Plücker formula (original) (raw)
In mathematics, a Plücker formula, named after Julius Plücker, is one of a family of formulae, of a type first developed by Plücker in the 1830s, that relate certain numeric invariants of algebraic curves to corresponding invariants of their dual curves. The invariant called the genus, common to both the curve and its dual, is connected to the other invariants by similar formulae. These formulae, and the fact that each of the invariants must be a positive integer, place quite strict limitations on their possible values.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die Plückerschen Formeln verbinden bestimmte Invarianten algebraischer Kurven und ihrer dualen Kurven. Zusätzlich lassen sie sich mit der gemeinsamen topologischen Invariante des Geschlechts der Kurve in Beziehung setzen. Sie wurden von Julius Plücker 1834 eingeführt. Eine algebraische Kurve C sei durch eine Gleichung vom Grad (Ordnung) in der komplexen projektiven Ebene gegeben. Die ist durch die Tangenten an die Kurve C gegeben und ist eine algebraische Kurve in der dualen projektiven Ebene. Ihr Grad sei (auch Klasse der Kurve C genannt). Der Grad d ergibt sich aus der Anzahl der Schnittpunkte einer Geraden mit der Kurve C, wobei die Multiplizität der Schnittpunkte berücksichtigt werden muss. Komplexe Punkte und der Punkt im Unendlichen werden auch berücksichtigt. Der Grad ist gleich der Anzahl der Geraden durch einen Punkt, die Tangenten an die Kurve C sind (auch hier mit Multiplizitäten gezählt). Für einen Kegelschnitt ist . Für nicht-singuläre Kurven C gilt: . Bei den Singularitäten werden der Einfachheit halber nur Doppelpunkte (zwei verschiedene Tangenten), deren Anzahl sei, und Spitzen (nur eine Tangente) betrachtet, deren Anzahl sei. Entsprechend gibt es im dualen Raum Doppeltangenten (dual zu den Doppelpunkten) und Wendetangenten (dual zu den Spitzen, die Wendetangente berührt die Kurve in den Wendepunkten mindestens mit Ordnung 3). Es gelten dann die Plückergleichungen: und umgekehrt: . Die vier Gleichungen sind nicht unabhängig, aus jeweils drei ergibt sich die vierte. Mit den Formeln konnte Plücker zum Beispiel vorhersagen, dass eine Kubik (d=3) ohne Singularitäten stets neun Wendelinien und damit neun Wendepunkte hat (sechs davon liegen im Komplexen). Schließlich kann man noch das topologische Geschlecht von C definieren: oder mit den dualen Invarianten: . Die Formel für das Geschlecht stammt von Alfred Clebsch (Bernhard Riemann hatte zuvor das topologische Geschlecht zugehöriger Riemannflächen eingeführt). Mit der Formel für das Geschlecht kann die Menge möglicher Singularitäten weiter eingeschränkt werden. (de) In mathematics, a Plücker formula, named after Julius Plücker, is one of a family of formulae, of a type first developed by Plücker in the 1830s, that relate certain numeric invariants of algebraic curves to corresponding invariants of their dual curves. The invariant called the genus, common to both the curve and its dual, is connected to the other invariants by similar formulae. These formulae, and the fact that each of the invariants must be a positive integer, place quite strict limitations on their possible values. (en) En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une formule de Plücker est une relation entre certains nombres associés à des courbes algébriques (leurs invariants, au sens de la topologie algébrique et plus généralement de la théorie des catégories), tels que le nombre de leurs points singuliers, et les nombres correspondants pour leurs courbes duales ; les premiers exemples de ces formules furent découverts par Julius Plücker vers 1830. Le genre, un invariant commun à une courbe et à son dual, est lié aux autres invariants par des formules similaires. Comme ces invariants sont des entiers positifs, ces formules donnent des limites assez strictes à leurs valeurs possibles. (fr) Em matemática, uma fórmula de Plücker, nomeada após Julius Plücker, faz parte de uma família de fórmulas, de um tipo desenvolvido pela primeira vez por Plücker na década de 1830, que relaciona certos invariantes numéricos de curvas algébricas aos invariantes correspondentes de suas curvas duplas . O invariante chamado gênero, comum à curva e à à sua dupla, é conectado aos outros invariantes por fórmulas semelhantes. Essas fórmulas e o fato de que cada um dos invariantes deve ser um número inteiro positivo colocam limitações bastante rígidas em seus possíveis valores. (pt) Формула Плюккера — одна из семейства формул, выведенных немецким математиком и физиком Плюккером в 1830-х годах. Формулы связывают некоторые инварианты алгебраических кривых и инварианты дуальных им кривых. Инвариант, называемый родом и являющийся общим как для кривой, так и для дуальной ей кривой, связан с другими инвариантами похожими формулами. Эти формулы и тот факт, что каждый из этих инвариантов должен быть положительным целым числом, накладывают строгие ограничения на возможные значения инвариантов. (ru) |
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