Unique factorization domain (original) (raw)
في الرياضيات، مجال ذو تفكيك وحيد (بالإنجليزية: Unique factorization domain) هو حلقة حيث تعبيرٌ يشبه المبرهنة الأساسية في الحسابيات يكون صحيحا.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Un anell factorial (també dit anell de factorització única o domini de factorització única) és un anell íntegre en què tot element descompon de forma única com a producte de primers, és a dir, un anell on es compleix una versió anàloga del teorema fonamental de l'aritmètica. En els anells factorials es verifica que un element és si, i només si, és irreductible. És fàcil veure que en alguns anells com ara certs elements admeten més d'una factorització. Així, en aquest anell, , i els quatre factors són irreductibles. Un resultat important d'aquest tipus d'anells és que si A és un anell factorial aleshores l'anell de polinomis A[X] també ho és. (ca) في الرياضيات، مجال ذو تفكيك وحيد (بالإنجليزية: Unique factorization domain) هو حلقة حيث تعبيرٌ يشبه المبرهنة الأساسية في الحسابيات يكون صحيحا. (ar) Gaussův obor integrity neboli obor integrity s jednoznačným rozkladem je v algebře, volně řečeno, takový okruh, ve kterém platí analogie Základní věty aritmetiky, totiž že každý jeho prvek (až na určité výjimky) je možno v jistém smyslu jednoznačně vyjádřit jako součin prvočinitelů. Každý obor hlavních ideálů je Gaussovým oborem a Gaussův obor je vždy oborem integrity. Pro každé dva prvky Gaussova oboru existuje největší společný dělitel a nejmenší společný násobek. (cs) Ein faktorieller Ring, auch ZPE-Ring (Abk. für: „Zerlegung in Primelemente ist eindeutig“), Gaußscher Ring oder EPZ-Ring ist eine algebraische Struktur, und zwar ein Integritätsring, in dem jedes Element eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Faktorielle Ringe sind nicht zu verwechseln mit Faktorringen. (de) En ringo-teorio, faktoreca ringo estas integreca ringo, kies ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de nemalkomponeblaj elementoj, esence unike. (eo) En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure : tout élément non nul d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments , cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans l'anneau Z des entiers relatifs, –2 est irréductible. Tout anneau principal (c'est-à-dire intègre et dont tout idéal est principal) est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel k est toujours factoriel lui aussi, mais n'est principal que si l'anneau k est un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal. Il peut être à son tour généralisé en abandonnant l'hypothèse d'unicité de la décomposition en produit de facteurs irréductibles. On obtient ainsi la classe plus large des anneaux atomiques. Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z. (fr) Un dominio de factorización única (DFU) es una estructura algebraica, específicamente, es un dominio de integridad en el cual todo elemento se descompone de forma única (salvo producto por unidades) como producto de elementos primos (o elementos irreducibles). En los DFU se verifica que un elemento es primo si y sólo si es irreducible. (es) In mathematics, a unique factorization domain (UFD) (also sometimes called a factorial ring following the terminology of Bourbaki) is a ring in which a statement analogous to the fundamental theorem of arithmetic holds. Specifically, a UFD is an integral domain (a nontrivial commutative ring in which the product of any two non-zero elements is non-zero) in which every non-zero non-unit element can be written as a product of prime elements (or irreducible elements), uniquely up to order and units. Important examples of UFDs are the integers and polynomial rings in one or more variables with coefficients coming from the integers or from a field. Unique factorization domains appear in the following chain of class inclusions: rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields (en) 数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、英: unique factorization domain, UFD; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。 環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体 ⊃ 有限体 一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できる。 (ja) In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een uniek factorisatiedomein, UFD, een commutatieve ring, waarin elk element dat geen nul is en geen eenheid op een unieke manier kan worden geschreven als een product van irreducibele of priemelementen, op dezelfde manier dat de gehele getallen in priemgetallen kunnen worden ontbonden. Merk op dat een uniek factorisatiedomein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen: eindige lichamen/velden ⊂ lichamen/velden ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen. Ieder hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein, maar het omgekeerde is niet waar. (nl) 가환대수학에서 유일 인수 분해 정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다. (ko) In algebra, un dominio a fattorizzazione unica (o anello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato in UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui vale un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, analogamente a quanto accade per i numeri interi e la scomposizione in numeri primi. (it) Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса. (ru) Em teoria dos anéis, um domínio de integridade é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se: 1. * , se (onde é o conjunto das unidades de ) e temos que irredutíveis tal que . 2. * Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a . (pt) Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki. Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu: pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała (pl) En EF-ring eller ring med entydig faktorisering, är en heltalsring där varje, från noll skilt och icke inverterbart, element entydigt kan skrivas som en produkt av irreducibla element. Begreppen irreducibelt element och primelement sammanfaller i en sådan ring. Heltalen Z är en EF-ring, men ej ringen Z [i·]. (sv) 在數學中，唯一分解整环（Unique factorization domain）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。唯一分解整环通常以英文縮寫UFD表示。 (zh) Факторіа́льне кільце́ — область цілісності , в якій кожен необоротний елемент представляється у вигляді добутку незвідних елементів , причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо то і після перенумерації маємо для всіх , де — оборотний елемент кільця (такі елементи називаються асоційованими).Самі елементи можуть бути теж асоційованими і навіть рівними. (uk) |
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(de) En ringo-teorio, faktoreca ringo estas integreca ringo, kies ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de nemalkomponeblaj elementoj, esence unike. (eo) Un dominio de factorización única (DFU) es una estructura algebraica, específicamente, es un dominio de integridad en el cual todo elemento se descompone de forma única (salvo producto por unidades) como producto de elementos primos (o elementos irreducibles). En los DFU se verifica que un elemento es primo si y sólo si es irreducible. (es) 数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、英: unique factorization domain, UFD; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。 環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体 ⊃ 有限体 一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できる。 (ja) 가환대수학에서 유일 인수 분해 정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다. (ko) In algebra, un dominio a fattorizzazione unica (o anello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato in UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui vale un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, analogamente a quanto accade per i numeri interi e la scomposizione in numeri primi. (it) Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса. (ru) Em teoria dos anéis, um domínio de integridade é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se: 1. * , se (onde é o conjunto das unidades de ) e temos que irredutíveis tal que . 2. * Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a . (pt) En EF-ring eller ring med entydig faktorisering, är en heltalsring där varje, från noll skilt och icke inverterbart, element entydigt kan skrivas som en produkt av irreducibla element. Begreppen irreducibelt element och primelement sammanfaller i en sådan ring. Heltalen Z är en EF-ring, men ej ringen Z [i·]. (sv) 在數學中，唯一分解整环（Unique factorization domain）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。唯一分解整环通常以英文縮寫UFD表示。 (zh) Факторіа́льне кільце́ — область цілісності , в якій кожен необоротний елемент представляється у вигляді добутку незвідних елементів , причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо то і після перенумерації маємо для всіх , де — оборотний елемент кільця (такі елементи називаються асоційованими).Самі елементи можуть бути теж асоційованими і навіть рівними. (uk) Un anell factorial (també dit anell de factorització única o domini de factorització única) és un anell íntegre en què tot element descompon de forma única com a producte de primers, és a dir, un anell on es compleix una versió anàloga del teorema fonamental de l'aritmètica. En els anells factorials es verifica que un element és si, i només si, és irreductible. És fàcil veure que en alguns anells com ara certs elements admeten més d'una factorització. Així, en aquest anell, , i els quatre factors són irreductibles. (ca) En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure : tout élément non nul d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments , cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans l'anneau Z des entiers relatifs, –2 est irréductible. (fr) In mathematics, a unique factorization domain (UFD) (also sometimes called a factorial ring following the terminology of Bourbaki) is a ring in which a statement analogous to the fundamental theorem of arithmetic holds. Specifically, a UFD is an integral domain (a nontrivial commutative ring in which the product of any two non-zero elements is non-zero) in which every non-zero non-unit element can be written as a product of prime elements (or irreducible elements), uniquely up to order and units. Unique factorization domains appear in the following chain of class inclusions: (en) Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki. Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu: (pl) In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een uniek factorisatiedomein, UFD, een commutatieve ring, waarin elk element dat geen nul is en geen eenheid op een unieke manier kan worden geschreven als een product van irreducibele of priemelementen, op dezelfde manier dat de gehele getallen in priemgetallen kunnen worden ontbonden. Merk op dat een uniek factorisatiedomein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen: Ieder hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein, maar het omgekeerde is niet waar. (nl) |
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