Skolem's paradox (original) (raw)
En logique mathématique et en philosophie analytique, le paradoxe de Skolem est une conséquence troublante du théorème de Löwenheim-Skolem en théorie des ensembles. Il affirme qu'une théorie des ensembles, comme ZFC, si elle a un modèle, a un modèle dénombrable, bien que l'on puisse par ailleurs définir une formule qui exprime l'existence d'ensembles non dénombrables. C'est un paradoxe au sens premier de ce terme : il va contre le sens commun, mais ce n'est pas une antinomie, une contradiction que l'on pourrait déduire dans la théorie.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | La paradoxa de Skolem és una paradoxa que apareix a teoria de conjunts i lògica com a conseqüència paradoxal del . La paradoxa va ser introduïda en la discussió del matemàtic noruec Thoralf Skolem en un article de 1922. D'acord amb el teorema de Löwenheim-Skolem tota axiomatització d'una teoria matemàtica utilitzant un llenguatge de primer ordre que tingui un nombre finit de signes distints admet un model numerable. Per exemple, la formalització de la teoria de conjunts usual de Zermelo-Fraenkel afirma l'existència de conjunts no numerables. Però existeix un model que satisfà els axiomes d'aquesta teoria que és ell mateix numerable. La resolució de la paradoxa requereix distingir adequadament entre els conjunts com objecte descrit per la teoria i els conjunts com a instrument utilitzat per construir un model. La paradoxa a més reflecteix una limitació de la lògica de primer ordre que implica que per una mateixa teoria poden existir models de cardinalitat molt diferents. A més de models numerables, naturalment l'axiomatització de Zermelo-Fraenkel admet models no numerables, que intuïtivament no resulten paradoxals. (ca) In mathematical logic and philosophy, Skolem's paradox is a seeming contradiction that arises from the downward Löwenheim–Skolem theorem. Thoralf Skolem (1922) was the first to discuss the seemingly contradictory aspects of the theorem, and to discover the relativity of set-theoretic notions now known as non-absoluteness. Although it is not an actual antinomy like Russell's paradox, the result is typically called a paradox and was described as a "paradoxical state of affairs" by Skolem (1922: p. 295). Skolem's paradox is that every countable axiomatisation of set theory in first-order logic, if it is consistent, has a model that is countable. This appears contradictory because it is possible to prove, from those same axioms, a sentence that intuitively says (or that precisely says in the standard model of the theory) that there exist sets that are not countable. Thus the seeming contradiction is that a model that is itself countable, and which therefore contains only countable sets, satisfies the first-order sentence that intuitively states "there are uncountable sets". A mathematical explanation of the paradox, showing that it is not a contradiction in mathematics, was given by Skolem (1922). Skolem's work was harshly received by Ernst Zermelo, who argued against the limitations of first-order logic, but the result quickly came to be accepted by the mathematical community. The philosophical implications of Skolem's paradox have received much study. One line of inquiry questions whether it is accurate to claim that any first-order sentence actually states "there are uncountable sets". This line of thought can be extended to question whether any set is uncountable in an absolute sense. More recently, the paper "Models and Reality" by Hilary Putnam, and responses to it, led to renewed interest in the philosophical aspects of Skolem's result. (en) En logique mathématique et en philosophie analytique, le paradoxe de Skolem est une conséquence troublante du théorème de Löwenheim-Skolem en théorie des ensembles. Il affirme qu'une théorie des ensembles, comme ZFC, si elle a un modèle, a un modèle dénombrable, bien que l'on puisse par ailleurs définir une formule qui exprime l'existence d'ensembles non dénombrables. C'est un paradoxe au sens premier de ce terme : il va contre le sens commun, mais ce n'est pas une antinomie, une contradiction que l'on pourrait déduire dans la théorie. (fr) In de wiskundige logica en filosofie, is de paradox van Skolem een schijnbare tegenstrijdigheid die voortvloeit uit de neerwaartse stelling van Löwenheim-Skolem. Thoralf Skolem was in 1922 de eerste die de schijnbaar tegenstrijdige aspecten van deze stelling besprak en die de relativiteit van de verzamelingtheoretische noties ontdekte die nu bekendstaan als niet-. Hoewel de paradox van Skolem geen werkelijke antinomie is, zoals de Russellparadox, wordt het resultaat meestal een paradox genoemd, en werd hij door Skolem beschreven als een "paradoxale stand van zaken". De paradox is dat elke consistente aftelbare eersteordeaxiomatisering van de verzamelingenleer een aftelbaar model heeft. Dit lijkt in tegenspraak met het feit, dat men in de verzamelingenleer kan uitdrukken dat een verzameling overaftelbaar is. Het is dus zo dat een model dat slechts aftelbare verzamelingen bevat een eerste-ordezin vervult, die zegt dat een verzameling overaftelbaar is. (nl) Na lógica matemática e na filosofia, O paradoxo de Skolem é uma aparente contradição que surge a partir do Teorema Löwenheim–Skolem. Thoralf Skolem (1922) foi o primeiro a discutir os aspectos aparentemente contraditórios do teorema, e descobrir a relatividade das noções dos conjuntos teóricos hoje conhecida como não-absoluto. Embora não seja uma real antinomia como o paradoxo de russel, o resultado normalmente é chamado de paradoxo, e foi descrito como "um estado paradoxal das coisas" por Skolem (1922: p., 295). O paradoxo de Skolem diz que cada axiomatização contável da teoria dos conjuntos na lógica de primeira ordem, se é consistente, tem um modelo que é contável. Isso parece contraditório porque é possível provar, a partir desses mesmos axiomas, uma frase que diz intuitivamente (ou que diz precisamente o modelo padrão da teoria) que existem conjuntos que não são contáveis. Assim, a aparente contradição é que um modelo que é a própria contabilidade, e que, portanto, contém apenas conjuntos contáveis, satisfaz a primeira frase para que intuitivamente afirma "há incontáveis conjuntos". Uma explicação matemática do paradoxo, mostrando que não é uma contradição na matemática, foi apresentada por Skolem (1922). O trabalho de Skolem foi recebido por Ernst Zermelo, que argumentou contra as limitações da lógica de primeira ordem, mas o resultado rapidamente veio a ser aceito pela comunidade matemática. As implicações filosóficas do paradoxo de Skolem foram bastante estudadas. Uma linha de pesquisa questiona se é correto afirmar que qualquer sentença da lógica de primeira ordem de fato afirma "há incontáveis conjuntos". Essa linha de pensamento pode ser estendida para questionar se qualquer conjunto é incontável em um sentido absoluto. Mais recentemente, o artigo "Models and Reality" de Hilary Putnam e as respostar a ele, levou a um renovado interesse nos aspectos filosóficos dos resultados de Skolem. (pt) Paradoks Skolema – pozorna sprzeczność dotycząca teorii mnogości wynikająca z twierdzenia Löwenheima-Skolema. Jego autorem jest norweski logik Thoralf Skolem. (pl) Парадокс Скулема — противоречивое рассуждение, описанное впервые норвежским математиком Туральфом Скулемом, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Скулема для аксиоматической теории множеств. В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Скулема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что это лишь мнимый парадокс. Тем не менее, рассмотрение парадокса Скулема имеет большую дидактическую ценность. (ru) 在数理逻辑中，特别是集合论中，Skolem 悖论是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接结果，它声称所有一阶语言的句子的模型都有一个初等等价的可数子模型。 这个悖论见于Zermelo-Fraenkel 集合论中。康托尔在 1874年发表的更早的结果是，存在不可数集合比如自然数的幂集，实数的集合，和著名的康托爾集。这些集合存在于任何 Zermelo-Fraenkel 全集中，因为它们的存在可从公理得出。使用 Löwenheim-Skolem 定理，我们可以得到只包含可数个对象的集合论的模型。但是，它必须包含上述提及到的不可数集合，这似乎是个矛盾。但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射(注意到雙射函數也是集合，也就是一種特殊的关系)。而模型外的確有這樣的双射。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0602/0602-001.ps https://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1004-toc.htm https://books.google.com/books%3Fid=dVncCl_EtUkC&pg=PR9%7Cedition=2nd%7Cdate=2001%7Cpublisher=Elsevier%7Cisbn=978-0-08-049646-7 https://web.archive.org/web/20060503045926/http:/uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/skolem_moore.htm http://www.nd.edu/~tbays/papers/pthesis.pdf http://www.princeton.edu/~hhalvors/teaching/phi520_f2012/putnam1980.pdf http://www.digizeitschriften.de/download/PPN235181684_0076/log39.pdf http://boole.stanford.edu/skolem |
| dbo:wikiPageID | 1348798 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-de:Löwenheim-Skolem-Theorem |
| dbo:wikiPageLength | 16897 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1108978273 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cantor's_theorem dbr:Metamathematics dbr:Antinomy dbr:John_von_Neumann dbr:Cumulative_hierarchy dbr:Definable_real_number dbr:Infinitary_logic dbc:Mathematical_paradoxes dbr:Consistent dbr:Countable_set dbr:Mathematical_logic dbr:Russell's_paradox dbr:One-to-one_correspondence dbr:Georg_Cantor dbr:Thoralf_Skolem dbr:Löwenheim–Skolem_theorem dbr:Stephen_Cole_Kleene dbr:Compactness_theorem dbr:Leon_Henkin dbr:Mathematische_Annalen dbr:Structure_(mathematical_logic) dbr:Gödel's_completeness_theorem dbr:Morley's_categoricity_theorem dbr:Ernst_Zermelo dbr:First-order_logic dbr:Oxford_University_Press dbr:Paradox dbr:Gödel's_incompleteness_theorem dbr:Helsinki dbr:Hilary_Putnam dbc:Model_theory dbr:Higher-order_logic dbr:Philosophy dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Natural_numbers dbr:New_York_City dbr:Cantor_set dbr:Real_number dbr:Real_numbers dbc:Inner_model_theory dbr:Second-order_logic dbr:Set_theory dbr:Satisfiability dbr:Finitism dbr:Transitive_model dbr:Uncountable dbr:Axiomatisation dbr:Powerset dbr:Forcing_(set_theory) dbr:Absoluteness_(mathematical_logic) dbr:NBG_set_theory |
| dbp:first | A.G. (en) |
| dbp:id | S/s085750 (en) |
| dbp:last | Dragalin (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Annotated_link dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_conference dbt:Cite_journal dbt:Cite_thesis dbt:No_footnotes dbt:Short_description dbt:Isbn dbt:Mathematical_logic |
| dct:subject | dbc:Mathematical_paradoxes dbc:Model_theory dbc:Inner_model_theory |
| gold:hypernym | dbr:Contradiction |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicsParadoxes yago:WikicatParadoxes yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Contradiction107206887 yago:Falsehood106756407 yago:Message106598915 yago:Paradox106724559 yago:Statement106722453 |
| rdfs:comment | En logique mathématique et en philosophie analytique, le paradoxe de Skolem est une conséquence troublante du théorème de Löwenheim-Skolem en théorie des ensembles. Il affirme qu'une théorie des ensembles, comme ZFC, si elle a un modèle, a un modèle dénombrable, bien que l'on puisse par ailleurs définir une formule qui exprime l'existence d'ensembles non dénombrables. C'est un paradoxe au sens premier de ce terme : il va contre le sens commun, mais ce n'est pas une antinomie, une contradiction que l'on pourrait déduire dans la théorie. (fr) Paradoks Skolema – pozorna sprzeczność dotycząca teorii mnogości wynikająca z twierdzenia Löwenheima-Skolema. Jego autorem jest norweski logik Thoralf Skolem. (pl) Парадокс Скулема — противоречивое рассуждение, описанное впервые норвежским математиком Туральфом Скулемом, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Скулема для аксиоматической теории множеств. В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Скулема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что это лишь мнимый парадокс. Тем не менее, рассмотрение парадокса Скулема имеет большую дидактическую ценность. (ru) 在数理逻辑中，特别是集合论中，Skolem 悖论是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接结果，它声称所有一阶语言的句子的模型都有一个初等等价的可数子模型。 这个悖论见于Zermelo-Fraenkel 集合论中。康托尔在 1874年发表的更早的结果是，存在不可数集合比如自然数的幂集，实数的集合，和著名的康托爾集。这些集合存在于任何 Zermelo-Fraenkel 全集中，因为它们的存在可从公理得出。使用 Löwenheim-Skolem 定理，我们可以得到只包含可数个对象的集合论的模型。但是，它必须包含上述提及到的不可数集合，这似乎是个矛盾。但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射(注意到雙射函數也是集合，也就是一種特殊的关系)。而模型外的確有這樣的双射。 (zh) La paradoxa de Skolem és una paradoxa que apareix a teoria de conjunts i lògica com a conseqüència paradoxal del . La paradoxa va ser introduïda en la discussió del matemàtic noruec Thoralf Skolem en un article de 1922. D'acord amb el teorema de Löwenheim-Skolem tota axiomatització d'una teoria matemàtica utilitzant un llenguatge de primer ordre que tingui un nombre finit de signes distints admet un model numerable. Per exemple, la formalització de la teoria de conjunts usual de Zermelo-Fraenkel afirma l'existència de conjunts no numerables. Però existeix un model que satisfà els axiomes d'aquesta teoria que és ell mateix numerable. La resolució de la paradoxa requereix distingir adequadament entre els conjunts com objecte descrit per la teoria i els conjunts com a instrument utilitzat per (ca) In mathematical logic and philosophy, Skolem's paradox is a seeming contradiction that arises from the downward Löwenheim–Skolem theorem. Thoralf Skolem (1922) was the first to discuss the seemingly contradictory aspects of the theorem, and to discover the relativity of set-theoretic notions now known as non-absoluteness. Although it is not an actual antinomy like Russell's paradox, the result is typically called a paradox and was described as a "paradoxical state of affairs" by Skolem (1922: p. 295). (en) In de wiskundige logica en filosofie, is de paradox van Skolem een schijnbare tegenstrijdigheid die voortvloeit uit de neerwaartse stelling van Löwenheim-Skolem. Thoralf Skolem was in 1922 de eerste die de schijnbaar tegenstrijdige aspecten van deze stelling besprak en die de relativiteit van de verzamelingtheoretische noties ontdekte die nu bekendstaan als niet-. Hoewel de paradox van Skolem geen werkelijke antinomie is, zoals de Russellparadox, wordt het resultaat meestal een paradox genoemd, en werd hij door Skolem beschreven als een "paradoxale stand van zaken". (nl) Na lógica matemática e na filosofia, O paradoxo de Skolem é uma aparente contradição que surge a partir do Teorema Löwenheim–Skolem. Thoralf Skolem (1922) foi o primeiro a discutir os aspectos aparentemente contraditórios do teorema, e descobrir a relatividade das noções dos conjuntos teóricos hoje conhecida como não-absoluto. Embora não seja uma real antinomia como o paradoxo de russel, o resultado normalmente é chamado de paradoxo, e foi descrito como "um estado paradoxal das coisas" por Skolem (1922: p., 295). (pt) |
| rdfs:label | Paradoxa de Skolem (ca) Skolem-Paradox (de) Paradoxe de Skolem (fr) Paradox van Skolem (nl) Paradoks Skolema (pl) Skolem's paradox (en) Парадокс Скулема (ru) Paradoxo de Skolem (pt) 斯科伦悖论 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Skolem's paradox yago-res:Skolem's paradox wikidata:Skolem's paradox dbpedia-ca:Skolem's paradox dbpedia-de:Skolem's paradox dbpedia-fr:Skolem's paradox dbpedia-nl:Skolem's paradox dbpedia-pl:Skolem's paradox dbpedia-pt:Skolem's paradox dbpedia-ru:Skolem's paradox dbpedia-zh:Skolem's paradox https://global.dbpedia.org/id/AVWR |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Skolem's_paradox?oldid=1108978273&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Skolem's_paradox |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Lowenheim-Skolem_paradox dbr:Löwenheim-Skolem_paradox dbr:Skolem's_Paradox dbr:Skolem_paradox dbr:Löwenheim–Skolem_paradox |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Cantor's_first_set_theory_article dbr:Model_theory dbr:Index_of_philosophy_articles_(R–Z) dbr:List_of_mathematical_logic_topics dbr:Countable_set dbr:Mathematical_logic dbr:Russell's_paradox dbr:Rado_graph dbr:Glossary_of_set_theory dbr:Continuum_hypothesis dbr:Thoralf_Skolem dbr:Lowenheim-Skolem_paradox dbr:Löwenheim-Skolem_paradox dbr:Löwenheim–Skolem_theorem dbr:First-order_logic dbr:Foundations_of_mathematics dbr:Absoluteness dbr:Skolem's_Paradox dbr:Axiom_schema_of_replacement dbr:Second-order_logic dbr:Skolem_paradox dbr:Löwenheim–Skolem_paradox |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Skolem's_paradox |