Flat module (original) (raw)
Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul". Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Στην και αλγεβρική γεωμετρία, ένα πρότυπο επίπεδο πάνω από ένα δακτύλιο R είναι μια R-μονάδα Μ τέτοια ώστε, λαμβάνοντας το πάνω στο R με M διατηρεί . Μια ενότητα είναι πιστά επίπεδη εάν παίρνετε το προϊόν του τανυστή με μια ακολουθία παράγει μια ακριβή αλληλουχία αν και μόνο αν η αρχική σειρά είναι ακριβής. Διανυσματικοί χώροι πάνω από ένα είναι επίπεδες ενότητες. , ή γενικότερα , είναι επίσης επίπεδες, σε οποιοδήποτε R. Για πάνω από ένα , η επιπεδότητα και η προβολικότητα είναι ισοδύναμες. Για πεπερασμένα παραγόμενες μονάδες πάνω από τους τοπικούς δακτυλίους, η ομαλότητα, η προβολικότητα και freeness είναι όλα ισοδύναμα. Το του αναπόσπαστου τομέα, και γενικότερα, οποιοσδήποτε εντοπισμός ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι ένα πρότυπο επίπεδο. Το προϊόν των ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι ένα πιστό πρότυπο επίπεδο. Η ομαλότητα εισήχθη από τον στην εργασία του . Βλέπε επίσης . (el) Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul". Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de) In algebra, a flat module over a ring R is an R-module M such that taking the tensor product over R with M preserves exact sequences. A module is faithfully flat if taking the tensor product with a sequence produces an exact sequence if and only if the original sequence is exact. Flatness was introduced by Jean-Pierre Serre in his paper Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique. See also flat morphism. (en) En álgebra conmutativa, y geometría algebraica, un módulo plano sobre un anillo R es un R-módulo M tal que se preserva sucesiones exactas al tomar el producto tensorial sobre R con M. Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial se produce una sucesión exacta si y sólo si la sucesión original es exacta. Los espacios vectoriales sobre un campo son módulos planos. Los módulos libres, o más generalmente los módulos proyectivos, son planos sobre cualquier R. Para sobre un anillo local noetheriano, las propiedades de ser proyectivos, planos y libres son equivalentes. Los módulos planos fueron introducidos por Jean-Pierre Serre(1956) en su artículo . Véase también . (es) La notion de module plat a été introduite et utilisée, en géométrie algébrique, par Jean-Pierre Serre. Cette notion se trouve également dans un ouvrage contemporain d'Henri Cartan et Samuel Eilenberg en algèbre homologique. Elle généralise les modules projectifs et a fortiori les modules libres. En algèbre commutative et en géométrie algébrique, cette notion a été notamment exploitée par Alexander Grothendieck et son école, et s'est révélée d'une importance considérable. (fr) 数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 M ⊗ – が完全となる加群 M のことである。ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された。 (ja) 환론에서 평탄 가군(平坦加群, 영어: flat module 플랫 모듈[*])은 단사 가군 준동형에 텐서곱을 하여도 단사성이 보존되는 가군이다. 대수기하학에서 평탄 사상(平坦寫像, 영어: flat morphism)은 공역의 줄기가 정의역의 줄기의 평탄 가군이 되도록 하는 스킴 사상이다. 기하학적으로, 평탄 사상은 그 올들이 "연속적으로" 변한다는 것을 뜻한다. 임의의 스킴 사상에서는 올의 크룰 차원이나 힐베르트 다항식 등이 임의로 변할 수 있지만, 평탄성을 가정하면 이러한 성질들이 일정하다는 것을 보일 수 있다. (ko) In algebra, un modulo piatto è un modulo che "si comporta bene" rispetto al prodotto tensoriale; più precisamente, dato un anello A, un A-modulo sinistro M è piatto se per ogni successione esatta di A-moduli la successione di gruppi abeliani (dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identità su M) è ancora esatta; analogamente, un modulo destro M è piatto se è esatta la successione di gruppi abeliani In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il funtore è , mentre un modulo destro è piatto se è esatto . Su anelli commutativi, le nozioni di modulo sinistro piatto e modulo destro piatto coincidono. (it) Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность. Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны. Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году. (ru) Плоский модуль над кільцем R — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність. Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями. Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році. (uk) 在抽象代數中，一個環 上的平坦模是一個 -模 ，使得函子 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/FlatModule-01.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf%7Cyear=1999 http://www.numdam.org/item%3Fid=BSMF_1969__97__81_0%7Cdoi-access=free http://www.numdam.org/numdam-bin/item%3Fid=AIF_1956__6__1_0 |
| dbo:wikiPageID | 492616 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 29314 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123324890 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:American_Journal_of_Mathematics dbr:Amitsur_complex dbr:Prime_ideal dbr:Principal_ideal_domain dbr:Pure_subring dbr:Epimorphism dbr:Module_(mathematics) dbr:Monic_polynomial dbr:Dedekind_ring dbc:Module_theory dbr:Annales_de_l'Institut_Fourier dbr:Resolution_of_a_module dbr:Right_exact_functor dbr:Derived_functor dbr:Integral_domain dbr:Jacobson_radical dbr:Projective_cover dbr:Prüfer_domain dbr:Complexification dbr:Generic_flatness dbr:Noetherian_ring dbr:Zariski_ring dbr:Pure_submodule dbr:Multiplicative_subset dbr:Theorem_of_transition dbr:Linear_relation dbr:Localization_(commutative_algebra) dbr:Long_exact_sequence dbr:Short_exact_sequence dbr:Commutative_algebra dbr:Commutative_ring dbr:Spectrum_of_a_ring dbr:Maximal_ideal dbr:Linear_combination dbr:Local_property dbr:Local_ring dbr:Abelian_groups dbr:Algebra dbr:Algebraic_geometry dbr:Finitely_generated_module dbr:Flat_dimension dbr:Flat_morphism dbr:Direct_limit dbr:Direct_product dbr:Direct_sum dbr:Direct_sum_of_modules dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Israel_Journal_of_Mathematics dbr:Finitely_presented_module dbr:Primary_ideal dbr:Primitive_polynomial_(ring_theory) dbr:Projective_module dbr:Ring_(mathematics) dbr:Von_Neumann_regular_ring dbr:Tensor_product dbr:Finitely_generated_ideal dbc:Homological_algebra dbr:Academic_Press dbc:Algebraic_geometry dbr:Coherent_ring dbr:Tor_functor dbr:Torsion-free_module dbr:Module_homomorphism dbr:Axiom_of_choice dbr:Bulletin_de_la_Société_Mathématique_de_France dbr:Polynomial_ring dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Field_extension dbr:Free_module dbr:Zero_ideal dbr:Scheme_(algebraic_geometry) dbr:Idempotent dbr:Completion_(ring_theory) dbr:Zariski_topology dbr:Exact_functor dbr:Exact_sequence dbr:Normally_flat_ring dbr:Unit_ideal dbr:Ring_homomorphism dbr:Transactions_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Springer-Verlag dbr:Flat_degeneration dbr:Quotient_topology dbr:Absolutely_flat dbr:Deformation_to_normal_cone dbr:Infinite_sequence dbr:Constructive_mathematics dbr:Commutative_algebra_(structure) dbr:Géometrie_Algébrique_et_Géométrie_Analytique dbr:File:FlatModule-01.png dbr:File:Module_properties_in_commutative_algebra.svg |
| dbp:authorlink | Jean-Pierre Serre (en) |
| dbp:first | Jean-Pierre (en) |
| dbp:last | Serre (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_web dbt:Harv dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Google_books dbt:Harvs |
| dbp:year | 1956 (xsd:integer) |
| dct:subject | dbc:Module_theory dbc:Homological_algebra dbc:Algebraic_geometry |
| gold:hypernym | dbr:M |
| rdf:type | dbo:Place |
| rdfs:comment | Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs "freier Modul". Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de) In algebra, a flat module over a ring R is an R-module M such that taking the tensor product over R with M preserves exact sequences. A module is faithfully flat if taking the tensor product with a sequence produces an exact sequence if and only if the original sequence is exact. Flatness was introduced by Jean-Pierre Serre in his paper Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique. See also flat morphism. (en) La notion de module plat a été introduite et utilisée, en géométrie algébrique, par Jean-Pierre Serre. Cette notion se trouve également dans un ouvrage contemporain d'Henri Cartan et Samuel Eilenberg en algèbre homologique. Elle généralise les modules projectifs et a fortiori les modules libres. En algèbre commutative et en géométrie algébrique, cette notion a été notamment exploitée par Alexander Grothendieck et son école, et s'est révélée d'une importance considérable. (fr) 数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 M ⊗ – が完全となる加群 M のことである。ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された。 (ja) 환론에서 평탄 가군(平坦加群, 영어: flat module 플랫 모듈[*])은 단사 가군 준동형에 텐서곱을 하여도 단사성이 보존되는 가군이다. 대수기하학에서 평탄 사상(平坦寫像, 영어: flat morphism)은 공역의 줄기가 정의역의 줄기의 평탄 가군이 되도록 하는 스킴 사상이다. 기하학적으로, 평탄 사상은 그 올들이 "연속적으로" 변한다는 것을 뜻한다. 임의의 스킴 사상에서는 올의 크룰 차원이나 힐베르트 다항식 등이 임의로 변할 수 있지만, 평탄성을 가정하면 이러한 성질들이 일정하다는 것을 보일 수 있다. (ko) Плоский модуль над кільцем R — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність. Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями. Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році. (uk) 在抽象代數中，一個環 上的平坦模是一個 -模 ，使得函子 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。 (zh) Στην και αλγεβρική γεωμετρία, ένα πρότυπο επίπεδο πάνω από ένα δακτύλιο R είναι μια R-μονάδα Μ τέτοια ώστε, λαμβάνοντας το πάνω στο R με M διατηρεί . Μια ενότητα είναι πιστά επίπεδη εάν παίρνετε το προϊόν του τανυστή με μια ακολουθία παράγει μια ακριβή αλληλουχία αν και μόνο αν η αρχική σειρά είναι ακριβής. Η ομαλότητα εισήχθη από τον στην εργασία του . Βλέπε επίσης . (el) En álgebra conmutativa, y geometría algebraica, un módulo plano sobre un anillo R es un R-módulo M tal que se preserva sucesiones exactas al tomar el producto tensorial sobre R con M. Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial se produce una sucesión exacta si y sólo si la sucesión original es exacta. Los espacios vectoriales sobre un campo son módulos planos. Los módulos libres, o más generalmente los módulos proyectivos, son planos sobre cualquier R. Para sobre un anillo local noetheriano, las propiedades de ser proyectivos, planos y libres son equivalentes. (es) In algebra, un modulo piatto è un modulo che "si comporta bene" rispetto al prodotto tensoriale; più precisamente, dato un anello A, un A-modulo sinistro M è piatto se per ogni successione esatta di A-moduli la successione di gruppi abeliani (dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identità su M) è ancora esatta; analogamente, un modulo destro M è piatto se è esatta la successione di gruppi abeliani (it) Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность. Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны. (ru) |
| rdfs:label | Flachheit (Algebra) (de) Επίπεδο πρότυπο (el) Módulo plano (es) Flat module (en) Modulo piatto (it) Module plat (fr) 平坦加群 (ja) 평탄 가군 (ko) Плоский модуль (ru) Плоский модуль (uk) 平坦模 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Flat module wikidata:Flat module dbpedia-de:Flat module dbpedia-el:Flat module dbpedia-es:Flat module dbpedia-fa:Flat module dbpedia-fr:Flat module dbpedia-he:Flat module dbpedia-it:Flat module dbpedia-ja:Flat module dbpedia-ko:Flat module dbpedia-ru:Flat module dbpedia-uk:Flat module dbpedia-zh:Flat module https://global.dbpedia.org/id/S7Nm |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Flat_module?oldid=1123324890&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Module_properties_in_commutative_algebra.svg wiki-commons:Special:FilePath/FlatModule-01.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Flat_module |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Flat |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Faithfully_flat_module dbr:Faithfully_flat_algebra dbr:Faithfully_flat_ring_homomorphism dbr:Flat_cover_conjecture dbr:Flat_extension dbr:Flat_modules dbr:Flat_morphism_(ring_theory) dbr:Flat_ring_homomorphism |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_commutative_algebra_topics dbr:Module_(mathematics) dbr:Almost_ring dbr:Character_module dbr:Derived_noncommutative_algebraic_geometry dbr:Dévissage dbr:Injective_module dbr:Prüfer_domain dbr:Torsionless_module dbr:Mathematics dbr:Generating_set_of_a_module dbr:Zeeman's_comparison_theorem dbr:Pure_submodule dbr:Glossary_of_classical_algebraic_geometry dbr:Glossary_of_commutative_algebra dbr:Glossary_of_module_theory dbr:Branched_covering dbr:Morita_equivalence dbr:Ore_condition dbr:Local_criterion_for_flatness dbr:Localization_(commutative_algebra) dbr:Bockstein_homomorphism dbr:Commutative_ring dbr:Completion_of_a_ring dbr:Landweber_exact_functor_theorem dbr:Local_property dbr:Faithfully_flat_module dbr:Finitely_generated_module dbr:Flat_morphism dbr:Formally_étale_morphism dbr:Base_change_theorems dbr:Hilbert–Kunz_function dbr:Flat dbr:Flatness dbr:Primary_decomposition dbr:Projective_module dbr:Rank_of_an_abelian_group dbr:Resolution_(algebra) dbr:Von_Neumann_regular_ring dbr:Countably_generated_module dbr:Tensor_product_of_modules dbr:Cohen–Macaulay_ring dbr:Coherent_ring dbr:Coherent_sheaf dbr:Henselian_ring dbr:Tor_functor dbr:Torsion_(algebra) dbr:Dimension_theory_(algebra) dbr:Boolean_ring dbr:Free_module dbr:Exact_functor dbr:Flat_cover dbr:Flat_topology dbr:Flatness_(mathematics) dbr:Torsion_subgroup dbr:Separable_algebra dbr:Normal_homomorphism dbr:Normally_flat_ring dbr:Perfect_ring dbr:Weak_dimension dbr:Outline_of_algebraic_structures dbr:Faithfully_flat_algebra dbr:Faithfully_flat_ring_homomorphism dbr:Flat_cover_conjecture dbr:Flat_extension dbr:Flat_modules dbr:Flat_morphism_(ring_theory) dbr:Flat_ring_homomorphism |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Flat_module |
