Countable set (original) (raw)
Spočetná množina je matematický pojem z teorie množin, označující množinu, kterou lze vzájemně jednoznačně (tzv. bijektivně) zobrazit na některou podmnožinu množiny přirozených čísel.
| Property | Value | ||
|---|---|---|---|
| dbo:abstract | في الرياضيات، مجموعة قابلة للعد (بالإنجليزية: Countable Set) أو عدودة هي مجموعة يمكن نسب كل عنصر من عناصرها لأحد أعداد مجموعة الأعداد الطبيعية. يمثل هذا العدد الطبيعي ترتيب ذلك العنصر في المجموعة. أول من استعمل هذا المصطلح هو جورج كانتور. تعدّ المجموعة معدودة إذا كان عدد عناصرها منتهيا أو إذا كانت تحوي نفس عدد العناصر التي تحويها مجموعة الأعداد الطبيعية. قام جورج كانتور بتقديم تعريف آخر للمصطلح وهو أن المجموعة تكون معدودة إذا أمكن مقابلة عناصرها واحدا لواحد مع مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية.فبما أن الأعداد الطبيعية هي المستعملة دوما بغرض العد فإن أي مجموعة تفوق هذه المجموعة بالحجم تعدّ مجموعة غير قابلة للعد. الأحجام المختلفة للمجموعات غير المنتهية من اختصاص نظرية . (ar) En matemàtiques, un conjunt és numerable quan els seus elements poden posar-se en correspondència un a un amb un subconjunt del conjunt dels nombres naturals. Concretament, s'anomena conjunt infinit numerable (o denumerable) a aquell tal que els seus elements poden posar-se en correspondència un a un conjunt dels nombres naturals. Per exemple, el conjunt de tots els nombres parells, és infinit numerable perquè la correspondència següent: és una bijecció: cada nombre natural correspon a un únic nombre parell i viceversa. Alguns autors prenen una definició alternativa de conjunt numerable que no inclou els conjunts finits. Georg Cantor fou el primer que feu ús d'aquest concepte en un article publicat el 1874 que marcaria el naixement de la teoria de conjunts. Tanmateix, la seva importància es manifesta en nombrosos camps de les matemàtiques, en particular a l'anàlisi, en teoria de la mesura i en topologia. (ca) Spočetná množina je matematický pojem z teorie množin, označující množinu, kterou lze vzájemně jednoznačně (tzv. bijektivně) zobrazit na některou podmnožinu množiny přirozených čísel. (cs) In der Mengenlehre wird eine Menge als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen . Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, die Elemente der Menge also „durchnummeriert“ werden können. Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen Mengen auch die endlichen Mengen. Die Verwendung des Begriffes abzählbar ist nicht einheitlich. Er kann je nach Definition sowohl abzählbar unendlich als auch höchstens abzählbar bedeuten. Eine nichtleere Menge, die weder endlich noch abzählbar unendlich ist, wird als überabzählbar bezeichnet. Die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge wird – als Kardinalzahl – mit (gesprochen: alef null) bezeichnet, etwa gilt . Zu dieser Bezeichnung siehe auch Aleph-Funktion. (de) Ένα σύνολο Α που είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν ονομάζεται αριθμήσιμο. Ένα σύνολο Α που είναι είτε πεπερασμένο είτε αριθμήσιμο ονομάζεται το πολύ αριθμήσιμο. Ένα σύνολο Α που δεν είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν ονομάζεται υπεραριθμήσιμο. Κάθε υποσύνολο ενός αριθμήσιμου συνόλου είναι το πολύ αριθμήσιμο. (el) En matematiko, kalkulebla aro estas aro kun la sama kardinala nombro (povo de aro aŭ kvanto de elementoj) kiel iu subaro de la aro de ĉiuj naturaj nombroj. Aro, kiu ne estas kalkulebla estas nomata nekalkulebla. La termino devenas de Georg Cantor. La elementoj de kalkulebla aro povas esti kalkulitaj po unu: kvankam la kalkulado povas neniam finiĝi, tamen ĉiu elemento de la aro estos asociita kun natura nombro. Iuj aŭtoroj uzas la terminon kalkulebla aro por aro kun la sama kardinalo kiel la aro de ĉiuj naturaj nombroj. La diferenco inter la du difinoj estas ke sub la unua, finiaj aroj estas ankaŭ konsiderataj kiel kalkuleblaj, dum sub la lasta difino, ili estas ne konsiderataj kiel kalkuleblaj. Por forigi ĉi tiun multvalorecon, la termino maksimume kalkulebla estas iam uzita por la unua komprenaĵo, kaj kalkuleble malfinia por la lasta. La kardinala nombro de kalkuleble malfinia aro estas skribata kiel (la komenca alef-nombro) aŭ (la komenca ). (eo) In mathematics, a set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers. Equivalently, a set is countable if there exists an injective function from it into the natural numbers; this means that each element in the set may be associated to a unique natural number, or that the elements of the set can be counted one at a time, although the counting may never finish due to an infinite number of elements. In more technical terms, assuming the axiom of countable choice, a set is countable if its cardinality (its number of elements) is not greater than that of the natural numbers. A countable set that is not finite is said countably infinite. The concept is attributed to Georg Cantor, who proved the existence of uncountable sets, that is, sets that are not countable; for example the set of the real numbers. (en) Matematikan, multzo bat zenbakigarria edo zenbakarria da zenbaki arrunten multzoaren azpimultzoren batekin bijekzioa egitea onartzen duenean, hau da, zenbaki arrunten multzoarekin ekipotentea bada, haren kardinal bera duelako. Beste modu batera esanda, S multzo bat zenbakigarria da bere kardinala |S | zenbaki arrunten multzoaren kardinala, aleph-zero, baino txikiagoa edo berdina bada. Multzo zenbakigarri baten elementuak banan-banan kontatu daitezke, hau da, kontagarriak dira, multzoko elementu bakoitzari esleitu diezaiokegulako zenbaki arrunt bat zenbaki arrunt bat ere errepikatu gabe. (eu) En matemáticas, un conjunto numerable es un conjunto finito o si existe una correspondencia con los números naturales. Más concretamente, un conjunto se dice que es numerable (o contable) cuando es finito o cuando existe una biyección entre este conjunto y el conjunto de los números naturales. En 1874 Georg Cantor introdujo el término conjunto numerable, contrastando conjuntos que son contables con los que son incontables. Hoy en día, los conjuntos numerables forman la base de una rama de las matemáticas llamada matemática discreta. (es) En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent « trop » d'éléments pour être parcourus complètement par l'infinité des entiers et sont donc dits « non dénombrables ». Il existe deux usages du mot « dénombrable » en mathématiques, suivant que l'on comprend ou non parmi les ensembles dénombrables les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée. C'est seulement quand on comprend les ensembles finis parmi les ensembles dénombrables qu'il est utile de préciser infini dénombrable. Georg Cantor est le premier à faire usage de cette notion, dans un article publié en 1874, qui marque la naissance de la théorie des ensembles. Mais l'importance du dénombrable se manifeste dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en analyse, en théorie de la mesure et en topologie. (fr) Dalam teori himpunan, suatu himpunan dikatakan terhitung (atau tercacah) apabila himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan bulat . Artinya ada pemetaan bijektif dari himpunan ke himpunan . (in) In matematica, e più in particolare nella teoria degli insiemi, un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Se un insieme numerabile possiede un numero infinito di elementi, viene detto infinito numerabile, e dato che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, si può dire che un insieme è infinito numerabile se ha la cardinalità di . La cardinalità degli insiemi infiniti numerabili viene usualmente denotata con il simbolo . Si può dimostrare che ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è anch'esso numerabile, e che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile. Esempi di insiemi numerabili sono l'insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali. Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall'insieme dei numeri reali la cui non numerabilità è stata dimostrata per la prima volta da Cantor tramite il suo argomento diagonale. (it) 가산 집합(可算集合, countable set)은 자연수의 집합으로의 단사 함수가 존재하는 집합을 말한다. 가령 짝수의 집합은 무한집합이지만 각 짝수는 자연수에 순서대로 1:1 대응이 가능하므로 가산(셀 수있다)집합이다. 가산집합이 아닌 집합을 비가산 집합(非可算集合, uncountable set)이라 한다. 자연수, 정수, 유리수의 집합은 가산집합이고, 실수의 집합은 비가산집합이다. 칸토어 집합은 비가산 무한집합이다. 어떤 집합이 가산 집합인 경우, 그 집합(의 원소의 개수)을 셀 수 있다 혹은 가산 개의 원소가 있다고 정의한다. 일반적으로 가산 집합에는 유한 집합이 포함되지만, 유한 집합을 제외하고 셀 수 있는 무한 집합만을 가리키는 경우도 있다. 앞의 경우는 가산 이하(at most countable)라는 표현을, 뒤의 의미에 대해 가산 무한(countable infinite)이나 가부번 집합(可附番集合, denumerable set)이라고 표현한다. 엄밀히는 유한 집합(가산 이하)은 자연수 집합으로 단사 함수가 존재하나 원소의 개수가 유한한 집합을 말하며, 가부번 집합은 자연수 집합으로 전단사 함수가 존재하는 집합을 말한다. (ko) Een aftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen afgeteld kunnen worden. Dat houdt in dat de elementen op een rij gezet kunnen worden met een eerste element, een tweede element, enzovoort, waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen. Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt. Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar. (nl) 可算集合（かさんしゅうごう、英語: countable set または denumerable set）または可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合 (countably infinite set) と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算 (at most countable) の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合 (uncountable set) という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。 (ja) Счётное множество — бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.Более формально: множество является счётным, если существует биекция со множеством натуральных чисел: , другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел. В иерархии алефов мощность счётного множества обозначается («алеф-нуль»). (ru) Na matemática, um conjunto contável é um conjunto de mesma cardinalidade (número de elementos) de um subconjunto qualquer do conjunto dos números naturais. Um conjunto é dito incontável quando ele não é contável. O termo foi criado por Georg Cantor. Os elementos de um conjunto contável podem ser contados um por vez—mesmo que a contagem nunca termine, cada elemento do conjunto será eventualmente associado com um número natural. Alguns autores usam conjunto contável para representar um conjunto com a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais. A diferença entre as duas definições é que, considerando a primeira definição, conjuntos finitos também são considerados contáveis. A segunda definição, no entanto, estabelece que conjuntos infinitos não são contáveis. Para resolver essa ambiguidade, o termo máximo contável é usado para a primeira definição, e infinito contável para a segunda definição. O termo enumerável também pode ser usado para representar infinito contável, ou contável, em contraste com o termo não enumerável. (pt) En uppräknelig mängd är en mängd för vilken man kan införa någon metod för att numrera alla element så att varje element tas upp minst en gång. Mer formellt har en uppräknelig mängd samma kardinaltal som någon delmängd till de naturliga talen, det vill säga ett ändligt tal eller ℵ₀. Exempel: Mängderna {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} och {A, B, C, D, E, F, G} är båda uppräkneliga med kardinaltalet 7 i båda fallen. Alla naturliga tal är var för sig uppräkneliga. Ett tal n vilket som helst har ju kardinaliteten n eftersom | n |
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Multzo zenbakigarri baten elementuak banan-banan kontatu daitezke, hau da, kontagarriak dira, multzoko elementu bakoitzari esleitu diezaiokegulako zenbaki arrunt bat zenbaki arrunt bat ere errepikatu gabe. (eu) En matemáticas, un conjunto numerable es un conjunto finito o si existe una correspondencia con los números naturales. Más concretamente, un conjunto se dice que es numerable (o contable) cuando es finito o cuando existe una biyección entre este conjunto y el conjunto de los números naturales. En 1874 Georg Cantor introdujo el término conjunto numerable, contrastando conjuntos que son contables con los que son incontables. Hoy en día, los conjuntos numerables forman la base de una rama de las matemáticas llamada matemática discreta. (es) Dalam teori himpunan, suatu himpunan dikatakan terhitung (atau tercacah) apabila himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan bulat . Artinya ada pemetaan bijektif dari himpunan ke himpunan . (in) 가산 집합(可算集合, countable set)은 자연수의 집합으로의 단사 함수가 존재하는 집합을 말한다. 가령 짝수의 집합은 무한집합이지만 각 짝수는 자연수에 순서대로 1:1 대응이 가능하므로 가산(셀 수있다)집합이다. 가산집합이 아닌 집합을 비가산 집합(非可算集合, uncountable set)이라 한다. 자연수, 정수, 유리수의 집합은 가산집합이고, 실수의 집합은 비가산집합이다. 칸토어 집합은 비가산 무한집합이다. 어떤 집합이 가산 집합인 경우, 그 집합(의 원소의 개수)을 셀 수 있다 혹은 가산 개의 원소가 있다고 정의한다. 일반적으로 가산 집합에는 유한 집합이 포함되지만, 유한 집합을 제외하고 셀 수 있는 무한 집합만을 가리키는 경우도 있다. 앞의 경우는 가산 이하(at most countable)라는 표현을, 뒤의 의미에 대해 가산 무한(countable infinite)이나 가부번 집합(可附番集合, denumerable set)이라고 표현한다. 엄밀히는 유한 집합(가산 이하)은 자연수 집합으로 단사 함수가 존재하나 원소의 개수가 유한한 집합을 말하며, 가부번 집합은 자연수 집합으로 전단사 함수가 존재하는 집합을 말한다. (ko) 可算集合（かさんしゅうごう、英語: countable set または denumerable set）または可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合 (countably infinite set) と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算 (at most countable) の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合 (uncountable set) という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。 (ja) Счётное множество — бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.Более формально: множество является счётным, если существует биекция со множеством натуральных чисел: , другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел. В иерархии алефов мощность счётного множества обозначается («алеф-нуль»). (ru) 在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和無限可數集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是「可以计数」的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 「可数集」这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。 为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，后一种可数集则称为无限可数集。 (zh) Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Множина, яка не є зліченною, називається незліченною. Таким чином, будь-яка множина є або скінченною, або зліченною, або незліченною. Формально: множина Y є зліченною, якщо існує бієкція f: Y → N, де N — множина натуральних чисел. Тобто зліченна множина — це множина, рівнопотужна множині натуральних чисел. Зліченна множина є найменшою нескінченною множиною в тому розумінні, що в будь-якій нескінченній множини знайдеться зліченна підмножина. (uk) في الرياضيات، مجموعة قابلة للعد (بالإنجليزية: Countable Set) أو عدودة هي مجموعة يمكن نسب كل عنصر من عناصرها لأحد أعداد مجموعة الأعداد الطبيعية. يمثل هذا العدد الطبيعي ترتيب ذلك العنصر في المجموعة. أول من استعمل هذا المصطلح هو جورج كانتور. الأحجام المختلفة للمجموعات غير المنتهية من اختصاص نظرية . (ar) En matemàtiques, un conjunt és numerable quan els seus elements poden posar-se en correspondència un a un amb un subconjunt del conjunt dels nombres naturals. Concretament, s'anomena conjunt infinit numerable (o denumerable) a aquell tal que els seus elements poden posar-se en correspondència un a un conjunt dels nombres naturals. Per exemple, el conjunt de tots els nombres parells, és infinit numerable perquè la correspondència següent: és una bijecció: cada nombre natural correspon a un únic nombre parell i viceversa. (ca) En matematiko, kalkulebla aro estas aro kun la sama kardinala nombro (povo de aro aŭ kvanto de elementoj) kiel iu subaro de la aro de ĉiuj naturaj nombroj. Aro, kiu ne estas kalkulebla estas nomata nekalkulebla. La termino devenas de Georg Cantor. La elementoj de kalkulebla aro povas esti kalkulitaj po unu: kvankam la kalkulado povas neniam finiĝi, tamen ĉiu elemento de la aro estos asociita kun natura nombro. La kardinala nombro de kalkuleble malfinia aro estas skribata kiel (la komenca alef-nombro) aŭ (la komenca ). (eo) In mathematics, a set is countable if either it is finite or it can be made in one to one correspondence with the set of natural numbers. Equivalently, a set is countable if there exists an injective function from it into the natural numbers; this means that each element in the set may be associated to a unique natural number, or that the elements of the set can be counted one at a time, although the counting may never finish due to an infinite number of elements. (en) In der Mengenlehre wird eine Menge als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen . Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, die Elemente der Menge also „durchnummeriert“ werden können. Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen Mengen auch die endlichen Mengen. Die Verwendung des Begriffes abzählbar ist nicht einheitlich. Er kann je nach Definition sowohl abzählbar unendlich als auch höchstens abzählbar bedeuten. (de) En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent « trop » d'éléments pour être parcourus complètement par l'infinité des entiers et sont donc dits « non dénombrables ». (fr) In matematica, e più in particolare nella teoria degli insiemi, un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Se un insieme numerabile possiede un numero infinito di elementi, viene detto infinito numerabile, e dato che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, si può dire che un insieme è infinito numerabile se ha la cardinalità di . La cardinalità degli insiemi infiniti numerabili viene usualmente denotata con il simbolo . (it) Zbiór przeliczalny – zbiór, którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce: Liczbę kardynalną zbioru liczb naturalnych – a więc i każdego nieskończonego zbioru przeliczalnego – oznacza się symbolem (czyt.: alef zero). Niektórzy matematycy oznaczają tę liczbę kardynalną symbolem (ponieważ formalnie jest najmniejszą nieskończoną liczbą porządkową). (pl) Een aftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen afgeteld kunnen worden. Dat houdt in dat de elementen op een rij gezet kunnen worden met een eerste element, een tweede element, enzovoort, waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen. Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar. (nl) Na matemática, um conjunto contável é um conjunto de mesma cardinalidade (número de elementos) de um subconjunto qualquer do conjunto dos números naturais. Um conjunto é dito incontável quando ele não é contável. O termo foi criado por Georg Cantor. Os elementos de um conjunto contável podem ser contados um por vez—mesmo que a contagem nunca termine, cada elemento do conjunto será eventualmente associado com um número natural. (pt) En uppräknelig mängd är en mängd för vilken man kan införa någon metod för att numrera alla element så att varje element tas upp minst en gång. Mer formellt har en uppräknelig mängd samma kardinaltal som någon delmängd till de naturliga talen, det vill säga ett ändligt tal eller ℵ₀. Exempel: Mängderna {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} och {A, B, C, D, E, F, G} är båda uppräkneliga med kardinaltalet 7 i båda fallen. På liknande sätt som man kan visa att | ℚ |
| rdfs:label | مجموعة قابلة للعد (ar) Conjunt numerable (ca) Spočetná množina (cs) Abzählbare Menge (de) Αριθμήσιμο (el) Kalkulebla aro (eo) Countable set (en) Multzo zenbakigarri (eu) Conjunto numerable (es) Ensemble dénombrable (fr) Himpunan terhitung (in) Insieme numerabile (it) 가산 집합 (ko) 可算集合 (ja) Aftelbare verzameling (nl) Zbiór przeliczalny (pl) Conjunto contável (pt) Uppräknelig mängd (sv) Счётное множество (ru) Зліченна множина (uk) 可數集 (zh) | ||
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