Ore condition (original) (raw)
Die (Links- bzw. Rechts-)Ore-Bedingungen sind in der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra, ein Kriterium, welches es erlaubt, die Bildung von Quotientenkörpern oder allgemeiner Lokalisierungen auch auf den Fall zu verallgemeinern, in dem der zugrundeliegende Ring nicht kommutativ ist. Sie sind benannt nach ihrem Entdecker Øystein Ore. Ringe, die sie erfüllen, werden (Links- bzw. Rechts-)Ore-Ringe genannt.
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| dbo:abstract | Die (Links- bzw. Rechts-)Ore-Bedingungen sind in der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra, ein Kriterium, welches es erlaubt, die Bildung von Quotientenkörpern oder allgemeiner Lokalisierungen auch auf den Fall zu verallgemeinern, in dem der zugrundeliegende Ring nicht kommutativ ist. Sie sind benannt nach ihrem Entdecker Øystein Ore. Ringe, die sie erfüllen, werden (Links- bzw. Rechts-)Ore-Ringe genannt. (de) In mathematics, especially in the area of algebra known as ring theory, the Ore condition is a condition introduced by Øystein Ore, in connection with the question of extending beyond commutative rings the construction of a field of fractions, or more generally localization of a ring. The right Ore condition for a multiplicative subset S of a ring R is that for a ∈ R and s ∈ S, the intersection aS ∩ sR ≠ ∅. A (non-commutative) domain for which the set of non-zero elements satisfies the right Ore condition is called a right Ore domain. The left case is defined similarly. (en) Dans le domaine des mathématiques en théorie des anneaux, un anneau d'Ore est un anneau qui admet un corps de fractions. Pour un anneau commutatif, cette notion est équivalente à la condition que l'anneau soit sans diviseur de zéro (et donc nul ou intègre). Dans le cas général, cette condition reste nécessaire, mais n'est plus suffisante. Il faut adjoindre une condition supplémentaire, la condition d'Ore, introduite par le mathématicien norvégien Øystein Ore en 1931. On distingue les anneaux d'Ore à gauche, à droite et bilatères. Les premiers admettent un corps de fractions à gauche, les seconds un corps de fractions à droite, les troisièmes un corps de fractions à gauche et un corps de fractions à droite, qui coïncident. En l'absence de précision supplémentaire, « anneau d'Ore » signifie anneau d'Ore bilatère. (fr) I ringteorin är ett Orevillkor (efter Øystein Ore) ett svagare villkor än kommutativitet på en nolldelarfri ring, som ändå möjliggör likartade slutsatser. En nolldelarfri unitär ring R sägs uppfylla ett höger Orevillkor (eller högerorevillkor), om det för varje par a och b av element i R skilda från noll existerar nollskilda element c och d i R, sådana att a·c = b·d. Om R dessutom är en kommutativ ring gäller ju att a·b = b·a, så att Orevillkoret trivialt gäller (med c = b och d = a). Vänster Orevillkor definieras analogt, och uppfylls också automatiskt, om R är kommutativ. Om endera Orevillkoret är uppfyllt för R, så är R isomorf med en delring av någon skevkropp. Omvändningen gäller dock inte. Om exempelvis k är en godtycklig kropp, och G = är den monoiden på två symboler x och y, så uppfyller inte något Orevillkor, trots att den är en friidealring och alltså en delring av en skevkropp, enligt [, Corollary 4.5.9]. (sv) У теорії кілець умовою Оре називається деяка властивість елементів некомутативного кільця при якій для кільця можна побудувати кільця часток із властивостями схожими до комутативного випадку. (uk) 在數學中，歐爾條件是奧斯丁·歐爾在環論中引入的一個條件，它與非交換環的局部化相關。歐爾條件分成左右兩個版本。以下設 為一個環： * 左歐爾條件：對任兩個零元 ，存在 使得 。或者說，任兩個非零左理想的交集非零。 * 左歐爾條件：對任兩個非零元 ，存在 使得 。或者說，任兩個非零右理想的交集非零。 滿足左（右）歐爾條件的環稱作左（右）歐爾環；除環是歐爾環的典型例子。當 不是整環時，通常也採用一個較強的定義，要求條件中的 不是零因子；此時保證存在一個稱為「古典分式環」（分為左右兩個版本）的環擴張。 (zh) |
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