Stellated octahedron (original) (raw)
星型八面体（ほしがたはちめんたい、Stellated octahedron）または、ステラ・オクタンギュラ（Stella octangula）とは、正八面体からできる唯一の星型多面体であり、2つの正四面体による複合多面体である。正複合多面体の一種でもある。 星型の胞を利用したアルファベット表記ではBである。ドイツの数学者、ヨハネス・ケプラーが発見した立体で、最初に発見された星型多面体と言われている。三次元のデルタの星（星型六角形、ダビデの星）ともいえる。これは、正八面体から作ったダ・ヴィンチの星と同じ外観をしている。 枠は立方体である。つまり、頂点を繋ぐことで立方体を作ることができ、したがってまた、立方体の頂点をつないで星型八面体を作図することができる。 全ての面が合同な正三角形だが、独立した立体でない（複合体である）ため、星型正多面体には含まない。
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| dbo:abstract | L'estel octangle, també conegut com a octàedre estelat, tetràedre d'estrella, compost de dos tetràedres, estrella de vuit puntes o Estrella de David bidimensional és una estelació de l' i el compost polièdric regular més simple. Els seus vèrtexs, cares i arestes són homogenis. El seu nom fou donat per Johannes Kepler l'any 1609, encara que geòmetres anteriors ja el coneixien; fou descrit per primer cop l'any 1509 a la Divina Proportione de Luca Pacioli. Està compost per la unió de dos tetràedres (un tetraèdre i el seu contratetraèdre). Les posicions dels vèrtexs dels dos tetràedres coincideixen amb els d'un cub. La intersecció entre els dos tetraèdres forma un octàedre interior, les cares del qual estan sobre els mateixos plans que les cares del compost. Es pot veure com un octaèdre amb piràmides tetraèdriques a cada una de les seves cares. Té la mateixa topologia que el políedre de Catalan convex, Octàedre triakis, el qual té piràmides molt més curtes. Com a estelació, és l'única forma estelada de l'octaedre. Les cares de l'estelat són molt simples: , el triangle del mig és un forat, però no es consideren arestes els talls interiors per fer-li el forat. (ca) La stelookangulopluredro (stelo-ok-angulo-pluredro aŭ stela 8-angula pluredro), aŭ steligita okedro aŭ ok-angula stelo aŭ kombinaĵo de du kvaredroj estas uniforma pluredra kombinaĵo, simetria ordigo de 2 kvaredroj. Ĝi estas ankaŭ steligo de la regula okedro. Ĝia du-dimensia modelo estas sciata kiel la stelo de Davido. Ĝia nomo estis donita de Keplero en 1609, kvankam ĝi estis sciata al pli fruaj . Ĝi unue estis prezentita en de Pacioli en 1509. Ĝi estas la plej simpla el kvin regulaj kombinaĵoj kiuj povas esti konstruitaj el identaj platonaj solidoj. Kiel kombinaĵo, ĝi estas konstruita kiel la unio de du kvaredroj, orientitaj kiel dualaj unu al la alia. Ĝi havas la saman situon de verticoj kiel kubo. La komunaĵo de la du kvaredroj formas enan okedron, kiu havas la samajn edrajn-ebenoj kiel la kombinaĵo. Ĝi povas vidiĝi kiel okedro kun kvaredraj piramidoj sur ĉiu edro. Ĝi estas simila al la konveksa katalana solido, la trilateropiramidigita okedro, kiu havas pli mallongajn piramidojn. Ĝi estas ankaŭ la sola steligo de okedro, kaj estas tiel pluredro de Wenninger W19. La steligaj facetoj estas: (eo) La estrella octángula de Kepler, o stella octangula en latín, como el mismo Kepler la denominó, es un poliedro formado por la composición de dos tetraedros regulares. La estrella octángula también puede ser descrita como la única estelación posible del octaedro, o el análogo tridimensional del hexagrama. Este cuerpo geométrico fue representado en la obra "De divina proportione", de Luca Pacioli, escrita en 1509 y también por Leonardo Da Vinci alrededor de 1500. La estrella octángula (también conocida como octaedro estrellado) es idéntica en el exterior al . Sin embargo, este último difiere en que no contiene autointersecciones, teniendo en sus lugares aristas extra. Contiene 24 caras, 36 aristas y 14 vértices. Si se definen ambos poliedros solo por el espacio que cubren entonces no hay una diferencia y se pueden tratar como el mismo poliedro. (es) Das Sterntetraeder, auch bekannt als Sternkörper zum Oktaeder, als Stella Octangula und als Keplerstern, ist ein achtstrahliger Stern und gehört zu den nicht-konvexen Deltaedern. Es handelt sich um einen vielflächigen Körper, der durch Verschmelzung zweier punktsymmetrischer Tetraeder entsteht. Das Sterntetraeder ist kein Sternkörper, weil nicht in allen Ecken gleich viele Flächen zusammentreffen. Benannt durch Johannes Kepler im Jahr 1609, ist dies sowohl das einfachste reguläre zusammengesetzte Polyeder als auch das einfachste nicht-konvexe gleichmäßige Polyeder. Erstmals dargestellt wurde er durch Leonardo da Vinci in Luca Paciolis De Divina Proportione 1509. Der Grafiker M. C. Escher hat das Sterntetraeder als Motiv für das Bild Doppelplanetoid verwendet: Das eine Tetraeder hat die Form einer von Menschen bewohnten Burg, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene, von Dinosauriern bewohnte Welt darstellt. (de) L'octangle étoilé est un composé polyédrique aussi connu sous le nom de stella octangula, d'octaèdre étoilé, d'étoile à huit pointes, ou encore d'étoile de David à trois dimensions. Il a été mentionné en 1509 par Luca Pacioli dans son livre "de divina proportione", puis redécouvert par Johannes Kepler en 1609, qui le baptisa stella octangula (étoile à huit sommets). C'est le plus simple des cinq composés polyédriques réguliers, et le seul composé régulier de deux tétraèdres. * Projections orthographiques * * * Il peut être vu soit comme composé polyédrique, soit comme stellation : Comme composé, c'est la réunion de deux tétraèdres. Les sommets des deux tétraèdres sont ceux d'un cube. L'intersection des deux solides tétraédriques est un octaèdre dont les faces sont incluses dans celles du composé. L'octangle peut donc être vu comme un octaèdre sur les faces duquel ont été posées des pyramides. Il a la même topologie que le solide de Catalan convexe nommé triakioctaèdre, qui possède de plus petites pyramides. Comme stellation, c'est la seule extension étoilée de l'octaèdre. Chaque face triangulaire de l'octaèdre est remplacée par le triangle équilatéral dont les milieux des côtés sont les sommets de cette face (voir le modèle W19 de Wenninger dans la (en)). * Premier tétraèdre... * ...et son dual. * Octaèdre intersection. * Enveloppe convexe des sommets. * Si les 6 points de croisements des arêtes étaient aussi marqués comme sommets... * ...la projection sur la sphère circonscrite serait la même que celle d'un dodécaèdre rhombique. (fr) The stellated octahedron is the only stellation of the octahedron. It is also called the stella octangula (Latin for "eight-pointed star"), a name given to it by Johannes Kepler in 1609, though it was known to earlier geometers. It was depicted in Pacioli's De Divina Proportione, 1509. It is the simplest of five regular polyhedral compounds, and the only regular compound of two tetrahedra. It is also the least dense of the regular polyhedral compounds, having a density of 2. It can be seen as a 3D extension of the hexagram: the hexagram is a two-dimensional shape formed from two overlapping equilateral triangles, centrally symmetric to each other, and in the same way the stellated octahedron can be formed from two centrally symmetric overlapping tetrahedra. This can be generalized to any desired amount of higher dimensions; the four-dimensional equivalent construction is the compound of two 5-cells. It can also be seen as one of the stages in the construction of a 3D Koch snowflake, a fractal shape formed by repeated attachment of smaller tetrahedra to each triangular face of a larger figure. The first stage of the construction of the Koch Snowflake is a single central tetrahedron, and the second stage, formed by adding four smaller tetrahedra to the faces of the central tetrahedron, is the stellated octahedron. (en) 星型八面体（ほしがたはちめんたい、Stellated octahedron）または、ステラ・オクタンギュラ（Stella octangula）とは、正八面体からできる唯一の星型多面体であり、2つの正四面体による複合多面体である。正複合多面体の一種でもある。 星型の胞を利用したアルファベット表記ではBである。ドイツの数学者、ヨハネス・ケプラーが発見した立体で、最初に発見された星型多面体と言われている。三次元のデルタの星（星型六角形、ダビデの星）ともいえる。これは、正八面体から作ったダ・ヴィンチの星と同じ外観をしている。 枠は立方体である。つまり、頂点を繋ぐことで立方体を作ることができ、したがってまた、立方体の頂点をつないで星型八面体を作図することができる。 全ての面が合同な正三角形だが、独立した立体でない（複合体である）ため、星型正多面体には含まない。 (ja) In geometria solida la stella octangula (anche stella ottangola in italiano) oppure ottaedro stellato o "composto (regolare) di due tetraedri" è uno dei cinque composti poliedrici regolari. Essa è l'unica possibile stellazione dell'ottaedro ed è formata da due identici tetraedri regolari disposti simmetricamente rispetto al comune baricentro. (it) O stella octangula (estrela de oito braços), também conhecido como octaedro estrelado ou composto de dois tetraedros é um poliedro gerado por composição de dois tetraedros. O nome foi-lhe atribuído por Johannes Kepler em 1609 É o mais simples poliedro regular composto. Os vértices dos dois tetraedros definem um cubo, e a sua intersecção um octaedro. Esta é também o único estrelamento do octaedro (pt) Stella octangula (gwiazda ośmioramienna, ośmiościan gwiaździsty, gwiazda z czworościanów) – wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację ośmiościanu foremnego. Jak każda stellacja, jest trójwymiarowym odpowiednikiem gwiazdy Dawida. Analogia jest w tym wypadku pogłębiona przez to, że tak jak gwiazda Dawida jest sumą dwóch trójkątów równobocznych symetrycznych względem wspólnego środka, stella octangula jest sumą dwóch czworościanów foremnych symetrycznych względem wspólnego środka. Można go sobie wyobrażać jako ośmiościan foremny z doklejonymi do jego ścian czworościanami foremnymi. Posiada 36 krawędzi, 14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami równobocznymi. W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości. * Wzór na pole powierzchni gdzie oznacza długość krawędzi ściany tej bryły. Polem całkowitym stella octangula jest suma 24 pól powierzchni trójkątów równobocznych, które stanowią czwartą część ściany jednego czworościanu foremnego stellonego. * Wzór na objętość (pl) Звёздчатый октаэдр, или stella octangula, — единственная звёздчатая форма октаэдра. Латинским именем stella octangula многогранник назвал Кеплер в 1609, хотя он был известен более ранним . Так, он изображён в труде Пачоли De Divina Proportione, 1509. Многогранник является простейшим из пяти правильных соединений многогранников. Звёздчатый октаэдр можно рассматривать как трёхмерное обобщение гексаграммы — гексаграмма является двумерной фигурой, образованной двумя наложенными друг на друга правильными треугольниками, центрально симметричными друг другу, и точно таким же образом звёздчатый октаэдр может быть образован из двух центрально симметричных пересекающихся тетраэдров. Его же можно рассматривать как одну из стадий построения 3D-снежинки Коха, фрактальной фигуры, получаемой повторяющимся присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной поверхности большей фигуры. Начальной стадией построения снежинки Коха является один центральный тетраэдр, а второй стадией, полученной добавлением четырёх меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, и будет звёздчатый октаэдр. (ru) 在幾何學中，星形八面體（英語：Stellated octahedron）是八面體中唯一的星形多面體，是一種二複合四面體，又稱為八角星體（英語：stella octangula、拉丁語為eight-pointed star，意為八角星），在1609時由约翰内斯·开普勒命名，然而他是位早期的幾何學家。事實上，早在1509年，卢卡·帕西奥利已經在其作品神曲中描繪了此種多面體。 (zh) |
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O nome foi-lhe atribuído por Johannes Kepler em 1609 É o mais simples poliedro regular composto. Os vértices dos dois tetraedros definem um cubo, e a sua intersecção um octaedro. Esta é também o único estrelamento do octaedro (pt) 在幾何學中，星形八面體（英語：Stellated octahedron）是八面體中唯一的星形多面體，是一種二複合四面體，又稱為八角星體（英語：stella octangula、拉丁語為eight-pointed star，意為八角星），在1609時由约翰内斯·开普勒命名，然而他是位早期的幾何學家。事實上，早在1509年，卢卡·帕西奥利已經在其作品神曲中描繪了此種多面體。 (zh) L'estel octangle, també conegut com a octàedre estelat, tetràedre d'estrella, compost de dos tetràedres, estrella de vuit puntes o Estrella de David bidimensional és una estelació de l' i el compost polièdric regular més simple. Els seus vèrtexs, cares i arestes són homogenis. El seu nom fou donat per Johannes Kepler l'any 1609, encara que geòmetres anteriors ja el coneixien; fou descrit per primer cop l'any 1509 a la Divina Proportione de Luca Pacioli. 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Este cuerpo geométrico fue representado en la obra "De divina proportione", de Luca Pacioli, escrita en 1509 y también por Leonardo Da Vinci alrededor de 1500. (es) Das Sterntetraeder, auch bekannt als Sternkörper zum Oktaeder, als Stella Octangula und als Keplerstern, ist ein achtstrahliger Stern und gehört zu den nicht-konvexen Deltaedern. Es handelt sich um einen vielflächigen Körper, der durch Verschmelzung zweier punktsymmetrischer Tetraeder entsteht. Das Sterntetraeder ist kein Sternkörper, weil nicht in allen Ecken gleich viele Flächen zusammentreffen. (de) The stellated octahedron is the only stellation of the octahedron. It is also called the stella octangula (Latin for "eight-pointed star"), a name given to it by Johannes Kepler in 1609, though it was known to earlier geometers. It was depicted in Pacioli's De Divina Proportione, 1509. It is the simplest of five regular polyhedral compounds, and the only regular compound of two tetrahedra. 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