Axiomatic system (original) (raw)
Ein Axiomensystem (auch: Axiomatisches System) ist ein System von grundlegenden Aussagen, Axiomen, die ohne Beweis angenommen und aus denen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden. Die Ableitung erfolgt dabei durch die Regeln eines formalen logischen Kalküls. Eine Theorie besteht aus einem Axiomensystem und all seinen daraus abgeleiteten Theoremen. Mathematische Theorien werden in der Regel als Elementare Sprache (auch: Sprache erster Stufe mit Symbolmenge) im Rahmen der Prädikatenlogik erster Stufe axiomatisiert.
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| dbo:abstract | Ein Axiomensystem (auch: Axiomatisches System) ist ein System von grundlegenden Aussagen, Axiomen, die ohne Beweis angenommen und aus denen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden. Die Ableitung erfolgt dabei durch die Regeln eines formalen logischen Kalküls. Eine Theorie besteht aus einem Axiomensystem und all seinen daraus abgeleiteten Theoremen. Mathematische Theorien werden in der Regel als Elementare Sprache (auch: Sprache erster Stufe mit Symbolmenge) im Rahmen der Prädikatenlogik erster Stufe axiomatisiert. (de) In mathematics and logic, an axiomatic system is any set of axioms from which some or all axioms can be used in conjunction to logically derive theorems. A theory is a consistent, relatively-self-contained body of knowledge which usually contains an axiomatic system and all its derived theorems. An axiomatic system that is completely described is a special kind of formal system. A formal theory is an axiomatic system (usually formulated within model theory) that describes a set of sentences that is closed under logical implication. A formal proof is a complete rendition of a mathematical proof within a formal system. (en) En lógica y matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. En otras palabras, la idea de un sistema axiomático consiste en dar al principio los axiomas, es decir, las afirmaciones que se aceptan como verdaderas, y después derivar, mediante deducción, todas las afirmaciones. Se debe evitar que los axiomas se puedan deducir a partir de los otros y, además, los axiomas deben ser consistentes. Ejemplos de sistemas axiomáticos deductivos son la geometría euclidiana compilada por Euclides en los Elementos y el sistema axiomático de la lógica proposicional. (es) En mathématiques, un système axiomatique est un ensemble d'axiomes dont certains ou tous les axiomes peuvent être utilisés logiquement pour dériver des théorèmes. Une théorie consiste en un système axiomatique et tous ses théorèmes dérivés. Un système axiomatique complet est un type particulier de système formel. Une théorie formelle signifie généralement un système axiomatique, par exemple formulé dans la théorie des modèles. Une démonstration formelle est une interprétation complète d'une démonstration mathématique dans un système formel. (fr) Sistem aksioma adalah sistem penerapan dalam matematika dari berbagai metode logika atas sekelompok unsur, relasi, dan operasi. Dalam proses penalaran matematika, suatu rumus (teorema) matematika terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan. (in) In matematica, un sistema assiomatico (o assiomatica) è un insieme di assiomi che possono essere usati per dimostrare teoremi. Una teoria matematica consiste quindi in una assiomatica e tutti i teoremi che ne derivano. (it) De axiomatische methode is een wijze van argumentatie in de formele wetenschappen (m.n. wiskunde en logica) waarbij resultaten worden gepresenteerd als een reeks stellingen die een voor een worden afgeleid uit een stelsel van axiomata en definities. Als paradigmatisch voorbeeld van de axiomatische methode geldt Euclides' Elementen; naar de inhoud van dit werk wordt ook wel gesproken van de geometrische methode. Andere voorbeelden van de axiomatische methode zijn alle werken die gebruikmaken van een formeel systeem, zoals de Principia Mathematica van Russell en Whitehead. In de zeventiende eeuw werden ook filosofische werken in een axiomatische vorm gegoten. Descartes gaf een aanzet tot deze gewoonte; Spinoza paste de methode toe in zijn Ethica. Ook in de fysica werd deze methode toegepast, bijvoorbeeld door Newton in zijn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. (nl) Na matemática, um sistema axiomático, é qualquer conjunto de axiomas que podem ser ligados em conjunção para logicamente derivar teoremas. Uma teoria matemática consiste em um sistema axiomático e todos os seus teoremas. Um sistema axiomático que é completamente descrito é um tipo especial de sistema formal. Uma prova formal é uma versão completa de uma prova matemática dentro de um sistema formal. (pt) Аксіома́тика (англ. axiomatic system) — система аксіом деякої науки. Наприклад аксіоматика елементарної геометрії містить близько 20 аксіом, аксіоматика числового поля — 9 аксіом. В математиці важливу роль відіграє аксіоматика групи, аксіоматика метричного і векторного просторів. Багато інших сучасних наук також розвиваються на аксіоматичній основі, тобто на базі відповідної системи аксіом (аксіоматики). (uk) 数学上，一个公理系统（英語：axiomatic system，或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以一併用來逻辑地导出定理。一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全形式化的努力僅带来在确定性上递减的收益，并让人更加難以阅读。所以，公理系统的讨论通常只是半形式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在模型论中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。 (zh) |
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