Finite field (original) (raw)
Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise, obvykle značeno ) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques i més precisament en la branca de la teoria de Galois, un cos finit, anomenat també cos de Galois és un cos el cardinal del qual és finit (té un nombre finit d'elements). Tret d'isomorfismes, tot cos finit queda completament determinat pel seu cardinal que és sempre de la forma pn, una potència d'un nombre primer. Aquest nombre primer no és altre que la seva característica (el nombre més petit de vegades que s'ha de sumar l'element neutre de la multiplicació per a obtenir l'element neutre de la suma) i el cos es presenta com l'única extensió finita del cos primitiu Z/p de dimensió n. Les aplicacions són essencialment la teoria de nombres algebraics on els cossos finits apareixen com una estructura essencial per a la geometria aritmètica. Aquesta branca ha permès, entre altres coses, demostrar l'últim teorema de Fermat. Els cossos finits s'utilitzen sovint en criptografia i en , per exemple, per determinar codis correctors eficaços. Observació sobre la terminologia: quan l'àlgebra abstracta va començar a ésser desenvolupada, la definició de cos normalment no incloïa la commutativitat de la multiplicació, així el que avui s'anomena cos fa un temps hauria estat anomenat cos commutatiu o domini racional. Avui en dia però, un cos és sempre commutatiu. Una estructura que satisfaci totes les propietats d'un cos llevat de la commutativitat, s'anomena avui encara que cos no commutatiu és encara força usat. Altres llengües han mantingut aquesta antiga notació. Així per exemple, en italià i francès, els anells de divisió se'ls anomena corpo i corps. En canvi, en anglès, alemany i espanyol, field, Körper (d'aquí ve que denoti normalment un cos) i cuerpo signifiquen cos. Cal remarcar que en francès no hi ha una paraula concreta per designar un cos, amb la qual cosa s'ha d'usar la forma corps commutatif. En italià existeix també la forma campo que es tradueix exactament per la nostra noció de cos. En el cas dels cossos finits, aquesta observació, de fet, té poca importància, ja que, segons el , tot cos finit és commutatiu. Aquest resultat es demostra amb l'ajuda dels polinomis ciclotòmics. (ca) Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise, obvykle značeno ) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků. (cs) في الجبر التجريدي، الحقل المحدود (بالإنجليزية: Finite fields) أو حقل غالوا نسبة للعالم الفرنسي إيفاريست جالوا هو حقل يحتوي على عدد محدود من العناصر. الحقول المنتهية مهمة جدا في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية ونظرية غالوا والتشفير ونظرية الترميز غيرها. تُصنف الحقول المنتهية حسب عدد عناصرها. تظهر الحقول المنتهية في سلسلة كما يلي: الحلقات التبادلية ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ الحقول ⊃ الحقول المنتهية. (ar) In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein endlicher Körper oder Galoiskörper (nach Évariste Galois) ein Körper mit einer endlichen Anzahl von Elementen, d. h. eine endliche Menge, auf der zwei als Addition und Multiplikation verstandene Grundoperationen definiert sind, sodass die Menge zusammen mit diesen Operationen alle Anforderungen eines Körpers erfüllt. Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie (Vorwärtsfehlerkorrektur, zum Beispiel beim Reed-Solomon-Code). Daneben sind sie grundlegend für das Studium der Primideale im Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Körpererweiterung von im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie. Man vergleiche hierzu auch Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen. Außerdem sind endliche Körper in der Geometrie als Koordinatenbereiche endlicher Geometrien von Bedeutung. Sie sind allgemeiner Koordinatenbereiche von Ebenen und Räumen in der synthetischen Geometrie. Mit Hilfe der Addition und Multiplikation in einem endlichen Körper werden hier Verknüpfungen mit schwächeren algebraischen Eigenschaften definiert, die aus dem Körper z. B. einen Ternär- oder Quasikörper machen. Auf diesen verallgemeinerten Körpern können dann projektive und affine Ebenen konstruiert werden. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz. Für jede Primzahl und jede positive natürliche Zahl existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Körper mit Elementen, der mit oder bezeichnet wird. ist der Körper der Restklassen ganzer Zahlen modulo . E. H. Moore prägte wohl 1893 den englischen Begriff Galois field zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo gerechnet hat. Der Satz von Wedderburn sagt aus, dass die Multiplikation in einem endlichen Schiefkörper notwendig kommutativ ist. Das heißt, dass endliche Schiefkörper stets endliche Körper sind. (de) Στα μαθηματικά, ένα σώμα καλείται πεπερασμένο αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο. Ένα πεπερασμένο σώμα λέγεται αλλιώς και σώμα Γκαλουά προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois). Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην , την , την Κρυπτογραφία και τη . (el) In mathematics, a finite field or Galois field (so-named in honor of Évariste Galois) is a field that contains a finite number of elements. As with any field, a finite field is a set on which the operations of multiplication, addition, subtraction and division are defined and satisfy certain basic rules. The most common examples of finite fields are given by the integers mod p when p is a prime number. The order of a finite field is its number of elements, which is either a prime number or a prime power. For every prime number p and every positive integer k there are fields of order all of which are isomorphic. Finite fields are fundamental in a number of areas of mathematics and computer science, including number theory, algebraic geometry, Galois theory, finite geometry, cryptography and coding theory. (en) En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pn, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y solo una manera posible de definir un cuerpo finito, por lo que todos los cuerpos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí. (es) En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique. Pour tout nombre premier p et tout entier non nul n, il existe un corps de cardinal pn, qui se présente comme l'unique extension de degré n du corps premier Z/pZ. Les corps finis sont utilisés en théorie algébrique des nombres, où ils apparaissent comme une structure essentielle à la géométrie arithmétique. Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le dernier théorème de Fermat. Les corps finis ont trouvé de nouvelles applications avec le développement de l'informatique. En théorie des codes, ils permettent par exemple de déterminer des codes correcteurs efficaces. Ils interviennent également en cryptographie, dans la conception des chiffrements à clé secrète comme le standard AES, ainsi que dans celle des chiffrement à clé publique, à travers, entre autres, le problème du logarithme discret. Remarque sur la terminologie : une convention courante en français est de considérer qu'un corps n'est pas nécessairement commutatif. Dans le cas des corps finis, la convention est en fait de peu d'importance car, d'après le théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif, et, dans cet article les corps seront supposés d'emblée commutatifs. Les corps finis sont (ou ont été) appelés également corps de Galois, ou plus rarement champs de Galois. Ils ont été en effet étudiés par Évariste Galois dans un article publié en 1830 qui est à l'origine de la théorie. En fait, Carl Friedrich Gauss avait déjà découvert les résultats de Galois à la fin du XVIIIe siècle mais n'en fit pas état ; ses travaux ne furent connus qu'après sa mort et n'eurent pas l'influence de ceux de Galois. Le corps fini de cardinal q (nécessairement puissance d'un nombre premier) est noté Fq (de l'anglais field qui signifie corps commutatif) ou GF(q) (Galois field). (fr) Dalam matematika, medan berhingga (disebut juga medan Galois dari matematikawan Evariste Galois) adalah medan yang berisi elemen berjumlah berhingga. Seperti medan lainnya, medan berhingga adalah himpunan yang memiliki operasi pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang didefinisikan dan memenuhi aturan tertentu. Contoh umum medan berhingga adalah bilangan bulat mod p dengan p adalah bilangan prima. Medan berhingga adalah dasar dalam beberapa bidang matematika dan ilmu komputer, termasuk teori bilangan, geometri aljabar, teori Galois, , kriptografi, dan teori kode. (in) In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici. I campi finiti sono completamente classificati. (it) 有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 「有限斜体は可換体である」 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。 (ja) 체론에서 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다. (ko) Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), galoislichaam, galoisruimte, of galoisveld (vernoemd naar Évariste Galois) is een lichaam /veld met een eindig aantal elementen. Dit aantal, de orde van het lichaam genoemd, kan alleen maar een macht van een priemgetal zijn. Omgekeerd is er voor ieder dergelijk aantal een eindig lichaam (op isomorfie na eenduidig). Eindige lichamen/velden worden gebruikt in de cryptografie, coderingstheorie, galoistheorie, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Een eindig lichaam/veld van orde wordt vaak genoteerd als of , waarbij de letters G en F verwijzen naar de Engelse term Galois Field. Galois heeft eindige lichamen in 1830 ingevoerd, maar pas door toedoen van de Amerikaanse wiskundige Eliakim Moore (1862-1932) zijn eindige lichamen geclassificeerd. Eindige lichamen zijn belangrijk geworden met de komst van digitale elektronica en computers en de ontwikkeling van de informatietheorie en discrete wiskunde. (nl) Ciało skończone lub ciało Galois – ciało skończonego rzędu, tj. o skończonej liczbie elementów; druga z nazw pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który znacząco przyczynił się do rozwoju badań nad ciałami skończonymi (zob. ). Galois wskazał ich zastosowanie w tzw. teorii Galois dającej m.in. definitywną odpowiedź na pytania o rozstrzygnięcie możliwości wykonania klasycznych konstrukcji w geometrii euklidesowej czy też zgrabnie uzasadniającej brak ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów wyższych stopni. W artykule za naturalne uważa się dodatnie liczby całkowite, ciało proste o elementach (tzn. rzędu gdzie jest liczbą pierwszą) oznaczane będzie zamiennie jednym z symboli oraz inną stosowaną notacją jest (od ang. Galois field, ciało Galois). (pl) Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito. Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois. (pt) I abstrakt algebra är en ändlig kropp en kropp med ändligt många element. Teorin om ändliga kroppar utarbetades av Carl Friedrich Gauss (1777-1855) och Évariste Galois (1811-1832), därav benämns ändliga kroppar ibland för Galoiskroppar. Ändliga kroppar har applikationer i kombinatorik, kryptologi, talteori och kodningsteori (där de bland annat används för att konstruera felrättande koder, till exempel .) (sv) Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів. Найменше поле Галуа містить лише два елементи: та , арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила . Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування. Ідея застосування поля полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення , кільця многочленів , тощо. Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, , і . Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній . Для будь-якого простого числа , кільце залишків — це скінчене поле з елементів, яке позначається . Елементи цього поля можуть бути представлені цілими числами , які додаються і множаться «за модулем ». Будь-яке скінчене поле містить елементів і однозначно задається своєю характеристикою і степенем . (uk) Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля. Конечное поле обычно обозначается или (сокращение от англ. Galois field) и называется полем Галуа порядка , где — число элементов поля.С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть , где — простое число, а — любое натуральное число. При этом будет являться характеристикой этого поля. Понятие конечного поля используется в теории чисел, теории групп, алгебраической геометрии, криптографии. (ru) 在数学中，有限域（英語：finite field）或伽罗瓦域（英語：Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模。 有限域的元素个数称为它的阶。 有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3 http://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html |
| dbo:wikiPageID | 11615 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 44910 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124510326 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Prime_field dbr:Prime_power dbr:Primitive_element_(finite_field) dbr:Root_of_unity dbr:Element_(mathematics) dbr:Elementary_abelian_group dbr:Monic_polynomial dbr:Multiplicative_group dbr:Quasi-finite_field dbr:Euclidean_division_of_polynomials dbr:Binomial_coefficient dbr:Binomial_theorem dbr:Algebraic_closure dbr:Character_sum dbr:Cyclotomic_polynomial dbr:Vector_space dbr:Elliptic_curves dbr:Multiplicative_inverse dbr:Profinite_group dbr:Quotient_ring dbr:Cryptography dbr:Mathematics dbr:Chevalley–Warning_theorem dbr:Error_correction_code dbr:Trinomial dbr:Claude_Chevalley dbr:Emil_Artin dbr:Function_composition dbr:Galois_theory dbr:Modular_arithmetic dbr:Möbius_function dbr:Conway_polynomial_(finite_fields) dbr:Cryptographic_protocol dbr:Wedderburn's_little_theorem dbr:Arithmetic_combinatorics dbr:Leonard_Eugene_Dickson dbr:Linear_algebra dbr:Combinatorics dbr:Computer_algebra_system dbr:Computer_science dbr:Évariste_Galois dbr:Freshman's_dream dbr:Hamming_space dbr:PDF417 dbr:BCH_code dbr:Topological_group dbr:Weil_conjectures dbr:Galois_extension dbr:Galois_group dbr:Hasse_principle dbr:Irreducible_polynomial dbr:Linear_map dbr:Linear_subspace dbr:Minimal_polynomial_(field_theory) dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_variety dbr:Cyclic_group dbr:E._H._Moore dbr:Alternativity dbr:Euclidean_division dbr:Euler's_totient_function dbr:Exponentiation_by_squaring dbr:Extended_Euclidean_algorithm dbr:Ferdinand_Georg_Frobenius dbr:Fermat's_little_theorem dbr:Field_(mathematics) dbr:Field_automorphism dbr:Field_with_one_element dbr:Number_theory dbr:Discrete_logarithm dbr:Formal_derivative dbr:Isomorphism dbr:Unique_factorization_domain dbr:Quasi-algebraically_closed_field dbr:Ring_(mathematics) dbr:Isomorphic dbr:ECDHE dbr:Prime_number dbr:Associativity dbc:Finite_fields dbr:Abelian_group dbr:Absolute_Galois_group dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Chinese_remainder_theorem dbr:Lagrange's_theorem_(group_theory) dbr:Coding_theory dbr:Homogeneous_polynomial dbr:Discriminant dbr:Division_ring dbr:Artin–Zorn_theorem dbr:Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society dbr:Polynomial dbr:Polynomial_ring dbr:Splitting_field dbr:Field_extension dbr:Coprime dbr:Identity_(mathematics) dbr:Integer dbr:Carry-less_product dbr:Rational_number dbr:Rational_numbers dbr:Reciprocal_polynomial dbr:Reed–Solomon_error_correction dbr:Separable_extension dbr:Set_(mathematics) dbr:Klein_four-group dbr:Root_of_a_polynomial dbr:Exponential_sum dbr:Expression_(mathematics) dbr:Distinct_degree_factorization dbr:Zech's_logarithm dbr:Finite_field_arithmetic dbr:Finite_geometry dbr:Finite_group dbr:Finite_ring dbr:Wiles'_proof_of_Fermat's_Last_Theorem dbr:Szemerédi's_theorem dbr:Integers_mod_n dbr:Paley_construction dbr:Paley_graph dbr:Perfect_field dbr:Krull_topology dbr:Frobenius_automorphism dbr:LLL_algorithm dbr:Field_axioms dbr:Discrete_logarithm_problem dbr:Distributive_law dbr:Division_by_0 dbr:Polynomial_factorization dbr:Quadratic_non-residue dbr:Alternative_division_ring dbr:Diffie–Hellman dbr:Hensel_lifting |
| dbp:authorFirst | A. I. (en) |
| dbp:authorLast | Skopin (en) |
| dbp:em | 1.500000 (xsd:double) |
| dbp:id | Galois_field&oldid=34238 (en) |
| dbp:text | , (en) . (en) The multiplicative group of the non-zero elements in is cyclic, and there exists an element , such that the non-zero elements of are . (en) |
| dbp:title | Galois field (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Algebraic_structures dbt:Authority_control dbt:Block_indent dbt:Citation dbt:Doi dbt:Main dbt:Math dbt:More_footnotes dbt:Mvar dbt:Redirect dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Slink dbt:Sup dbt:Tmath dbt:Val dbt:′ dbt:Diagonal_split_header dbt:SpringerEOM |
| dcterms:subject | dbc:Finite_fields |
| gold:hypernym | dbr:Field |
| rdf:type | owl:Thing yago:Field108569998 yago:GeographicalArea108574314 yago:Location100027167 yago:Object100002684 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Region108630985 yago:YagoGeoEntity yago:YagoLegalActorGeo yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Tract108673395 yago:WikicatFiniteFields |
| rdfs:comment | Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise, obvykle značeno ) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků. (cs) في الجبر التجريدي، الحقل المحدود (بالإنجليزية: Finite fields) أو حقل غالوا نسبة للعالم الفرنسي إيفاريست جالوا هو حقل يحتوي على عدد محدود من العناصر. الحقول المنتهية مهمة جدا في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية ونظرية غالوا والتشفير ونظرية الترميز غيرها. تُصنف الحقول المنتهية حسب عدد عناصرها. تظهر الحقول المنتهية في سلسلة كما يلي: الحلقات التبادلية ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ الحقول ⊃ الحقول المنتهية. (ar) Στα μαθηματικά, ένα σώμα καλείται πεπερασμένο αν το πλήθος των στοιχείων του είναι πεπερασμένο. Ένα πεπερασμένο σώμα λέγεται αλλιώς και σώμα Γκαλουά προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού Γκαλουά (Évariste Galois). Τα πεπερασμένα σώματα είναι σημαντικά στην , την , την Κρυπτογραφία και τη . (el) En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pn, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y solo una manera posible de definir un cuerpo finito, por lo que todos los cuerpos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí. (es) Dalam matematika, medan berhingga (disebut juga medan Galois dari matematikawan Evariste Galois) adalah medan yang berisi elemen berjumlah berhingga. Seperti medan lainnya, medan berhingga adalah himpunan yang memiliki operasi pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang didefinisikan dan memenuhi aturan tertentu. Contoh umum medan berhingga adalah bilangan bulat mod p dengan p adalah bilangan prima. Medan berhingga adalah dasar dalam beberapa bidang matematika dan ilmu komputer, termasuk teori bilangan, geometri aljabar, teori Galois, , kriptografi, dan teori kode. (in) In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici. I campi finiti sono completamente classificati. (it) 有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 「有限斜体は可換体である」 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。 (ja) 체론에서 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다. (ko) Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito. Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois. (pt) I abstrakt algebra är en ändlig kropp en kropp med ändligt många element. Teorin om ändliga kroppar utarbetades av Carl Friedrich Gauss (1777-1855) och Évariste Galois (1811-1832), därav benämns ändliga kroppar ibland för Galoiskroppar. Ändliga kroppar har applikationer i kombinatorik, kryptologi, talteori och kodningsteori (där de bland annat används för att konstruera felrättande koder, till exempel .) (sv) 在数学中，有限域（英語：finite field）或伽罗瓦域（英語：Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模。 有限域的元素个数称为它的阶。 有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。 (zh) En matemàtiques i més precisament en la branca de la teoria de Galois, un cos finit, anomenat també cos de Galois és un cos el cardinal del qual és finit (té un nombre finit d'elements). Tret d'isomorfismes, tot cos finit queda completament determinat pel seu cardinal que és sempre de la forma pn, una potència d'un nombre primer. Aquest nombre primer no és altre que la seva característica (el nombre més petit de vegades que s'ha de sumar l'element neutre de la multiplicació per a obtenir l'element neutre de la suma) i el cos es presenta com l'única extensió finita del cos primitiu Z/p de dimensió n. (ca) In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein endlicher Körper oder Galoiskörper (nach Évariste Galois) ein Körper mit einer endlichen Anzahl von Elementen, d. h. eine endliche Menge, auf der zwei als Addition und Multiplikation verstandene Grundoperationen definiert sind, sodass die Menge zusammen mit diesen Operationen alle Anforderungen eines Körpers erfüllt. E. H. Moore prägte wohl 1893 den englischen Begriff Galois field zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo gerechnet hat. (de) In mathematics, a finite field or Galois field (so-named in honor of Évariste Galois) is a field that contains a finite number of elements. As with any field, a finite field is a set on which the operations of multiplication, addition, subtraction and division are defined and satisfy certain basic rules. The most common examples of finite fields are given by the integers mod p when p is a prime number. (en) En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps commutatif qui est par ailleurs fini. À isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal, qui est toujours une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier étant sa caractéristique. Pour tout nombre premier p et tout entier non nul n, il existe un corps de cardinal pn, qui se présente comme l'unique extension de degré n du corps premier Z/pZ. (fr) Een eindig lichaam (Nederlandse term) of eindig veld (Belgische term), galoislichaam, galoisruimte, of galoisveld (vernoemd naar Évariste Galois) is een lichaam /veld met een eindig aantal elementen. Dit aantal, de orde van het lichaam genoemd, kan alleen maar een macht van een priemgetal zijn. Omgekeerd is er voor ieder dergelijk aantal een eindig lichaam (op isomorfie na eenduidig). (nl) Ciało skończone lub ciało Galois – ciało skończonego rzędu, tj. o skończonej liczbie elementów; druga z nazw pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który znacząco przyczynił się do rozwoju badań nad ciałami skończonymi (zob. ). Galois wskazał ich zastosowanie w tzw. teorii Galois dającej m.in. definitywną odpowiedź na pytania o rozstrzygnięcie możliwości wykonania klasycznych konstrukcji w geometrii euklidesowej czy też zgrabnie uzasadniającej brak ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów wyższych stopni. (pl) Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів. Найменше поле Галуа містить лише два елементи: та , арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила . Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування. Ідея застосування поля полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення , кільця многочленів , тощо. (uk) Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля. Конечное поле обычно обозначается или (сокращение от англ. Galois field) и называется полем Галуа порядка , где — число элементов поля.С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть , где — простое число, а — любое натуральное число. При этом будет являться характеристикой этого поля. (ru) |
| rdfs:label | حقل محدود (رياضيات) (ar) Cos finit (ca) Konečné těleso (cs) Endlicher Körper (de) Πεπερασμένο σώμα (el) Cuerpo finito (es) Medan hingga (in) Finite field (en) Campo finito (it) Corps fini (fr) 有限体 (ja) 유한체 (ko) Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be) (nl) Ciało skończone (pl) Corpo finito (pt) Конечное поле (ru) Ändlig kropp (sv) 有限域 (zh) Поле Галуа (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Finite field yago-res:Finite field wikidata:Finite field dbpedia-ar:Finite field dbpedia-be:Finite field dbpedia-bg:Finite field dbpedia-ca:Finite field dbpedia-cs:Finite field dbpedia-de:Finite field dbpedia-el:Finite field dbpedia-es:Finite field dbpedia-fa:Finite field dbpedia-fi:Finite field dbpedia-fr:Finite field dbpedia-he:Finite field http://hy.dbpedia.org/resource/Վերջավոր_դաշտ dbpedia-id:Finite field dbpedia-it:Finite field dbpedia-ja:Finite field dbpedia-ko:Finite field dbpedia-lmo:Finite field dbpedia-nl:Finite field dbpedia-no:Finite field dbpedia-pl:Finite field dbpedia-pt:Finite field dbpedia-ro:Finite field dbpedia-ru:Finite field dbpedia-simple:Finite field dbpedia-sr:Finite field dbpedia-sv:Finite field dbpedia-tr:Finite field dbpedia-uk:Finite field http://ur.dbpedia.org/resource/متناہی_میدان dbpedia-vi:Finite field dbpedia-zh:Finite field https://global.dbpedia.org/id/4nLD8 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Finite_field?oldid=1124510326&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Finite_field |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:𝔽 dbr:Galois_Field dbr:Galois_field dbr:Finite_Field dbr:Finite_fields dbr:Integers_modulo_a_prime dbr:Galois_fields |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Carlitz_exponential dbr:Prime_number_theorem dbr:Prime_power dbr:Primitive_element_(finite_field) dbr:Primitive_polynomial_(field_theory) dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Pythagorean_prime dbr:Pythagorean_triple dbr:Quadratic_field dbr:Robert_Tienwen_Chien dbr:Rolle's_theorem dbr:Root_of_unity dbr:Sandy_Green_(mathematician) dbr:Sato–Tate_conjecture dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Element_(category_theory) dbr:Elementary_Number_Theory,_Group_Theory_and_Ramanujan_Graphs dbr:Elementary_abelian_group dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_finite_simple_groups dbr:List_of_first-order_theories dbr:Module_(mathematics) dbr:Monic_polynomial dbr:Motive_(algebraic_geometry) dbr:Moufang_loop dbr:Multiplicative_function dbr:Multiplicative_group dbr:Multivariate_cryptography dbr:Nim dbr:MDS_matrix dbr:MULTI-S01 dbr:Mac_Lane's_planarity_criterion dbr:Metaplectic_group dbr:Montgomery_curve dbr:Omega-categorical_theory dbr:One-key_MAC dbr:Representation_theory dbr:Quasi-finite_field dbr:Schinzel's_hypothesis_H dbr:XTR dbr:Priti_Shankar dbr:Prime_ring dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Projective_unitary_group dbr:Ben_Green_(mathematician) dbr:Beniamino_Segre dbr:Bernard_Dwork dbr:Beta_function dbr:Bicircular_matroid dbr:Binary_tetrahedral_group dbr:Block_code dbr:Algebraic_K-theory dbr:Algebraic_closure dbr:Algebraic_combinatorics dbr:Algebraic_function_field dbr:Algebraic_number_field dbr:Algebraic_torus dbr:Algebraically_closed_field dbr:All_one_polynomial dbr:Approximation_in_algebraic_groups dbr:John_Tate_(mathematician) dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:Peter_Montgomery_(mathematician) dbr:René_Schoof dbr:Riemann_hypothesis dbr:Rijndael_S-box dbr:Cube_attack dbr:Curve dbr:Cycle_(graph_theory) dbr:Cycle_basis dbr:Cycle_space dbr:Cyclic_code dbr:Cyclic_homology dbr:Cyclic_redundancy_check dbr:Cyclotomic_fast_Fourier_transform dbr:Cyclotomic_polynomial dbr:Unit_(ring_theory) dbr:Vladimir_Drinfeld dbr:De_Bruijn_sequence dbr:Deformation_ring dbr:Degree_of_a_field_extension dbr:𝔽 dbr:Dowling_geometry dbr:E2_(cipher) dbr:E7_(mathematics) dbr:Index_of_a_subgroup dbr:Infrastructure_(number_theory) dbr:Integral_domain dbr:Introduction_to_the_Theory_of_Error-Correcting_Codes dbr:Iwahori–Hecke_algebra dbr:JH_(hash_function) dbr:Jacobi_sum dbr:James_William_Peter_Hirschfeld dbr:Kuznyechik dbr:Number dbr:Metabelian_group dbr:Lexicographic_code dbr:Galois_Field dbr:Galois_field dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_incomplete_proofs dbr:Profinite_group dbr:Quotient_ring dbr:Robert_Steinberg dbr:Witt_group dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Computational_complexity_of_matrix_multiplication dbr:Covering_groups_of_the_alternating_and_symmetric_groups dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_multiplication_algorithm dbr:Chevalley_basis dbr:Chevalley–Warning_theorem dbr:Chien_search dbr:Elliptic-curve_cryptography dbr:Error_correction_code dbr:Error_detection_and_correction dbr:Esquisse_d'un_Programme dbr:Gaussian_period dbr:Gelfand–Graev_representation dbr:General_linear_group dbr:Generalizations_of_the_derivative dbr:Generator_matrix dbr:Generic_group_model dbr:Geometric_Algebra_(book) dbr:One-way_function dbr:Serial_module dbr:Signed-digit_representation dbr:Small-bias_sample_space dbr:Simple_group dbr:UMAC dbr:Rank_error-correcting_code dbr:Q-analog dbr:Quadratically_closed_field dbr:Quasifield dbr:1796_in_science dbr:183_(number) dbr:Christopher_Deninger dbr:Classical_group dbr:Claude_Chevalley dbr:Clifford_algebra dbr:Elliptic_curve dbr:Frobenius_endomorphism dbr:GF(2) dbr:Galois_theory dbr:Gamma_function dbr:Gauss's_lemma_(number_theory) dbr:Gaussian_binomial_coefficient dbr:Gaussian_elimination dbr:Gaussian_integer dbr:Girth_(graph_theory) dbr:Glossary_of_Lie_groups_and_Lie_algebras dbr:Glossary_of_arithmetic_and_diophantine_geometry dbr:Glossary_of_commutative_algebra dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Goppa_code dbr:GraphBLAS dbr:Grassmann_graph dbr:Gray_code dbr:Branch-decomposition dbr:Modular_arithmetic dbr:Modular_multiplicative_inverse dbr:Mutually_orthogonal_Latin_squares dbr:Möbius_function dbr:Conductor_(ring_theory) dbr:Conjecture dbr:Conway_polynomial_(finite_fields) dbr:Crystalline_cohomology dbr:Equally_spaced_polynomial dbr:Erasure_code dbr:Erdős–Szemerédi_theorem dbr:Lagrange_polynomial dbr:Moore_matrix dbr:Quadratic_pair dbr:Milnor_K-theory dbr:Near-field_(mathematics) dbr:Profinite_integer dbr:Rolling_hash dbr:Ordered_field dbr:Orthogonal_array dbr:Arithmetic_and_geometric_Frobenius dbr:Arithmetic_geometry dbr:Arithmetic_of_abelian_varieties dbr:Bass_conjecture dbr:Bent_function dbr:Berlekamp–Rabin_algorithm dbr:Berlekamp–Zassenhaus_algorithm dbr:Lenstra_elliptic-curve_factorization dbr:Leonard_Eugene_Dickson dbr:Line_(geometry) dbr:Linear_algebra dbr:Local_zeta_function dbr:Logarithm dbr:Luis_Santaló dbr:László_Rédei dbr:Chow_group dbr:Stable_vector_bundle dbr:Standard_RAID_levels dbr:Steiner_system dbr:Clebsch_graph dbr:Combinatorial_design dbr:Combinatorics:_The_Rota_Way dbr:Communication_complexity dbr:Commutative_ring dbr:Commutator_subgroup dbr:Complex_multiplication dbr:Computational_complexity_of_mathematical_operations dbr:Deligne–Lusztig_theory dbr:Zero_divisor dbr:Étale_cohomology dbr:Évariste_Galois dbr:Frobenius_group dbr:Fulkerson_Prize dbr:Function_field_sieve dbr:Fundamental_group dbr:Chevalley_theorem dbr:Hahn_series dbr:Hamming_space dbr:Krohn–Rhodes_theory dbr:Normal_basis dbr:Pisano_period dbr:Plotkin_bound dbr:Post-quantum_cryptography dbr:Pseudo_algebraically_closed_field dbr:Public-key_cryptography dbr:Main_conjecture_of_Iwasawa_theory dbr:Spectrum_of_a_sentence dbr:Standard_model_(cryptography) dbr:Steinberg_representation dbr:Symplectic_group dbr:Triangular_network_coding dbr:Mathematics_of_cyclic_redundancy_checks dbr:Mathieu_group_M12 dbr:Mathieu_group_M23 dbr:Matrix_field dbr:Matroid dbr:Matroid_minor dbr:Matroid_representation dbr:McKay–Miller–Širáň_graph dbr:Pythagoras_number dbr:1 dbr:Average_order_of_an_arithmetic_function dbr:BCH_code dbr:Bruce_Hajek dbr:Additive_polynomial dbr:Three-dimensional_space dbr:Trace_zero_cryptography dbr:Weil_conjectures dbr:Wieferich_prime dbr:Disquisitiones_Arithmeticae dbr:Divine_Proportions:_Rational_Trigonometry_to_Universal_Geometry dbr:Division_algebra dbr:Domain_(ring_theory) dbr:Drinfeld_module dbr:Drinfeld_upper_half_plane dbr:Dual_basis_in_a_field_extension dbr:G2_(mathematics) dbr:Galois_geometry dbr:Galois_group dbr:Galois_ring dbr:Gammoid dbr:Gábor_Korchmáros dbr:Hadamard_code dbr:Hadamard_matrix dbr:Hasse's_theorem_on_elliptic_curves dbr:Hasse–Davenport_relation dbr:Hasse–Weil_zeta_function dbr:Hasse–Witt_matrix dbr:Hecke_algebra_of_a_locally_compact_group dbr:Height_(abelian_group) dbr:Irreducible_polynomial dbr:Janko_group_J1 dbr:Janko_group_J3 dbr:Janko_group_J4 dbr:Joel_Brawley dbr:Julius_August_Christoph_Zech dbr:K-independent_hashing dbr:Lang's_theorem dbr:Langlands_program dbr:Linear-feedback_shift_register dbr:Linear_code dbr:Linear_subspace dbr:Linearised_polynomial dbr:Local_class_field_theory dbr:Local_field dbr:Permutation_polynomial dbr:Power_residue_symbol dbr:Spectral_graph_theory dbr:Tate_pairing dbr:Θ10 dbr:Nikodym_set dbr:SWIFFT dbr:Three-pass_protocol dbr:Supernatural_number dbr:AES_key_schedule dbr:Advanced_Encryption_Standard dbr:Alexander_Grothendieck dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_number_theory |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Cyclotomic_polynomial |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Finite_field |