Power series solution of differential equations (original) (raw)
In mathematics, the power series method is used to seek a power series solution to certain differential equations. In general, such a solution assumes a power series with unknown coefficients, then substitutes that solution into the differential equation to find a recurrence relation for the coefficients.
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| dbo:abstract | Ein Potenzreihenansatz ist ein Lösungsansatz für Differentialgleichungen. Die gesuchte Funktion wird als Potenzreihe mit unbekannten Koeffizienten dargestellt und dann in die Differentialgleichung eingesetzt. Durch Koeffizientenvergleich kann so die Lösung gefunden und in manchen Fällen wieder durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Im allgemeinen Fall, wenn die Koeffizientenfunktionen meromorph sind wie bei der Fuchsschen Differentialgleichung (zu der die Hypergeometrische Differentialgleichung gehört), muss die Differentialgleichung grundsätzlich im Komplexen (Riemannsche Zahlenkugel) betrachtet werden. Es gibt bei Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typ (mit ausschließlich hebbaren Singularitäten auch im Unendlichen) verallgemeinerte Potenzreihenlösungen (siehe Frobenius-Methode) und die lokal als Potenzreihenlösungen gegebenen Fundamentallösungen der Differentialgleichung sind durch Betrachtung von analytischen Fortsetzungen um die singulären Punkte der Koeffizientenfunktionen über Monodromie-Matrizen verbunden. (de) In mathematics, the power series method is used to seek a power series solution to certain differential equations. In general, such a solution assumes a power series with unknown coefficients, then substitutes that solution into the differential equation to find a recurrence relation for the coefficients. (en) Метод степеневого ряду використовується для пошуку розв'язку у вигляді степеневого ряду диференціального рівняння. В загальному, цей підхід розглядає степеневий ряд з невідомими коефіцієнтами і підставляє його в диференціальне рівняння, щоб знайти рекурентне співвідношення для коефіцієнтів. (uk) |
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| rdfs:label | Potenzreihenansatz (de) Power series solution of differential equations (en) Степеневий ряд розв'язку диференціального рівняння (uk) |
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