Runge's phenomenon (original) (raw)
Rungeho jev je problém v numerické matematice, který objevil v roce 1901 německý matematik Carl Runge, když zkoumal chování chyb při pomocí na množině ekvidistantních interpolačních bodů.Runge zjistil, že použití polynomu vyššího stupně vždy nezlepšuje přesnost; naopak, na okrajích intervalu se objevují oscilace. Jev je podobný Gibbsově jevu při aproximaci Fourierovou řadou.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Rungeho jev je problém v numerické matematice, který objevil v roce 1901 německý matematik Carl Runge, když zkoumal chování chyb při pomocí na množině ekvidistantních interpolačních bodů.Runge zjistil, že použití polynomu vyššího stupně vždy nezlepšuje přesnost; naopak, na okrajích intervalu se objevují oscilace. Jev je podobný Gibbsově jevu při aproximaci Fourierovou řadou. (cs) En anàlisi numèrica, el fenomen de Runge és un problema que apareix en la de funcions quan s'utilitzen un alt nombre de nodes. És un resultat important perquè demostra que no sempre augmentar el nombre de nodes d'una interpolació millora la precisió d'aquesta, la qual cosa promou la creació de dos camins diferents en l'anàlisi numèrica, la i la interpolació per splines. (ca) En el campo matemático del análisis numérico, el fenómeno de Runge es un problema que sucede cuando se usa interpolación polinómica con polinomios de alto grado utilizando nodos equidistantes. Lo descubrió Carl David Tolmé Runge cuando exploraba el comportamiento de los errores al usar interpolación polinómica para aproximar determinadas funciones. (es) Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, le phénomène de Runge se manifeste dans le contexte de l'interpolation polynomiale, en particulier l'interpolation de Lagrange. Avec certaines fonctions (même analytiques), l'augmentation du nombre n de points d'interpolation ne constitue pas nécessairement une bonne stratégie d'approximation. En étudiant cette question, le mathématicien allemand Carl Runge découvrit, en 1901, un résultat contraire à l'intuition : il existe des configurations où l'écart maximal entre la fonction et son interpolation augmente indéfiniment avec n. (fr) In the mathematical field of numerical analysis, Runge's phenomenon (German: [ˈʁʊŋə]) is a problem of oscillation at the edges of an interval that occurs when using polynomial interpolation with polynomials of high degree over a set of equispaced interpolation points. It was discovered by Carl David Tolmé Runge (1901) when exploring the behavior of errors when using polynomial interpolation to approximate certain functions.The discovery was important because it shows that going to higher degrees does not always improve accuracy. The phenomenon is similar to the Gibbs phenomenon in Fourier series approximations. (en) In analisi numerica il fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo. È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni. (it) ルンゲ現象（ルンゲげんしょう、英語: Runge's phenomenon）は、数値解析で高次の多項式で多項式補間する際に発生する問題である。カール・ルンゲが、ある関数を多項式補間で近似したときの誤差を調べていて発見した。 (ja) Em matemática, em particular no campo específico da análise numérica, o fenômeno de Runge é um problema de oscilação nas bordas de um intervalo, que ocorre quando se usa interpolação polinomial com polinómios de ordem elevada. Foi descoberto por Carl Runge quando investigava erros na interpolação polinomial para aproximar certas funções.O fenômeno é similiar ao fenômeno de Gibbs para aproximações em séries de Fourier. (pt) Efekt Rungego (od nazwiska Carla Rungego, niemieckiego matematyka) – pogorszenie jakości interpolacji wielomianowej, mimo zwiększenia liczby jej węzłów. Początkowo ze wzrostem liczby węzłów n przybliżenie poprawia się, jednak po dalszym wzroście n, zaczyna się pogarszać, co jest szczególnie widoczne na końcach przedziałów. Takie zachowanie się wielomianu interpolującego jest zjawiskiem typowym dla interpolacji za pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów. Występuje ono również, jeśli interpolowana funkcja jest nieciągła albo odbiega znacząco od funkcji gładkiej. Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa istnieje ciąg interpolujących wielomianów coraz wyższych stopni, które przybliżają jednostajnie funkcje ciągłą, można uważać to za paradoks, iż efekt Rungego ma dokładnie odwrotny wynik. Jest to spowodowane nałożeniem warunku na równoodległość węzłów. Aby uniknąć tego efektu, stosuje się interpolację z węzłami coraz gęściej upakowanymi na krańcach przedziału interpolacji. Np. węzłami interpolacji n-punktowej wielomianowej powinny być miejsca zerowe wielomianu Czebyszewa n-tego stopnia. (pl) Runges fenomen uppträder då man inom matematiken anpassar polynom av hög grad till ett antal mätpunkter i planet. Fenomenet innebär att kurvan kommer att svänga kraftigt mellan interpolationspunkterna, ju högre grad på polynomet desto kraftigare svängningar. Runges fenomen är uppkallat efter den tyske matematikern Carl Runge Effekten kan minimeras genom att välja nollställen till ortogonala polynom (särskilt Tjebysjovpolynom) som interpolationspunkter i stället för jämnt spridda punkter. Interpolering med rationella funktioner undviker problemet helt. Ytterligare ett alternativ är att använda splines. (sv) Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций. Рассмотрим функцию Если интерполировать её по равноотстоящим узлам между −5 и 5. полиномом со степенью меньше или равной , то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: Такой эффект роста уклонения при росте степени многочлена зависит как от выбираемой последовательности узлов, так и от интерполируемой функции.А именно, для любой последовательности узлов можно подобрать такую непрерывную функцию,что ошибка ее интерполяции по этим конкретным узлам будет неограниченно расти. С другой стороны, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Это теоретически позволяет подобрать (для этой конкретной функции) последовательность узлов без феномена Рунге. Компромиссом можно считать узлы Чебышёва, погрешность интерполяции по ним равномерно убывает для любой абсолютно непрерывной функции. (ru) 在数值分析领域中，龙格现象是在一组等间插值点上使用具有高次多项式的多项式插值时出现的区间边缘处的振荡问题。 它是由卡尔·龙格（Carl Runge）在探索使用多项式插值逼近某些函数时的错误行为时发现的。这一发现非常重要，因为它表明使用高次多项式插值并不总能提高准确性。 该现象与傅里叶级数近似中的吉布斯现象相似。 (zh) Феномен Рунге — проблема, що виникає в обчислювальній математиці при використанні поліноміальної інтерполяції на рівновіддалених вузлах за допомогою поліномів високих порядків (степенів). Була описана Карлом Рунге при вивченні поводження похибок при використанні поліноміальної інтерполяції для апроксимації функцій. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Runge_phenomenon.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://github.com/pog87/FakeNodes |
| dbo:wikiPageID | 202763 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-de:Polynominterpolation |
| dbo:wikiPageLength | 13569 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1120978889 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_David_Tolmé_Runge dbr:Python_(programming_language) dbr:Schwarz_lantern dbr:Approximation_theory dbr:Interpolation dbr:Continuous_function dbr:Mathematics dbr:Maxima_and_minima dbr:Bernstein_polynomial dbr:Lp_space dbr:Stone–Weierstrass_theorem dbr:Least_squares dbr:Lebesgue_constant_(interpolation) dbr:Numerical_analysis dbr:Chebyshev_nodes dbc:Numerical_artefacts dbr:Uniform_convergence dbr:Interval_(mathematics) dbr:Taylor_series dbc:Interpolation dbc:Continuous_mappings dbr:Lagrange_multiplier dbr:Polynomial dbr:Polynomial_interpolation dbr:Witch_of_Agnesi dbr:Occam's_razor dbr:Gibbs_phenomenon dbr:Weierstrass_approximation_theorem dbr:Spline_curve dbr:Fake_nodes dbr:File:Runge_phenomenon.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation_needed dbt:IPA-de dbt:Math dbt:Short_description dbt:Closed-closed |
| dct:subject | dbc:Numerical_artefacts dbc:Interpolation dbc:Continuous_mappings |
| gold:hypernym | dbr:Problem |
| rdf:type | yago:WikicatContinuousMappings yago:Abstraction100002137 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Relation100031921 dbo:Disease |
| rdfs:comment | Rungeho jev je problém v numerické matematice, který objevil v roce 1901 německý matematik Carl Runge, když zkoumal chování chyb při pomocí na množině ekvidistantních interpolačních bodů.Runge zjistil, že použití polynomu vyššího stupně vždy nezlepšuje přesnost; naopak, na okrajích intervalu se objevují oscilace. Jev je podobný Gibbsově jevu při aproximaci Fourierovou řadou. (cs) En anàlisi numèrica, el fenomen de Runge és un problema que apareix en la de funcions quan s'utilitzen un alt nombre de nodes. És un resultat important perquè demostra que no sempre augmentar el nombre de nodes d'una interpolació millora la precisió d'aquesta, la qual cosa promou la creació de dos camins diferents en l'anàlisi numèrica, la i la interpolació per splines. (ca) En el campo matemático del análisis numérico, el fenómeno de Runge es un problema que sucede cuando se usa interpolación polinómica con polinomios de alto grado utilizando nodos equidistantes. Lo descubrió Carl David Tolmé Runge cuando exploraba el comportamiento de los errores al usar interpolación polinómica para aproximar determinadas funciones. (es) Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, le phénomène de Runge se manifeste dans le contexte de l'interpolation polynomiale, en particulier l'interpolation de Lagrange. Avec certaines fonctions (même analytiques), l'augmentation du nombre n de points d'interpolation ne constitue pas nécessairement une bonne stratégie d'approximation. En étudiant cette question, le mathématicien allemand Carl Runge découvrit, en 1901, un résultat contraire à l'intuition : il existe des configurations où l'écart maximal entre la fonction et son interpolation augmente indéfiniment avec n. (fr) In the mathematical field of numerical analysis, Runge's phenomenon (German: [ˈʁʊŋə]) is a problem of oscillation at the edges of an interval that occurs when using polynomial interpolation with polynomials of high degree over a set of equispaced interpolation points. It was discovered by Carl David Tolmé Runge (1901) when exploring the behavior of errors when using polynomial interpolation to approximate certain functions.The discovery was important because it shows that going to higher degrees does not always improve accuracy. The phenomenon is similar to the Gibbs phenomenon in Fourier series approximations. (en) In analisi numerica il fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo. È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni. (it) ルンゲ現象（ルンゲげんしょう、英語: Runge's phenomenon）は、数値解析で高次の多項式で多項式補間する際に発生する問題である。カール・ルンゲが、ある関数を多項式補間で近似したときの誤差を調べていて発見した。 (ja) Em matemática, em particular no campo específico da análise numérica, o fenômeno de Runge é um problema de oscilação nas bordas de um intervalo, que ocorre quando se usa interpolação polinomial com polinómios de ordem elevada. Foi descoberto por Carl Runge quando investigava erros na interpolação polinomial para aproximar certas funções.O fenômeno é similiar ao fenômeno de Gibbs para aproximações em séries de Fourier. (pt) 在数值分析领域中，龙格现象是在一组等间插值点上使用具有高次多项式的多项式插值时出现的区间边缘处的振荡问题。 它是由卡尔·龙格（Carl Runge）在探索使用多项式插值逼近某些函数时的错误行为时发现的。这一发现非常重要，因为它表明使用高次多项式插值并不总能提高准确性。 该现象与傅里叶级数近似中的吉布斯现象相似。 (zh) Феномен Рунге — проблема, що виникає в обчислювальній математиці при використанні поліноміальної інтерполяції на рівновіддалених вузлах за допомогою поліномів високих порядків (степенів). Була описана Карлом Рунге при вивченні поводження похибок при використанні поліноміальної інтерполяції для апроксимації функцій. (uk) Efekt Rungego (od nazwiska Carla Rungego, niemieckiego matematyka) – pogorszenie jakości interpolacji wielomianowej, mimo zwiększenia liczby jej węzłów. Początkowo ze wzrostem liczby węzłów n przybliżenie poprawia się, jednak po dalszym wzroście n, zaczyna się pogarszać, co jest szczególnie widoczne na końcach przedziałów. Takie zachowanie się wielomianu interpolującego jest zjawiskiem typowym dla interpolacji za pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów. Występuje ono również, jeśli interpolowana funkcja jest nieciągła albo odbiega znacząco od funkcji gładkiej. (pl) Runges fenomen uppträder då man inom matematiken anpassar polynom av hög grad till ett antal mätpunkter i planet. Fenomenet innebär att kurvan kommer att svänga kraftigt mellan interpolationspunkterna, ju högre grad på polynomet desto kraftigare svängningar. Runges fenomen är uppkallat efter den tyske matematikern Carl Runge (sv) Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций. Рассмотрим функцию Если интерполировать её по равноотстоящим узлам между −5 и 5. полиномом со степенью меньше или равной , то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: (ru) |
| rdfs:label | Fenomen de Runge (ca) Rungeho jev (cs) Fenómeno de Runge (es) Fenomeno di Runge (it) Phénomène de Runge (fr) ルンゲ現象 (ja) Efekt Rungego (pl) Runge's phenomenon (en) Феномен Рунге (ru) Fenómeno de Runge (pt) Runges fenomen (sv) 龙格现象 (zh) Феномен Рунге (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Runge's phenomenon yago-res:Runge's phenomenon dbpedia-commons:Runge's phenomenon wikidata:Runge's phenomenon dbpedia-ca:Runge's phenomenon dbpedia-cs:Runge's phenomenon dbpedia-es:Runge's phenomenon dbpedia-fa:Runge's phenomenon dbpedia-fr:Runge's phenomenon http://hi.dbpedia.org/resource/रुंग_परिघटना dbpedia-it:Runge's phenomenon dbpedia-ja:Runge's phenomenon dbpedia-pl:Runge's phenomenon dbpedia-pt:Runge's phenomenon dbpedia-ro:Runge's phenomenon dbpedia-ru:Runge's phenomenon dbpedia-sk:Runge's phenomenon dbpedia-sv:Runge's phenomenon dbpedia-uk:Runge's phenomenon dbpedia-zh:Runge's phenomenon https://global.dbpedia.org/id/tuXB |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Runge's_phenomenon?oldid=1120978889&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Runge_phenomenon.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Runge's_phenomenon |
| is dbo:knownFor of | dbr:Carl_Runge |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Runges_phenomenon dbr:Runge's_Phenomenon dbr:Runge's_example dbr:Runges_example dbr:Runge's_phenomena dbr:Runge_function dbr:Runge_phenomena dbr:Runge_phenomenon |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Carl_Runge dbr:Schwarz_lantern dbr:List_of_algorithms dbr:List_of_eponyms_(L–Z) dbr:Pathological_(mathematics) dbr:Venus dbr:Interpolation dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:List_of_polynomial_topics dbr:Runges_phenomenon dbr:Radial_basis_function_interpolation dbr:Gauss–Legendre_quadrature dbr:Lagrange_polynomial dbr:Stone–Weierstrass_theorem dbr:Spline_(mathematics) dbr:Curve_fitting dbr:Chebyshev_nodes dbr:Newton–Cotes_formulas dbr:Chebyshev_polynomials dbr:Polynomial_interpolation dbr:Spline_interpolation dbr:Integral dbr:Witch_of_Agnesi dbr:Runge_(surname) dbr:Voltage_ladder dbr:Extrapolation dbr:List_of_spectroscopists dbr:Polynomial_and_rational_function_modeling dbr:Gibbs_phenomenon dbr:Scientific_phenomena_named_after_people dbr:Runge's_Phenomenon dbr:Runge's_example dbr:Runges_example dbr:Runge's_phenomena dbr:Runge_function dbr:Runge_phenomena dbr:Runge_phenomenon |
| is dbp:knownFor of | dbr:Carl_Runge |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Runge's_phenomenon |
