Subclass (set theory) (original) (raw)
In set theory and its applications throughout mathematics, a subclass is a class contained in some other class in the same way that a subset is a set contained in some other set. That is, given classes A and B, A is a subclass of B if and only if every member of A is also a member of B.If A and B are sets, then of course A is also a subset of B.In fact, when using a definition of classes that requires them to be first-order definable, it is enough that B be a set; the axiom of specification essentially says that A must then also be a set.
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| dbo:abstract | In set theory and its applications throughout mathematics, a subclass is a class contained in some other class in the same way that a subset is a set contained in some other set. That is, given classes A and B, A is a subclass of B if and only if every member of A is also a member of B.If A and B are sets, then of course A is also a subset of B.In fact, when using a definition of classes that requires them to be first-order definable, it is enough that B be a set; the axiom of specification essentially says that A must then also be a set. As with subsets, the empty set is a subclass of every class, and any class is a subclass of itself. But additionally, every class is a subclass of the class of all sets. Accordingly, the subclass relation makes the collection of all classes into a Boolean lattice, which the subset relation does not do for the collection of all sets. Instead, the collection of all sets is an ideal in the collection of all classes. (Of course, the collection of all classes is something larger than even a class!) (en) Nella teoria degli insiemi una sottoclasse è una classe i cui elementi sono tutti contenuti entro un'altra classe; quindi una classe, che chiamiamo B, è una sottoclasse di un'altra classe, che chiamiamo A, se oppure, a parole: per ogni elemento x, se x appartiene a B allora x appartiene ad A. Possiamo anche dire, in altri termini, che B è una sottoclasse di A se tutti gli elementi di B sono anche elementi di A.Per indicare che la classe B è una sottoclasse della classe A si usa la scrittura: che si legge: "B è contenuto (o incluso) in A". Si noti che ogni classe è una sottoclasse di se stessa, cioè perché una classe A è definita come , cioè la classe delle x tali che x appartiene ad A per ogni x, che è anche la definizione di ogni sua sottoclasse. Esplicitando diversamente, A può essere considerata sottoclasse di se stessa perché tutti gli elementi di A (come classe) sono anche elementi di A (come sottoclasse). La differenza fondamentale fra sottoclasse e sottoinsieme, dunque, risiede nella natura dei rispettivi concetti di classe e di insieme, piuttosto che nella definizione. A questo proposito ricordiamo che: * una classe è una collezione di elementi; * tutti gli insiemi sono classi ma non tutte le classi sono insiemi. Infatti una classe può essere e può non essere elemento di un'altra classe, mentre un insieme è una classe che può sempre essere considerata elemento di un'altra classe. Detta in altro modo, le classi che sono considerabili elementi di altre classi sono insiemi, mentre le classi che non sono considerabili elementi di altre classi sono dette classi proprie. Si tratta, però, in entrambi i casi di classi; dunque il concetto di classe è sovraordinato rispetto a quello di insieme. Per le sottoclassi vale la maggior parte di quanto è possibile enunciare per i sottoinsiemi e, in particolare: cioè A è uguale B se e solo se A è contenuto in B e B è contenuto in A. Inoltre, si può concludere che la classe che non contiene alcun elemento non è una classe propria ma un insieme. Infatti, nella teoria assiomatica degli insiemi, ogni sottoclasse di un insieme è a sua volta un insieme (assioma di specificazione); poiché la classe che non contiene elementi - classe vuota, {} o ∅ - è sottoclasse di ogni altra classe (e quindi anche di ogni insieme), ne deriva che si tratta di un insieme, che viene chiamato insieme vuoto. (it) |
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