Generating set of a group (original) (raw)

About DBpedia

في الجبر التجريدي، مجموعة مولدة لزمرة (بالإنجليزية: Generating set of a group)‏ هي مجموعة جزئية حيث يمكن أن يُعبَّر عن جميع عناصر الزمرة بواسطة تأليف ما لعدد منته من عناصر هذه المجموعة الجزئية بالإضافة إلى معاكساتهن.

thumbnail

Property Value
dbo:abstract في الجبر التجريدي، مجموعة مولدة لزمرة (بالإنجليزية: Generating set of a group)‏ هي مجموعة جزئية حيث يمكن أن يُعبَّر عن جميع عناصر الزمرة بواسطة تأليف ما لعدد منته من عناصر هذه المجموعة الجزئية بالإضافة إلى معاكساتهن. (ar) Generování grupy je matematický pojem z teorie grup. Je speciálním případem obecného pojmu , který popisuje, kdy je nějakou matematickou strukturu možné vytvořit z její vlastní části pomocí jistých operací. (cs) In abstract algebra, a generating set of a group is a subset of the group set such that every element of the group can be expressed as a combination (under the group operation) of finitely many elements of the subset and their inverses. In other words, if S is a subset of a group G, then ⟨S⟩, the subgroup generated by S, is the smallest subgroup of G containing every element of S, which is equal to the intersection over all subgroups containing the elements of S; equivalently, ⟨S⟩ is the subgroup of all elements of G that can be expressed as the finite product of elements in S and their inverses. (Note that inverses are only needed if the group is infinite; in a finite group, the inverse of an element can be expressed as a power of that element.) If G = ⟨S⟩, then we say that S generates G, and the elements in S are called generators or group generators. If S is the empty set, then ⟨S⟩ is the trivial group {e}, since we consider the empty product to be the identity. When there is only a single element x in S, ⟨S⟩ is usually written as ⟨x⟩. In this case, ⟨x⟩ is the cyclic subgroup of the powers of x, a cyclic group, and we say this group is generated by x. Equivalent to saying an element x generates a group is saying that ⟨x⟩ equals the entire group G. For finite groups, it is also equivalent to saying that x has order |G . A group may need an infinite number of generators. For example the additive group of rational numbers Q is not finitely generated. It is generated by the inverses of all the integers, but any finite number of these generators can be removed from the generating set without it ceasing to be a generating set. In a case like this, all the elements in a generating set are nevertheless "non-generating elements", as are in fact all the elements of the whole group − see below. If G is a topological group then a subset S of G is called a set of topological generators if ⟨S⟩ is dense in G, i.e. the closure of ⟨S⟩ is the whole group G. (en) En teoría de grupos, un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos. Más generalmente, si S ⊆ G, es el mínimo subgrupo de G que contiene a S, llamado subgrupo generado por S; equivalentemente, es el subgrupo de G conformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos. Si G = , se dice que S genera a G, y los elementos de S se llaman generadores de G. Si S = ∅, entonces es el grupo trivial {e} (lo cual concuerda con la primera definición del subgrupo generado), puesto que el resultado de un producto vacío se define como el elemento neutro. Si S = {x}, es el subgrupo conformado por las potencias de x, el cual es un grupo cíclico (más precisamente, un subgrupo cíclico de G), usualmente denotado por ; se dice que este grupo es generado por x. Decir que x genera el grupo G es equivalente a decir que = G, caso en el cual G mismo sería un grupo cíclico; si G tiene tamaño finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a que x tenga orden G . (es) En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie génératrice finie. Un groupe engendré par un seul élément est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (ℤ, +), soit à un groupe additif de classes modulo n (ℤ/nℤ, +) ; on dit que c'est un groupe monogène. Les sous-groupes des groupes commutatifs de type fini sont également de type fini, mais cela n'est pas vrai sans hypothèse de commutativité. (fr) In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep een deelverzameling , zodat elk element van kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van en hun inversen. Als door wordt gegenereerd, schrijft men . De elementen van worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Andersom, als een deelverzameling is van een groep , dan is , de ondergroep gegenereerd, voortgebracht, door , de kleinste ondergroep van die elk element van bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle ondergroepen die elk element van bevatten. Dat komt ermee overeen dat de ondergroep is van alle elementen van die als het eindige product van de elementen van en hun inversen kunnen worden uitgedrukt. Als er slechts één enkel element deel uitmaakt van , wordt meestal geschreven als . In dat geval is de cyclische ondergroep van de machten van , een cyclische groep. wordt dus door gegenereerd en heet de voortbrenger van de groep. De orde van een element is gedefinieerd als de orde van , het aantal elementen. Als de lege verzameling is, dan is de triviale groep , dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit. (nl) 抽象代数学において、群の生成系、生成集合 (generating set of a group) は部分集合であって群のすべての元が（群演算のもとで）その部分集合の有限個の元とそれらの逆元の結合として表現できるものである。 言い換えると、S が群 G の部分集合であれば、、S で生成される部分群 (subgroup generated by S)、は S のすべての元を含む G の最小の部分群である、すなわち S のすべての元を含む部分群すべてに渡る共通部分である。同じことだが、 は S の元とそれらの逆元の有限積として書ける G のすべての元からなる部分群である。 G = であれば、S は G を生成する (generate) といい、S の元は生成元 (generator) や群の生成元 (group generator) と呼ばれる。S が空集合であれば、 は自明群 {e} である、なぜならば空積を単位元と考えるからである。 S にたった1つの元 x しかなければ、 は通常 と書かれる。この場合、 は x のベキからなる巡回部分群 (cyclic subgroup) であり、巡回群で、この群は x によって生成されるという。元 x が群を生成すると言うことと同値なことは が群全体と等しいと言うことである。有限群に対しては、x が位数 G
dbo:thumbnail wiki-commons:Special:FilePath/One5Root.svg?width=300
dbo:wikiPageID 99945 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 10475 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1107921039 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Presentation_of_a_group dbr:Primitive_element_(finite_field) dbr:Root_of_unity dbr:Permutation dbr:Trivial_group dbc:Group_theory dbr:Normal_subgroup dbr:Quotient_group dbr:Closure_(topology) dbr:Greatest_common_divisor dbr:Modular_arithmetic dbr:Monoid dbr:Coprime_integers dbr:Frattini_subgroup dbr:Polygon dbr:Subgroup dbr:Bézout's_identity dbr:Topological_group dbr:Semigroup dbr:Cyclic_group dbr:Cayley_graph dbr:Isomorphism dbr:Group_(mathematics) dbr:Inverse_element dbr:Isomorphic dbr:Abelian_group dbr:Abstract_algebra dbr:Dihedral_group dbr:Free_group dbr:Coprime dbr:Group_extension dbr:Group_isomorphism dbr:Integer dbr:Natural_number dbr:Order_(group_theory) dbr:Rational_number dbr:Symmetric_group dbr:Finite_group dbr:Finitely_generated_abelian_group dbr:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n dbr:Subset dbr:Uncountable dbr:Generating_set dbr:File:One5Root.svg
dbp:title Group generators (en)
dbp:urlname GroupGenerators (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Angbr dbt:Cite_book dbt:Main dbt:Math dbt:Mathworld dbt:Mvar dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Var dbt:Mset dbt:Lang_Algebra
dcterms:subject dbc:Group_theory
gold:hypernym dbr:Subset
rdf:type dbo:ProgrammingLanguage
rdfs:comment في الجبر التجريدي، مجموعة مولدة لزمرة (بالإنجليزية: Generating set of a group)‏ هي مجموعة جزئية حيث يمكن أن يُعبَّر عن جميع عناصر الزمرة بواسطة تأليف ما لعدد منته من عناصر هذه المجموعة الجزئية بالإضافة إلى معاكساتهن. (ar) Generování grupy je matematický pojem z teorie grup. Je speciálním případem obecného pojmu , který popisuje, kdy je nějakou matematickou strukturu možné vytvořit z její vlastní části pomocí jistých operací. (cs) En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie génératrice finie. Un groupe engendré par un seul élément est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (ℤ, +), soit à un groupe additif de classes modulo n (ℤ/nℤ, +) ; on dit que c'est un groupe monogène. Les sous-groupes des groupes commutatifs de type fini sont également de type fini, mais cela n'est pas vrai sans hypothèse de commutativité. (fr) Порождающее множество группы (или множество образующих, или система образующих) — это подмножество в , такое, что каждый элемент может быть записан как произведение конечного числа элементов и их обратных. (ru) 在抽象代數中，群 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積。 更一般的說，如果 S 是群 G 的子集，則 所生成的子群 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群，這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集；等價的說， 是 G 中所有可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限乘積表達的元素的子群。 如果 G = ，則我們稱 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集，則 是平凡群 {e}，因為我們認為空乘積是單位元。 在 S 中只有一個單一元素 x 的時候， 通常寫為 。在這種情況下， 是 x 的冪的循環子群，我們稱這個循環群是用 x 生成的。與聲稱一個元素 x 生成一個群等價，還可以聲稱它有階 |G ，或者說 等于整個群 G。 (zh) En teoría de grupos, un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos. Más generalmente, si S ⊆ G, es el mínimo subgrupo de G que contiene a S, llamado subgrupo generado por S; equivalentemente, es el subgrupo de G conformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un número finito de elementos de S y de sus inversos. (es) In abstract algebra, a generating set of a group is a subset of the group set such that every element of the group can be expressed as a combination (under the group operation) of finitely many elements of the subset and their inverses. If G = ⟨S⟩, then we say that S generates G, and the elements in S are called generators or group generators. If S is the empty set, then ⟨S⟩ is the trivial group {e}, since we consider the empty product to be the identity. (en) Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej). Gdy to mówi się, że generuje . Elementy nazywa się wtedy generatorami grupy . Jeśli jest zbiorem pustym, to jest grupą trywialną (pl) 抽象代数学において、群の生成系、生成集合 (generating set of a group) は部分集合であって群のすべての元が（群演算のもとで）その部分集合の有限個の元とそれらの逆元の結合として表現できるものである。 言い換えると、S が群 G の部分集合であれば、、S で生成される部分群 (subgroup generated by S)、は S のすべての元を含む G の最小の部分群である、すなわち S のすべての元を含む部分群すべてに渡る共通部分である。同じことだが、 は S の元とそれらの逆元の有限積として書ける G のすべての元からなる部分群である。 G = であれば、S は G を生成する (generate) といい、S の元は生成元 (generator) や群の生成元 (group generator) と呼ばれる。S が空集合であれば、 は自明群 {e} である、なぜならば空積を単位元と考えるからである。 (ja) In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep een deelverzameling , zodat elk element van kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van en hun inversen. Als door wordt gegenereerd, schrijft men . De elementen van worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Als de lege verzameling is, dan is de triviale groep , dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit. (nl) Na álgebra abstrata, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto que não está contido em nenhum subgrupo próprio do grupo. Equivalentemente, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combinação (sob a operação do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos.Generalizando, se S é um subconjunto do grupo G, então , o subgrupo gerado por S, é o menor subgrupo de G contendo todos os elementos de S, significando a inserção em todos os subgrupos contendo os elementos de S; Equivalentemente, é o subgrupo de todos os elementos de G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em S e seus inversos. (pt) Породжувальна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них. Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них. Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть = G. В такому випадку — це циклічна підгрупа степенів x в G. (uk)
rdfs:label مجموعة مولدة لزمرة (ar) Generování grupy (cs) Conjunto generador de un grupo (es) Partie génératrice d'un groupe (fr) Generating set of a group (en) 群の生成系 (ja) Genererende verzameling (nl) Zbiór generatorów grupy (pl) Conjunto gerador de um grupo (pt) Порождающее множество группы (ru) Породжувальна множина групи (uk) 群的生成集合 (zh)
owl:sameAs freebase:Generating set of a group wikidata:Generating set of a group dbpedia-ar:Generating set of a group dbpedia-cs:Generating set of a group dbpedia-es:Generating set of a group dbpedia-fa:Generating set of a group dbpedia-fr:Generating set of a group dbpedia-hu:Generating set of a group dbpedia-ja:Generating set of a group dbpedia-nl:Generating set of a group dbpedia-pl:Generating set of a group dbpedia-pt:Generating set of a group dbpedia-ru:Generating set of a group dbpedia-sl:Generating set of a group dbpedia-uk:Generating set of a group dbpedia-vi:Generating set of a group dbpedia-zh:Generating set of a group https://global.dbpedia.org/id/4uBmq
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Generating_set_of_a_group?oldid=1107921039&ns=0
foaf:depiction wiki-commons:Special:FilePath/One5Root.svg
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Generating_set_of_a_group
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:Generator_(monoid) dbr:Generator_(semigroup) dbr:Generating_set_of_a_monoid dbr:Generating_set_of_a_semigroup dbr:Group_generated dbr:Group_generator dbr:Group_generators dbr:Generator_(group) dbr:Generator_(groups) dbr:Cyclic_subgroup
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:Presentation_of_a_group dbr:Primitive_element_(finite_field) dbr:Primitive_root_modulo_n dbr:Quantum_logic_gate dbr:Root_of_unity dbr:Monster_group dbr:Symmetry_of_diatomic_molecules dbr:Baumslag–Solitar_group dbr:Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture dbr:Braid_group dbr:Derivations_of_the_Lorentz_transformations dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:List_of_mathematical_symbols_by_subject dbr:Periodic_graph_(crystallography) dbr:Permutohedron dbr:Cycle_graph_(algebra) dbr:Decision_Linear_assumption dbr:Decisional_Diffie–Hellman_assumption dbr:Index_calculus_algorithm dbr:Integer_factorization dbr:Invariant_convex_cone dbr:Inversive_geometry dbr:Kurosh_subgroup_theorem dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_problems_in_loop_theory_and_quasigroup_theory dbr:Quasi-isometry dbr:Profinite_group dbr:Paranormal_subgroup dbr:Pauli_group dbr:Presentation_complex dbr:Commutator dbr:Conformal_symmetry dbr:Analysis_of_flows dbr:Gauge_theory dbr:Generator_(mathematics) dbr:Geometric_group_theory dbr:Normal_closure_(group_theory) dbr:Out(Fn) dbr:Perfect_core dbr:Rotation_system dbr:Subgroup_growth dbr:Schreier_coset_graph dbr:Quotient_group dbr:Wilson_operation dbr:Electroweak_interaction dbr:Generator_(monoid) dbr:Generator_(semigroup) dbr:Glossary_of_group_theory dbr:Gluon_field dbr:Modular_form dbr:Modular_group dbr:Monstrous_moonshine dbr:Correspondence_theorem dbr:Cross-ratio dbr:Magnetic_space_group dbr:Snub_dodecahedron dbr:Commensurability_(group_theory) dbr:Commensurability_(mathematics) dbr:Commutator_subgroup dbr:Compactly_generated_group dbr:Frattini_subgroup dbr:Frieze_group dbr:Fundamental_polygon dbr:Icosian_calculus dbr:Pairing dbr:Stallings_theorem_about_ends_of_groups dbr:Subgroup dbr:Banach–Tarski_paradox dbr:Tone_row dbr:Wallpaper_group dbr:Lattice_of_subgroups dbr:Local_rigidity dbr:Schreier–Sims_algorithm dbr:Verbal_subgroup dbr:Cyclic_group dbr:Cyclic_permutation dbr:Dual_graph dbr:Nilpotent_group dbr:Capped_grope dbr:Cayley_graph dbr:Center_of_mass_(relativistic) dbr:Central_series dbr:Basis dbr:Chromatic_circle dbr:Diameter_(group_theory) dbr:Dicyclic_group dbr:Diffie–Hellman_key_exchange dbr:Dihedral_group_of_order_6 dbr:Direct_sum_of_groups dbr:Discrete_logarithm dbr:Fast_Fourier_transform dbr:Fox_derivative dbr:Gottesman–Knill_theorem dbr:Graded_poset dbr:Hanna_Neumann_conjecture dbr:Generator dbr:Lucas_primality_test dbr:Product_of_group_subsets dbr:Rader's_FFT_algorithm dbr:Rank_of_a_group dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_code dbr:Group_cohomology dbr:Babai's_problem dbr:Baby-step_giant-step dbr:Coxeter_group dbr:Cramer–Shoup_cryptosystem dbr:Todd–Coxeter_algorithm dbr:Absolute_presentation_of_a_group dbr:Charge_(physics) dbr:Lagrange's_theorem_(group_theory) dbr:Blancmange_curve dbr:ElGamal_encryption dbr:ElGamal_signature_scheme dbr:Thin_group_(combinatorial_group_theory) dbr:Translation_(geometry) dbr:Word_problem_for_groups dbr:Mitchell's_group dbr:Modular_subgroup dbr:Modulatory_space dbr:Superghost dbr:Upper_set dbr:Diffie–Hellman_problem dbr:Dihedral_group dbr:Direct_product_of_groups dbr:Ping-pong_lemma dbr:Socle_(mathematics) dbr:Circle_packing_theorem dbr:Free_abelian_group dbr:Free_group dbr:Free_object dbr:Free_product dbr:Grigorchuk_group dbr:Grothendieck_group dbr:Group_isomorphism dbr:Group_theory dbr:Growth_rate_(group_theory) dbr:Grushko_theorem dbr:Idempotence dbr:Kirkman's_schoolgirl_problem dbr:Knuth–Bendix_completion_algorithm dbr:Miller–Rabin_primality_test dbr:Order_(group_theory) dbr:Generating_set_of_a_monoid dbr:Generating_set_of_a_semigroup dbr:Mathieu_group dbr:Rose_(topology) dbr:Strong_generating_set dbr:Schottky_group dbr:Van_Kampen_diagram dbr:Vedic_square dbr:Von_Neumann_conjecture dbr:Nielsen–Schreier_theorem dbr:Lovász_conjecture dbr:Special_conformal_transformation dbr:Poincaré_complex dbr:Point_groups_in_three_dimensions dbr:Word_metric dbr:Examples_of_groups dbr:Finite_field_arithmetic dbr:Finitely_generated_abelian_group dbr:Finitely_generated_group dbr:Pronormal_subgroup dbr:Torsion_subgroup dbr:Muller–Schupp_theorem dbr:Multiplicative_group_of_integers_modulo_n dbr:Peripheral_subgroup dbr:Residue-class-wise_affine_group dbr:SQ-universal_group dbr:Von_Neumann_paradox dbr:Rank_of_an_elliptic_curve dbr:SIC-POVM dbr:Serre's_property_FA dbr:Simple_extension dbr:Group_generated dbr:Group_generator dbr:Group_generators dbr:Generator_(group) dbr:Generator_(groups) dbr:Cyclic_subgroup
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Generating_set_of_a_group