Newton fractal (original) (raw)
كسيرية نيوتن هي في المستوى العقدي تتميز بطريقة نيوتن، مطبقة على متعددة حدود معينة .
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| dbo:abstract | كسيرية نيوتن هي في المستوى العقدي تتميز بطريقة نيوتن، مطبقة على متعددة حدود معينة . (ar) Fraktál Newton je obrazec z teorie chaosu, resp. fraktální geometrie. Newtonův fraktál pro rovnici třetího stupně, vybarvený podle dosažených kořenů a rychlosti konvergence (cs) Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstanten meromorphen Funktion , die die komplexen Zahlen in sich abbildet, ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Genauer ist es die Julia-Menge zur Funktion die das Newtonverfahren zum Auffinden von Nullstellen der Funktion beschreibt. Das Newtonverfahren selbst konstruiert aus einem Startwert eine Folge mit der Rekursionsvorschrift . Abhängig vom Startwert kann der Orbit von ganz unterschiedliches Verhalten zeigen. Anmerkung: Hier bezieht sich der Exponent auf als Funktion, und nicht auf deren Funktionswert. bedeutet also die -fach iterierte Anwendung von auf (oder das -te Iterierte von ), formal also . Für die Dynamik in einer Umgebung von gibt es genau zwei Möglichkeiten: 1. * es gibt eine Umgebung von , so dass die Folge der Abstände beschränkt ist, oder 2. * für jede (noch so kleine) Umgebung von überdecken die Bilder die gesamte komplexe Ebene samt dem Punkt unendlich (also die gesamte Riemannsche Zahlenkugel). Die Punkte im ersten Fall bilden die Fatou-Menge von , die Punkte im zweiten Fall die Julia-Menge . In der Fatou-Menge kann es insbesondere vorkommen, dass die Folge der Abstände gegen null konvergiert, sich die Orbits von Punkten also dem Orbit von annähern. Falls mindestens drei Nullstellen hat, ist die Julia-Menge immer ein „Fraktal“; daher wird gelegentlich auch „Newtonfraktal von “ genannt. (de) El fractal de Newton es una frontera en el plano complejo delimitada mediante el método de Newton aplicado a un polinomio fijo p(Z) ∈ ℂ[Z] o a una función trascendente. Es el conjunto de Julia de la función meromorfa z ↦ z − p(z)p′(z), que viene dado por el método de Newton. Cuando no hay ciclos atractivos (de orden mayor que 1), divide el plano complejo en regiones Gk, cada una de las cuales está asociada con una raíz ζk del polinomio, k = 1, …, deg(p). De esta manera, el fractal de Newton es similar al conjunto de Mandelbrot y, al igual que otros fractales, exhibe una apariencia intrincada que surge de una descripción simple. Es relevante en análisis numérico porque muestra que (fuera de la región de orden de convergencia) el método de Newton puede ser muy sensible a la elección del punto de inicio. Muchos puntos del plano complejo están asociados con una de las raíces deg(p) del polinomio de la siguiente manera: el punto se usa como valor inicial z0 para la iteración de Newton zn + 1 := zn − p(zn)p'(zn), produciendo una secuencia de puntos z1, z2, …, Si la secuencia converge a la raíz ζk, entonces z0 era un elemento de la región Gk. Sin embargo, para cada polinomio de grado al menos 2 hay puntos para los cuales la iteración de Newton no converge a ninguna raíz: ejemplos son los límites de las cuencas de atracción de las diversas raíces. Incluso hay polinomios para los que conjuntos abiertos de puntos de partida no convergen a ninguna raíz: un ejemplo simple es z3 − 2z + 2, donde algunos puntos son atraídos por el ciclo 0, 1, 0, 1… en lugar de por una raíz. Un conjunto abierto para el cual las iteraciones convergen hacia una raíz o ciclo dado (que no es un punto fijo), es un conjunto de Julia para la iteración. El conjunto complementario a la unión de todos estos, es el conjunto de Julia. Los conjuntos de Fatou tienen un límite común, a saber, el conjunto de Julia. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Julia es un punto de acumulación para cada uno de los conjuntos de Fatou. Es esta propiedad la que causa la estructura fractal del conjunto de Julia (cuando el grado del polinomio es mayor que 2). Para trazar imágenes interesantes, primero se puede elegir un número específico d de puntos complejos (ζ1, …, ζd) y calcular los coeficientes (p1, …, pd) del polinomio . Luego, para una retícula rectangular de puntos en ℂ, se encuentra el índice k(m,n) de la raíz correspondiente ζk(m,n) y se usa para llenar una cuadrícula de M × N píxeles, asignando a cada punto (m,n) un color fk(m,n). Además o alternativamente, los colores pueden depender de la distancia D(m,n), que se define como el primer valor D tal que | zD − ζk(m,n) | < ε para algunos ε > 0 pequeños previamente fijados. (es) La fractale de Newton est un ensemble frontière défini dans le plan complexe caractérisé par l’application de la méthode de Newton à un polynôme (fr) The Newton fractal is a boundary set in the complex plane which is characterized by Newton's method applied to a fixed polynomial p(Z) ∈ ℂ[Z] or transcendental function. It is the Julia set of the meromorphic function z ↦ z − p(z)/p′(z) which is given by Newton's method. When there are no attractive cycles (of order greater than 1), it divides the complex plane into regions Gk, each of which is associated with a root ζk of the polynomial, k = 1, …, deg(p). In this way the Newton fractal is similar to the Mandelbrot set, and like other fractals it exhibits an intricate appearance arising from a simple description. It is relevant to numerical analysis because it shows that (outside the region of quadratic convergence) the Newton method can be very sensitive to its choice of start point. Almost all points of the complex plane are associated with one of the deg(p) roots of a given polynomial in the following way: the point is used as starting value z0 for Newton's iteration zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn), yielding a sequence of points z1, z2, …, If the sequence converges to the root ζk, then z0 was an element of the region Gk. However, for every polynomial of degree at least 2 there are points for which the Newton iteration does not converge to any root: examples are the boundaries of the basins of attraction of the various roots. There are even polynomials for which open sets of starting points fail to converge to any root: a simple example is z3 − 2z + 2, where some points are attracted by the cycle 0, 1, 0, 1… rather than by a root. An open set for which the iterations converge towards a given root or cycle (that is not a fixed point), is a Fatou set for the iteration. The complementary set to the union of all these, is the Julia set. The Fatou sets have common boundary, namely the Julia set. Therefore, each point of the Julia set is a point of accumulation for each of the Fatou sets. It is this property that causes the fractal structure of the Julia set (when the degree of the polynomial is larger than 2). To plot images of the fractal, one may first choose a specified number d of complex points (ζ1, …, ζd) and compute the coefficients (p1, …, pd) of the polynomial . Then for a rectangular lattice of points in ℂ, one finds the index k(m,n) of the corresponding root ζk(m,n) and uses this to fill an M × N raster grid by assigning to each point (m,n) a color fk(m,n). Additionally or alternatively the colors may be dependent on the distance D(m,n), which is defined to be the first value D such that | zD − ζk(m,n) |
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| rdfs:comment | كسيرية نيوتن هي في المستوى العقدي تتميز بطريقة نيوتن، مطبقة على متعددة حدود معينة . (ar) Fraktál Newton je obrazec z teorie chaosu, resp. fraktální geometrie. Newtonův fraktál pro rovnici třetího stupně, vybarvený podle dosažených kořenů a rychlosti konvergence (cs) La fractale de Newton est un ensemble frontière défini dans le plan complexe caractérisé par l’application de la méthode de Newton à un polynôme (fr) Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech będą pierwiastkami wielomianu gdzie Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor Następnie wybieramy jakiś zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca: 1. * (dla ), 2. * jeśli to Jeśli nie istnieje takie (czyli metoda nie zbiega dla danego to ). (pl) Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstanten meromorphen Funktion , die die komplexen Zahlen in sich abbildet, ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Genauer ist es die Julia-Menge zur Funktion die das Newtonverfahren zum Auffinden von Nullstellen der Funktion beschreibt. Das Newtonverfahren selbst konstruiert aus einem Startwert eine Folge mit der Rekursionsvorschrift . Abhängig vom Startwert kann der Orbit von ganz unterschiedliches Verhalten zeigen. Für die Dynamik in einer Umgebung von gibt es genau zwei Möglichkeiten: (de) El fractal de Newton es una frontera en el plano complejo delimitada mediante el método de Newton aplicado a un polinomio fijo p(Z) ∈ ℂ[Z] o a una función trascendente. Es el conjunto de Julia de la función meromorfa z ↦ z − p(z)p′(z), que viene dado por el método de Newton. Cuando no hay ciclos atractivos (de orden mayor que 1), divide el plano complejo en regiones Gk, cada una de las cuales está asociada con una raíz ζk del polinomio, k = 1, …, deg(p). De esta manera, el fractal de Newton es similar al conjunto de Mandelbrot y, al igual que otros fractales, exhibe una apariencia intrincada que surge de una descripción simple. Es relevante en análisis numérico porque muestra que (fuera de la región de orden de convergencia) el método de Newton puede ser muy sensible a la elección del punt (es) The Newton fractal is a boundary set in the complex plane which is characterized by Newton's method applied to a fixed polynomial p(Z) ∈ ℂ[Z] or transcendental function. It is the Julia set of the meromorphic function z ↦ z − p(z)/p′(z) which is given by Newton's method. When there are no attractive cycles (of order greater than 1), it divides the complex plane into regions Gk, each of which is associated with a root ζk of the polynomial, k = 1, …, deg(p). In this way the Newton fractal is similar to the Mandelbrot set, and like other fractals it exhibits an intricate appearance arising from a simple description. It is relevant to numerical analysis because it shows that (outside the region of quadratic convergence) the Newton method can be very sensitive to its choice of start point. (en) Il frattale di Newton è un insieme di frontiera nel piano complesso che è caratterizzato dal metodo di Newton applicato a un polinomio o funzione trascendentale. È l'insieme di Julia della funzione meromorfa che è data dal metodo di Newton . Essa, quando non ci sono cicli attrattori (di ordine superiore a 1), divide il piano complesso in regioni , ognuna delle quali è associata alla radice del polinomio, . , (it) Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости). Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру: (ru) 牛顿分形（英語：Newton fractal）是将牛顿法应用于一给定多项式p(Z) ∈ ℂ[Z]或超越函数而得到的复平面上的一个边界集。它是由牛顿法所定义的亚纯函数z ↦ z − p(z)/p′(z)的朱利亚集。当不存在吸引循环（阶数大于1）时，它将复平面划分为不同的区域Gk，每个区域与多项式的根ζk相关联，其中k = 1, …, deg(p)。此时牛顿分形类似于曼德博集合，并且与其他分形一样，它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像。从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感。 将复平面上的某一点作为牛顿法迭代zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn)的初始点z0，可以通过迭代得到一个点序列z1, z2, …,。如果这一序列收敛于根ζk，则将z0划入区域Gk。如此便能将复平面上的这一点与多项式的某一个根相对应。不过值得注意的是，对于二次以上的多项式，都存在一些点会使得牛顿迭代无法收敛到任何根上，例如不同根的吸引域的边界。甚至存在一些多项式，某些开集中的任意初始点都无法收敛到任何根上。一个简单的例子是z3 − 2z + 2，某些点会被吸引到循环0、1、0、1……中，而不被任何根所吸引。 为了绘制一个牛顿分形图像，可以首先选择指定数量d的复点(ζ1, …, ζd)并计算多项式的系数(p1, …, pd) . (zh) Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різновид фракталів. Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який, у даному випадку, узагальнюється для комплексної площини). Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля , використовуючи процедуру: (uk) | ||
| rdfs:label | كسيرية نيوتن (ar) Fraktál Newton (cs) Newtonfraktal (de) Fractal de Newton (es) Frattale di Newton (it) Fractale de Newton (fr) Newton fractal (en) Wstęga Newtona (pl) Бассейны Ньютона (ru) Басейни Ньютона (uk) 牛顿分形 (zh) | ||
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