Primitive element (finite field) (original) (raw)
体論において、有限体 GF(q) の原始元 (primitive element) とは、体の乗法群の生成元のことである。言い換えると、α ∈ GF(q) が、GF(q) の1の原始 (q − 1)-乗根であるとき、原始元という。つまり零以外の GF(q) のすべての元は整数 i によって αi と表すことができる。 例えば、2 ∈ GF(5) は体 GF(5) の原始元であるが、2 ∈ GF(7) は体 GF(7) の原始元ではない。なぜなら、2 ∈ GF(7) は位数 3 の巡回部分群 ⟨2⟩ = {1, 2, 4} しか生成しないからである。一方、3 ∈ GF(7) は GF(7) の原始元である。原始元の最小多項式は、原始多項式である。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In field theory, a primitive element of a finite field GF(q) is a generator of the multiplicative group of the field. In other words, α ∈ GF(q) is called a primitive element if it is a primitive (q − 1)th root of unity in GF(q); this means that each non-zero element of GF(q) can be written as αi for some integer i. If q is a prime number, the elements of GF(q) can be identified with the integers modulo q. In this case, a primitive element is also called a primitive root modulo q. For example, 2 is a primitive element of the field GF(3) and GF(5), but not of GF(7) since it generates the cyclic subgroup {2, 4, 1} of order 3; however, 3 is a primitive element of GF(7). The minimal polynomial of a primitive element is a primitive polynomial. (en) 体論において、有限体 GF(q) の原始元 (primitive element) とは、体の乗法群の生成元のことである。言い換えると、α ∈ GF(q) が、GF(q) の1の原始 (q − 1)-乗根であるとき、原始元という。つまり零以外の GF(q) のすべての元は整数 i によって αi と表すことができる。 例えば、2 ∈ GF(5) は体 GF(5) の原始元であるが、2 ∈ GF(7) は体 GF(7) の原始元ではない。なぜなら、2 ∈ GF(7) は位数 3 の巡回部分群 ⟨2⟩ = {1, 2, 4} しか生成しないからである。一方、3 ∈ GF(7) は GF(7) の原始元である。原始元の最小多項式は、原始多項式である。 (ja) Примитивным элементом конечного поля называется всякий первообразный корень степени , то есть всякий генератор мультипликативной группы этого поля. (ru) Примітивним елементом скінченного поля називається кожен генератор мультиплікативної групи цього поля. (uk) |
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| rdfs:comment | 体論において、有限体 GF(q) の原始元 (primitive element) とは、体の乗法群の生成元のことである。言い換えると、α ∈ GF(q) が、GF(q) の1の原始 (q − 1)-乗根であるとき、原始元という。つまり零以外の GF(q) のすべての元は整数 i によって αi と表すことができる。 例えば、2 ∈ GF(5) は体 GF(5) の原始元であるが、2 ∈ GF(7) は体 GF(7) の原始元ではない。なぜなら、2 ∈ GF(7) は位数 3 の巡回部分群 ⟨2⟩ = {1, 2, 4} しか生成しないからである。一方、3 ∈ GF(7) は GF(7) の原始元である。原始元の最小多項式は、原始多項式である。 (ja) Примитивным элементом конечного поля называется всякий первообразный корень степени , то есть всякий генератор мультипликативной группы этого поля. (ru) Примітивним елементом скінченного поля називається кожен генератор мультиплікативної групи цього поля. (uk) In field theory, a primitive element of a finite field GF(q) is a generator of the multiplicative group of the field. In other words, α ∈ GF(q) is called a primitive element if it is a primitive (q − 1)th root of unity in GF(q); this means that each non-zero element of GF(q) can be written as αi for some integer i. If q is a prime number, the elements of GF(q) can be identified with the integers modulo q. In this case, a primitive element is also called a primitive root modulo q. (en) |
| rdfs:label | 原始元 (有限体) (ja) Primitive element (finite field) (en) Примитивный элемент конечного поля (ru) Примітивний елемент скінченного поля (uk) |
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