Frobenius method (original) (raw)
Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung zu finden, wobei und als analytisch in einer Umgebung von vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen und danach von Frobenius verallgemeinert.
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| dbo:abstract | Frobeniova metoda je v matematice metoda, kterou vyvinul Ferdinand Georg Frobenius pro nalezení řešení obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu tvaru kde a ve formě nekonečné řady v blízkosti . Vydělením rovnice výrazem získáme diferenciální rovnici tvaru která nebude řešitelná regulárními , jestliže p(z)/z nebo q(z)/z2 nejsou analytické funkce v z = 0. Frobeniova metoda nám umožňuje sestrojit mocninnou řadu, která tyto diferenciální rovnice řeší za předpokladu, že funkce p(z) a q(z) jsou samy analytické v bodě 0 anebo, když jsou analytické jinde, pokud obě jejich limity v 0 existují (a jsou konečné). (cs) Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung zu finden, wobei und als analytisch in einer Umgebung von vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen und danach von Frobenius verallgemeinert. (de) En matemáticas, el Método de Frobenius, que debe su nombre a Ferdinand Georg Frobenius, es una forma de hallar una solución expresada como serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que tenga la forma: con y en un entorno reducido de un . Podemos dividir por para obtener una ecuación diferencial de la forma con la cual no es resoluble con el método de serie de potencias regular si o no son analíticas en . El método de Frobenius permite crear una solución en serie de potencias de esa ecuación diferencial, con p(z) y q(z) analíticas en 0 o, siendo analíticas, si sus límites en 0 existen (si son finitos). (es) In mathematics, the method of Frobenius, named after Ferdinand Georg Frobenius, is a way to find an infinite series solution for a second-order ordinary differential equation of the form with and . in the vicinity of the regular singular point . One can divide by to obtain a differential equation of the form which will not be solvable with regular power series methods if either p(z)/z or q(z)/z2 are not analytic at z = 0. The Frobenius method enables one to create a power series solution to such a differential equation, provided that p(z) and q(z) are themselves analytic at 0 or, being analytic elsewhere, both their limits at 0 exist (and are finite). (en) En analyse, la méthode de Frobenius, du nom du mathématicien allemand Ferdinand Georg Frobenius, est une technique d'obtention du développement en série entière des solutions d'une équation différentielle linéaire de la forme : la variable z étant en général complexe, au voisinage du point z = a, sous réserve que p(z) et q(z) soient analytiques, ou possèdent un point singulier dit régulier en ce point. Si ces conditions sont respectées, la méthode de Frobenius permet alors de déterminer au moins une solution de la forme : Cette méthode se généralise à une équation différentielle linéaire d'ordre p quelconque, sous réserve des conditions de régularité suffisantes sur les fonctions apparaissant devant chacune des dérivées . (fr) 프로베니우스 방법(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다. (ko) In de wiskunde beschrijft de methode van Frobenius een manier om door middel van een machtreeks een oplossing te vinden van een gewone differentiaalvergelijking van tweede orde van de vorm Delen door , levert wat niet oplosbaar is met een gewone machtreeks als of is in . De methode van Frobenius maakt het mogelijk een oplossing neer te schrijven in de vorm van een machtreeks onder de voorwaarde dat en zelf regulier zijn in 0, of als ze overal regulier zijn en dat de limiet naar nul bestaat en eindig is. (nl) In matematica, il metodo di Frobenius, il cui nome deriva dal matematico tedesco Ferdinand Georg Frobenius, descrive un modo di trovare una soluzione tramite sviluppo in serie per una equazione differenziale ordinaria di secondo grado della forma: in prossimità del punto singolare regolare . Si può dividere l'equazione differenziale per ed ottenere una forma equivalente: Quest'ultima non è risolubile tramite espansione in serie di potenze, ovvero cercando soluzioni del tipo: se oppure non è analitica in . Il metodo di Frobenius permette di creare delle soluzioni in serie di potenze a questo tipo di equazioni differenziali nel caso in cui e siano a loro volta analitiche nell'intorno dell'origine oppure, essendo analitiche in ogni altro punto, anche nel caso in cui i loro limiti a zero esistano e siano finiti. (it) Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma sendo e nas vizinhanças do ponto singular regular . Dividindo a expressão por , obtém-se a seguinte equação diferencial: que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z2 não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos). (pt) В математике метод Фробениуса, названый в честь Фердинанда Георга Фробениуса, — это способ найти бесконечный ряд, который бы являлся решением для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вида где и в окрестности регулярной особой точки . Уравнение можно разделить на , чтобы получить дифференциальное уравнение вида которое не решаемо обычными методами степенных рядов, если p(z)/z или q(z)/z2 не являются аналитическими при z = 0. Метод Фробениуса позволяет найти решение такого дифференциального уравнения в виде степенных рядов, при условии что p(z) и q(z) сами являются аналитическими в 0 или, будучи аналитическим во всех остальных областях, в самой точке существует конечный предел. (ru) |
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