hebben ze dan afgelegd? Welke baan hebben ze daarbij gevolgd? Dit kan geïllustreerd worden voor het geval van vier muizen die elkaar achtervolgen: (nl) Задача про мышей — математическая головоломка, по условию которой несколько мышей (или комаров, собак, ракет), расположены в углах правильного многоугольника. Каждая мышь начинает двигаться в направлении ближайшего соседа (по часовой стрелке или против часовой стрелки). В задаче требуется определить момент времени, когда мыши встретятся. (ru) У математиці задачею про мишей є задача, в якій декілька мишей (або комах, собак, ракет і т. д.), перебувають в кутах правильного многокутника. Кожна миша починає рухатися у напрямку до найближчого сусіда (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки). Рішенням цієї задачі є момент зустрічі мишей. (uk) |
| rdfs:label | Problème des souris (fr) Problema dei topi (it) Mice problem (en) Muizenprobleem (nl) Problema do rato (pt) Задача про мышей (ru) Задача про мишей (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Mice problem wikidata:Mice problem dbpedia-fr:Mice problem dbpedia-it:Mice problem dbpedia-nl:Mice problem dbpedia-pt:Mice problem dbpedia-ru:Mice problem dbpedia-uk:Mice problem https://global.dbpedia.org/id/3dGYc |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Mice_problem?oldid=1123438288&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/3_animazione.gif wiki-commons:Special:FilePath/6_animazione.gif wiki-commons:Special:FilePath/Four_point_pursuit_curve.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Mice_problem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Beetle_problem dbr:Four_dog_problem dbr:Four-bug_problem dbr:Three_dogs_problem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Pursuit_curve dbr:Beetle_problem dbr:Logarithmic_spiral dbr:Chases_and_Escapes dbr:Radiodrome dbr:Four_dog_problem dbr:Four-bug_problem dbr:Three_dogs_problem |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Mice_problem |
