Polynomial expansion (original) (raw)
数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。
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| dbo:abstract | In mathematics, an expansion of a product of sums expresses it as a sum of products by using the fact that multiplication distributes over addition. Expansion of a polynomial expression can be obtained by repeatedly replacing subexpressions that multiply two other subexpressions, at least one of which is an addition, by the equivalent sum of products, continuing until the expression becomes a sum of (repeated) products. During the expansion, simplifications such as grouping of like terms or cancellations of terms may also be applied. Instead of multiplications, the expansion steps could also involve replacing powers of a sum of terms by the equivalent expression obtained from the binomial formula; this is a shortened form of what would happen if the power were treated as a repeated multiplication, and expanded repeatedly. It is customary to reintroduce powers in the final result when terms involve products of identical symbols. Simple examples of polynomial expansions are the well known rules when used from left to right. A more general single-step expansion will introduce all products of a term of one of the sums being multiplied with a term of the other: An expansion which involves multiple nested rewrite steps is that of working out a Horner scheme to the (expanded) polynomial it defines, for instance . The opposite process of trying to write an expanded polynomial as a product is called polynomial factorization. (en) En mathématiques, le développement d'une expression est un procédé inverse de la factorisation, de portée toutefois plus limitée que celle-ci : alors qu'on parle de factorisation aussi bien pour les nombres entiers que pour les polynômes, par exemple, on ne parle pas de développement des nombres entiers ; cette notion nécessite en effet de travailler dans une algèbre. À l'issue d'un développement, on obtient une forme dite forme développée. Le développement d'une expression se fait comme la factorisation à l'aide des règles de distributivité, utilisées dans l'autre sens : Règle de base — Si a, b et c sont trois éléments d'un anneau, alors . Produit de sommes — Si a, b, c et d sont quatre éléments d'un anneau, alors Cette deuxième règle permet par exemple de trouver la forme développée du polynôme (2x +1)(3x +5) : Le développement est toutefois algorithmiquement plus simple que la factorisation, aussi bien à un niveau scolaire que lorsqu'il s'agit de problèmes plus avancés comme le traitement de polynômes à plusieurs indéterminées. (fr) 数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。 (ja) 다항식 전개(多項式 展開, 영어: polynomial expansion)는 인수 분해된 다항식을 인수들끼리 분배법칙을 이용하여 곱셈을 한 다음, 동류항들끼리 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 덧셈뺄셈을 하여 다시 푸는 과정이다. 이렇게 전개된 식을 전개식(展開式)이라고 한다. 이처럼 다항식의 전개와 인수분해는 곱셈공식으로 표현되는 정보교환관계에 있어서 중요한 역할을 한다. (ko) |
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