Class (set theory) (original) (raw)

About DBpedia

Třída (někdy také přesněji množinová třída) je matematický pojem z oboru teorie množin používaný pro označení souboru objektů, u kterých lze případ od případu určit, zda do dané třídy náleží nebo nenáleží – soubor tedy musí být dobře popsán z hlediska náležení.

Property Value
dbo:abstract Una classe, en teoria de conjunts i matemàtiques, és una col·lecció de conjunts o altres objectes matemàtics que poden ser definits sense ambigüitats per una propietat que comparteixen tots els seus membres. Fora de la teoria de conjunts, la paraula "classe" s'utilitza de vegades com a sinònim de "conjunt". Aquest ús ve dels períodes històrics en què les classes i els conjunts no es distingien com ara ho fa la terminologia teòrica de conjunts moderna. Així, la definició precisa de "classe" depèn del context fundacional: A la teoria de Zermelo-Fraenkel, la noció de classe no està formalitzada, mentre que altres teories de conjunts, com la teoria de conjunts de Von Neumann-Bernays-Gödel, axiomatitza la noció de "classe". Cada conjunt és una classe, no importa quina fundació es triï. Una classe que no és un conjunt (informalment en Zermelo-Fraenkel) s'anomena una classe pròpia, i una classe que és un conjunt de vegades s'anomena una classe petita. Per exemple, la classe tots els nombres ordinals, així com la classe de tots els conjunts, són classe pròpies en molts sistemes formals. (ca) Třída (někdy také přesněji množinová třída) je matematický pojem z oboru teorie množin používaný pro označení souboru objektů, u kterých lze případ od případu určit, zda do dané třídy náleží nebo nenáleží – soubor tedy musí být dobře popsán z hlediska náležení. (cs) Als Klasse gilt in der Mathematik, Klassenlogik und Mengenlehre eine Zusammenfassung beliebiger Objekte, definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen. Vom Klassenbegriff ist der Mengenbegriff zu unterscheiden. Nicht alle Klassen sind automatisch auch Mengen, weil Mengen zusätzliche Bedingungen erfüllen müssen. Mengen sind aber stets Klassen und werden daher auch in der Praxis in Klassenschreibweise notiert. (de) In set theory and its applications throughout mathematics, a class is a collection of sets (or sometimes other mathematical objects) that can be unambiguously defined by a property that all its members share. Classes act as a way to have set-like collections while differing from sets so as to avoid Russell's paradox (see ). The precise definition of "class" depends on foundational context. In work on Zermelo–Fraenkel set theory, the notion of class is informal, whereas other set theories, such as von Neumann–Bernays–Gödel set theory, axiomatize the notion of "proper class", e.g., as entities that are not members of another entity. A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems. In Quine's set-theoretical writing, the phrase "ultimate class" is often used instead of the phrase "proper class" emphasising that in the systems he considers, certain classes cannot be members, and are thus the final term in any membership chain to which they belong. Outside set theory, the word "class" is sometimes used synonymously with "set". This usage dates from a historical period where classes and sets were not distinguished as they are in modern set-theoretic terminology. Many discussions of "classes" in the 19th century and earlier are really referring to sets, or rather perhaps take place without considering that certain classes can fail to be sets. (en) En teoría de conjuntos, lógica de clases y sus aplicaciones en matemáticas, una clase es una familia de conjuntos o colección de conjuntos (u otros objetos matemáticos) que no necesariamente es un conjunto. El concepto de clase aparece al intentar «agrupar» todos los conjuntos (u objetos) que comparten una cierta propiedad. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se denomina de manera informal «clase» a toda propiedad expresada por una fórmula de su lenguaje, aun cuando pueda demostrarse que no existe un conjunto que contenga todos los objetos con esa propiedad, en cuyo caso se denomina una clase propia. El uso de las clases es entonces a través de notación. Sin embargo existen otras teorías, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), en las que las clases son objetos de pleno derecho y puede establecerse una distinción entre ambos tipos de «colecciones de objetos». Ejemplos de clases propias son la clase universal, la clase R de la paradoja de Russell o la clase de todos los ordinales. (es) En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble. Ce n'est pas forcément le cas d'une classe, qui est une collection d'objets que l'on peut définir, dont on peut donc parler, mais qui ne forme pas nécessairement un ensemble. Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors pas être élément d'une classe (ni, a fortiori, d'un ensemble). Les paradoxes de la théorie des ensembles, comme le paradoxe de Russell, montrent la nécessité d'une telle distinction. Ainsi la propriété « ne pas appartenir à soi-même » (x ∉ x) définit une classe mais pas un ensemble. L'existence d'un tel ensemble mènerait à une contradiction. À l'aube du XXe siècle, certains logiciens et mathématiciens comme Ernst Schröder, Giuseppe Peano ou Bertrand Russell emploient le terme « classe » la plupart du temps pour ce qui est appelé aujourd'hui « ensemble ». Cet usage perdure dans certains cas particuliers. Ainsi pour la notion usuelle de relation (dont le graphe est un ensemble de couples), une classe d'équivalence est un ensemble. Si on élargit aux classes propres, on ne peut plus parler d'ensemble quotient. Parfois les deux termes sont employés pour améliorer la clarté d'expression : dans certains contextes, on peut préférer parler de classe d'ensembles plutôt que d’ensemble d'ensembles sans y attacher un sens particulier. (fr) 집합론에서 모임 또는 클래스(영어: class)는 특정한 성질을 만족하는 집합(혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것이다. 모임은 지나치게 커서 집합이 아닐 수 있으며, 이렇게 집합이 아닌 모임을 고유 모임(固有모임, 영어: proper class)이라고 한다. (ko) 集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。 （どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。 集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある（たとえば滑らかさのクラスの C1-級など）。 (ja) Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność posiadaną przez wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru. Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy. (pl) In de verzamelingenleer en de toepassingen daarvan in de wiskunde is een klasse een collectie van verzamelingen (van soms andere wiskundige objecten) die eenduidig gedefinieerd kan worden door een eigenschap die alle leden van de collectie delen. De precieze definitie van "klasse" hangt af van de context. In werk over de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, is het begrip klasse informeel, terwijl in ander theorieën, zoals de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer het begrip "klasse" door axioma's wordt onderbouwd. Elke verzameling kan als klasse opgevat worden, om het even in welke context. Een klasse die geen verzameling is, wordt (informeel) een echte klasse (Engels: proper class) genoemd. Alle ordinale getallen en de klasse van alle verzamelingen zijn bijvoorbeeld in veel formele systemen echte klassen. Verschillende belangrijke concepten in de wiskunde worden beschreven in termen van klassen. Voorbeelden zijn grote categorieën en de klasse van de surreële getallen. In de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer (ZF) bestaan klassen alleen in de metataal, als equivalentieklassen van logische formules. De axioma's van ZF zijn niet van toepassing op klassen. Als wij echter een κ aannemen, vormen de verzamelingen van kleinere rang een model van ZF (een ). Haar deelverzamelingen kunnen worden gezien als "klassen". De Von Neumann-Bernays-Gödel axioma's staan een andere benadering voor; in deze theorie zijn de basisobjecten de klassen en wordt een verzameling gedefinieerd als een klasse die een element is van een andere klasse. In andere, minder gangbare verzamelingentheorieën, zoals de New Foundations of de theorie van de , is het concept van een "echte klasse" nog steeds zinvol (niet alle klassen zijn verzamelingen), maar is het criterium van "verzamelingheid" niet gesloten onder deelverzamelingen. Een verzamelingenleer met een universele verzameling heeft bijvoorbeeld "echte klassen", die deelklassen van verzamelingen zijn. De noodzaak om het begrip klasse in te voeren komt voort uit de wens om logische tegenspraak te vermijden (zie paradox van Russell). Zoals hierboven gesteld is een klasse een collectie - hier een ander woord voor verzameling - van verzamelingen. Als het begrip verzameling toegepast zou worden in plaats van het nieuwe begrip klasse, zou bijvoorbeeld de verzameling van alle verzamelingen zichzelf kunnen bevatten, wat tot logische tegenspraken kan leiden. Om dat te vermijden is het begrip 'klasse' in de verzamelingenleer ingevoerd. (nl) Em teoria dos conjuntos, uma classe (também chamada coleção ou família) é uma coleção (não necessariamente um conjunto, por exemplo a classe de todos os conjuntos) constituída de outros conjuntos (ou outros objetos matemáticos) de um espaço dado. Isto é, uma classe é um conjunto cujos elementos são outros conjuntos. Exemplo Seja um espaço amostral e uma classe de subconjuntos de . Se satisfaz as propriedades P1. P2. Se , então P3. Se , então Então diremos que é uma álgebra de subconjuntos de . (pt) Nella moderna teoria degli insiemi, per classe si intende una generica collezione di oggetti che possono essere univocamente identificati (per esempio, tramite una proprietà che li accomuni). Tutti gli insiemi sono classi, ma non è vero il contrario. Una classe che non sia un insieme si dice classe propria. La distinzione tra classe e insieme è necessaria per evitare i paradossi che emergono dalla teoria ingenua degli insiemi, come il paradosso di Russell. Una classe propria non può appartenere a un altro insieme o classe e non è soggetta agli assiomi di Zermelo-Fraenkel, che di fatto definiscono una teoria in cui questi oggetti non sono contemplati. Un'assiomatizzazione della teoria degli insiemi che comprenda le classi proprie è data dagli assiomi di Von Neumann-Bernays-Gödel, dove le classi sono gli oggetti fondamentali e gli insiemi vengono definiti come quelle classi che sono elementi di qualche altra classe. Diversi oggetti che ricorrono in matematica sono troppo "grandi" per essere insiemi; una teoria che comprenda le classi proprie è quindi necessaria in branche quali la teoria delle categorie o l'analisi non-standard. La parola "classe" è talvolta usata come sinonimo di "insieme", soprattutto nel termine "classe di equivalenza". Questo uso risale a un periodo storico in cui classi e insiemi non erano distinti come nella terminologia moderna. Molte discussioni sulle "classi" del XIX secolo in realtà erano riferite a quelli che con terminologia successiva saranno definiti insiemi. (it) Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определённым свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом других семейств. Класс, не являющийся множеством (при неформальном определении в ZFC), называется собственным классом. В частности, класс всех множеств и класс ординалов являются собственными классами. Вне теории множеств, слово «класс» иногда является синонимом слова «множество» (например, класс эквивалентности). Большинство упоминаний слова «класс» в литературе XIX века и раньше относится в действительности к множествам. (ru) Inom mängdlära och dess tillämpningar inom matematiken, är en klass en samling av uppsättningar (eller ibland andra matematiska objekt) som entydigt kan definieras av en egenskap som alla dess medlemmar delar. Den exakta definitionen av "klass" beror på grundläggande sammanhang. Inom Zermelo-Fraenkels mängdteori, är begreppet klass informellt, medan andra teorier, såsom , axiomerar begreppet "äkta klass", exempelvis som enheter som inte är medlemmar i en annan enhet. Alla mängder är klasser men alla klasser är inte mängder. En klass är en mängd precis om den är ett element i någon klass. Klasser som inte är mängder kallas äkta klasser. Exempelvis är klassen av alla mängder en äkta klass, liksom klassen av alla kardinaltal. Man kan använda en klassterminologi som är analog med den för mängder, det vill säga man kan tala om delklasser och unioner av klasser etcetera, med den avgörande skillnaden att en äkta klass inte kan vara element i någon mängd eller i någon annan klass. Utanför mängdläran, används ordet "klass" ibland som synonymt med "mängd". Detta från en historisk period när klasser och uppsättningar inte särskiljdes som inom modern teoretisk terminologi. I många diskussioner om "klasser" under 1800-talet och tidigare är de egentligen hänvisningar till mängder, eller kanske till mer tvetydiga koncept. (sv) 在集合論及其數學應用中，類是集合（或其他數學物件）的搜集（英語：collection），可以依所有成員所共享的性質被無歧定義。有些類是集合（例如由所有偶數構成的類），但有些則不是（如所有序數所構成的類或所有集合所構成的類）。一個不是集合的類被稱之為真類。一个是集合的类被称为“小类”。 在數學裡，有許多物件對集合而言太大，而必須以類來描述，像是大的範疇和超實數的類體之類等。要證明一給定「事物」為一真類，一般的做法是證明此一「事物」至少有著如序數一般多的元素。有關此一證明的例子，請參見。 真類不能是一個集合或者是一個類的元素，而且不受ZF集合論中的公理所限制；因此避免掉了許多樸素集合論中的悖論。反而，這些悖論成了證明某一個類是否為真類的方法之一。例如，羅素悖論可以證明由所有不包含集合自身的集合所構成的類是一個真類，而布拉利-福尔蒂悖论則可證明所有序數所構成的類是一個真類。 標準的ZF集合論公理不會論及到類；而在元語言中，類只作為邏輯公式的等價類而存在。馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論則採取了另一種方式；類在此一理論中是基礎的物件，而集合則被定義為可以是其他某些類的元素的類。真類，則為不可以是其他任何類的元素的類。 在其他集合論如新基础集合论或半集合的理論中，「真類」的概念依然是有意義的（不是任一堆事物都會是集合），但對集合特質的認定並非依據其大小。例如，所有包含全集的集合論都會有個是集合的子類的真類。 「類」這一詞有時會和「集合」同義，最為人知的是「等價類」這一術語。這種用法是因為從前對類和集合不如現今一樣地區別的緣故。許多19世紀之前對「類」的討論提及的實際上是集合，又或者會是個更為模糊的概念。 (zh) Клас — термін, що вживається в математиці в основному як синонім терміна «множина» для позначення довільних сукупностей об'єктів, що володіють певною властивістю або ознакою (наприклад, в алгебрі — класи еквівалентності). Іноді класами називають сукупності, елементами яких є множини. У деяких випадках під впливом аксіоматичної теорії множин термін «клас» застосовується для того, щоб підкреслити, що дана сукупність виявляється власне класом, а не множиною у вузькому сенсі (наприклад, в алгебрі — примітивні класи універсальних алгебр). Теоретико-множинні операції над класами визначаються так само, як і над множинами. (uk)
dbo:wikiPageID 20696 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 8166 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1094089364 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:New_Foundations dbr:Algebraic_structure dbr:Vector_space dbr:Von_Neumann–Bernays–Gödel_set_theory dbr:Mathematics dbr:Russell's_paradox dbr:Generator_(mathematics) dbr:Ordinal_numbers dbr:Semiset dbr:Function_(mathematics) dbr:Morphism dbr:Naive_set_theory dbr:Conservative_extension dbr:Complete_lattice dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Tacit_assumption dbr:Structure_(mathematical_logic) dbr:Surreal_number dbr:Burali-Forti_paradox dbc:Set_theory dbr:Willard_Van_Orman_Quine dbr:Field_(mathematics) dbr:Equivalence_classes dbr:Well-formed_formula dbr:Property_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Bijection dbr:Free_lattice dbr:Grothendieck_universe dbr:Inaccessible_cardinal dbr:Metalanguage dbr:Ordinal_number dbr:Category_(mathematics) dbr:Category_theory dbr:Set_(mathematics) dbr:Set_theory dbr:Universal_set dbr:Large_category dbr:Morse–Kelley_set_theory dbr:Proof_(mathematics) dbr:Springer-Verlag dbr:Conglomerate_(category_theory) dbr:Object_(category_theory) dbr:Von_Neumann–Bernays–Gödel_axioms dbr:ZF_set_theory
dbp:id SetClass (en)
dbp:title Set Class (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Set_theory dbt:Citation dbt:Cn dbt:MathWorld dbt:More_footnotes dbt:Multiple_issues dbt:Refimprove dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Isbn dbt:Format_link dbt:Mathematical_logic
dct:subject dbc:Set_theory
gold:hypernym dbr:Collection
rdf:type dbo:Book
rdfs:comment Třída (někdy také přesněji množinová třída) je matematický pojem z oboru teorie množin používaný pro označení souboru objektů, u kterých lze případ od případu určit, zda do dané třídy náleží nebo nenáleží – soubor tedy musí být dobře popsán z hlediska náležení. (cs) Als Klasse gilt in der Mathematik, Klassenlogik und Mengenlehre eine Zusammenfassung beliebiger Objekte, definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen. Vom Klassenbegriff ist der Mengenbegriff zu unterscheiden. Nicht alle Klassen sind automatisch auch Mengen, weil Mengen zusätzliche Bedingungen erfüllen müssen. Mengen sind aber stets Klassen und werden daher auch in der Praxis in Klassenschreibweise notiert. (de) 집합론에서 모임 또는 클래스(영어: class)는 특정한 성질을 만족하는 집합(혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것이다. 모임은 지나치게 커서 집합이 아닐 수 있으며, 이렇게 집합이 아닌 모임을 고유 모임(固有모임, 영어: proper class)이라고 한다. (ko) Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność posiadaną przez wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru. Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy. (pl) Em teoria dos conjuntos, uma classe (também chamada coleção ou família) é uma coleção (não necessariamente um conjunto, por exemplo a classe de todos os conjuntos) constituída de outros conjuntos (ou outros objetos matemáticos) de um espaço dado. Isto é, uma classe é um conjunto cujos elementos são outros conjuntos. Exemplo Seja um espaço amostral e uma classe de subconjuntos de . Se satisfaz as propriedades P1. P2. Se , então P3. Se , então Então diremos que é uma álgebra de subconjuntos de . (pt) Клас — термін, що вживається в математиці в основному як синонім терміна «множина» для позначення довільних сукупностей об'єктів, що володіють певною властивістю або ознакою (наприклад, в алгебрі — класи еквівалентності). Іноді класами називають сукупності, елементами яких є множини. У деяких випадках під впливом аксіоматичної теорії множин термін «клас» застосовується для того, щоб підкреслити, що дана сукупність виявляється власне класом, а не множиною у вузькому сенсі (наприклад, в алгебрі — примітивні класи універсальних алгебр). Теоретико-множинні операції над класами визначаються так само, як і над множинами. (uk) Una classe, en teoria de conjunts i matemàtiques, és una col·lecció de conjunts o altres objectes matemàtics que poden ser definits sense ambigüitats per una propietat que comparteixen tots els seus membres. Cada conjunt és una classe, no importa quina fundació es triï. Una classe que no és un conjunt (informalment en Zermelo-Fraenkel) s'anomena una classe pròpia, i una classe que és un conjunt de vegades s'anomena una classe petita. Per exemple, la classe tots els nombres ordinals, així com la classe de tots els conjunts, són classe pròpies en molts sistemes formals. (ca) In set theory and its applications throughout mathematics, a class is a collection of sets (or sometimes other mathematical objects) that can be unambiguously defined by a property that all its members share. Classes act as a way to have set-like collections while differing from sets so as to avoid Russell's paradox (see ). The precise definition of "class" depends on foundational context. In work on Zermelo–Fraenkel set theory, the notion of class is informal, whereas other set theories, such as von Neumann–Bernays–Gödel set theory, axiomatize the notion of "proper class", e.g., as entities that are not members of another entity. (en) En teoría de conjuntos, lógica de clases y sus aplicaciones en matemáticas, una clase es una familia de conjuntos o colección de conjuntos (u otros objetos matemáticos) que no necesariamente es un conjunto. El concepto de clase aparece al intentar «agrupar» todos los conjuntos (u objetos) que comparten una cierta propiedad. Ejemplos de clases propias son la clase universal, la clase R de la paradoja de Russell o la clase de todos los ordinales. (es) En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble. Les deux termes sont parfois employés comme synonymes, mais la théorie des ensembles distingue ces deux notions. Un ensemble peut être vu comme une collection d'objets, mais aussi comme un objet mathématique, qui en particulier peut lui-même appartenir à un autre ensemble. Ce n'est pas forcément le cas d'une classe, qui est une collection d'objets que l'on peut définir, dont on peut donc parler, mais qui ne forme pas nécessairement un ensemble. Quand une classe n'est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors pas être élément d'une classe (ni, a fortiori, d'un ensemble). (fr) Nella moderna teoria degli insiemi, per classe si intende una generica collezione di oggetti che possono essere univocamente identificati (per esempio, tramite una proprietà che li accomuni). Tutti gli insiemi sono classi, ma non è vero il contrario. Una classe che non sia un insieme si dice classe propria. La distinzione tra classe e insieme è necessaria per evitare i paradossi che emergono dalla teoria ingenua degli insiemi, come il paradosso di Russell. (it) 集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。 （どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。 (ja) In de verzamelingenleer en de toepassingen daarvan in de wiskunde is een klasse een collectie van verzamelingen (van soms andere wiskundige objecten) die eenduidig gedefinieerd kan worden door een eigenschap die alle leden van de collectie delen. De precieze definitie van "klasse" hangt af van de context. In werk over de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, is het begrip klasse informeel, terwijl in ander theorieën, zoals de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer het begrip "klasse" door axioma's wordt onderbouwd. (nl) Inom mängdlära och dess tillämpningar inom matematiken, är en klass en samling av uppsättningar (eller ibland andra matematiska objekt) som entydigt kan definieras av en egenskap som alla dess medlemmar delar. Den exakta definitionen av "klass" beror på grundläggande sammanhang. Inom Zermelo-Fraenkels mängdteori, är begreppet klass informellt, medan andra teorier, såsom , axiomerar begreppet "äkta klass", exempelvis som enheter som inte är medlemmar i en annan enhet. (sv) 在集合論及其數學應用中，類是集合（或其他數學物件）的搜集（英語：collection），可以依所有成員所共享的性質被無歧定義。有些類是集合（例如由所有偶數構成的類），但有些則不是（如所有序數所構成的類或所有集合所構成的類）。一個不是集合的類被稱之為真類。一个是集合的类被称为“小类”。 在數學裡，有許多物件對集合而言太大，而必須以類來描述，像是大的範疇和超實數的類體之類等。要證明一給定「事物」為一真類，一般的做法是證明此一「事物」至少有著如序數一般多的元素。有關此一證明的例子，請參見。 真類不能是一個集合或者是一個類的元素，而且不受ZF集合論中的公理所限制；因此避免掉了許多樸素集合論中的悖論。反而，這些悖論成了證明某一個類是否為真類的方法之一。例如，羅素悖論可以證明由所有不包含集合自身的集合所構成的類是一個真類，而布拉利-福尔蒂悖论則可證明所有序數所構成的類是一個真類。 標準的ZF集合論公理不會論及到類；而在元語言中，類只作為邏輯公式的等價類而存在。馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論則採取了另一種方式；類在此一理論中是基礎的物件，而集合則被定義為可以是其他某些類的元素的類。真類，則為不可以是其他任何類的元素的類。 (zh) Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определённым свойством или признаком. Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом других семейств. (ru)
rdfs:label Classe (matemàtiques) (ca) Třída (matematika) (cs) Klasse (Mengenlehre) (de) Class (set theory) (en) Clase (teoría de conjuntos) (es) Kelas (teori himpunan) (in) Classe (matematica) (it) Classe (mathématiques) (fr) 모임 (집합론) (ko) クラス (集合論) (ja) Klasse (verzamelingenleer) (nl) Klasa (matematyka) (pl) Classe (teoria dos conjuntos) (pt) Klass (matematik) (sv) Класс (математика) (ru) 类 (数学) (zh) Клас (теорія множин) (uk)
owl:sameAs freebase:Class (set theory) yago-res:Class (set theory) wikidata:Class (set theory) dbpedia-ca:Class (set theory) dbpedia-cs:Class (set theory) dbpedia-da:Class (set theory) dbpedia-de:Class (set theory) dbpedia-es:Class (set theory) dbpedia-et:Class (set theory) dbpedia-fa:Class (set theory) dbpedia-fi:Class (set theory) dbpedia-fr:Class (set theory) dbpedia-he:Class (set theory) dbpedia-hr:Class (set theory) dbpedia-hu:Class (set theory) http://hy.dbpedia.org/resource/Դաս_(բազմությունների_տեսություն) dbpedia-id:Class (set theory) dbpedia-it:Class (set theory) dbpedia-ja:Class (set theory) dbpedia-ko:Class (set theory) dbpedia-lmo:Class (set theory) dbpedia-nl:Class (set theory) dbpedia-nn:Class (set theory) dbpedia-pl:Class (set theory) dbpedia-pt:Class (set theory) dbpedia-ro:Class (set theory) dbpedia-ru:Class (set theory) dbpedia-sl:Class (set theory) dbpedia-sv:Class (set theory) dbpedia-uk:Class (set theory) dbpedia-zh:Class (set theory) https://global.dbpedia.org/id/241Ej
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Class_(set_theory)?oldid=1094089364&ns=0
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Class_(set_theory)
is dbo:wikiPageDisambiguates of dbr:Class
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:Proper_class dbr:Proper_classes dbr:Proper_subclass dbr:Class_(mathematics) dbr:Small_class dbr:Mathematical_class dbr:Strict_subclass dbr:Subclass_(sets)
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:Proper_class dbr:Elementary_class dbr:Enriched_category dbr:List_of_first-order_theories dbr:New_Foundations dbr:Metatheorem dbr:On_Numbers_and_Games dbr:Ontology_components dbr:UMBEL dbr:Von_Neumann_cardinal_assignment dbr:Bertrand_Russell's_philosophical_views dbr:Binary_relation dbr:Algebraic_semantics_(computer_science) dbr:History_of_the_function_concept dbr:Homogeneous_relation dbr:John_von_Neumann dbr:Paul_Bernays dbr:Rimhak_Ree dbr:Universe_(mathematics) dbr:Von_Neumann–Bernays–Gödel_set_theory dbr:Definable_real_number dbr:Derived_category dbr:Easton's_theorem dbr:Indiscrete_category dbr:Inner_model_theory dbr:Introduction_to_Mathematical_Philosophy dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Inverse_semigroup dbr:Limit_ordinal dbr:Limitation_of_size dbr:List_of_mathematical_logic_topics dbr:List_of_set_theory_topics dbr:Quasi-isometry dbr:Transfinite_induction dbr:Primitive_recursive_set_function dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Constructible_universe dbr:Mathematical_induction dbr:Gauss–Markov_theorem dbr:Order_type dbr:Semiset dbr:Tarski–Grothendieck_set_theory dbr:Topological_property dbr:Fraïssé_limit dbr:Fréchet–Urysohn_space dbr:Function_(mathematics) dbr:Georg_Cantor dbr:Glossary_of_graph_theory dbr:Glossary_of_set_theory dbr:Monoid dbr:Morphism dbr:Concept dbr:Concrete_category dbr:Conglomerate_(mathematics) dbr:Constructive_set_theory dbr:Continuity_set dbr:Epsilon-induction dbr:Equivalence_of_categories dbr:Equivalents_of_the_Axiom_of_Choice dbr:Operator_ideal dbr:Ordered_field dbr:Ordinal_arithmetic dbr:Locally_convex_topological_vector_space dbr:Combinatorics dbr:Comparability dbr:Completely_regular_semigroup dbr:Completeness_(order_theory) dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Frénicle_standard_form dbr:Pocket_set_theory dbr:Space_(mathematics) dbr:Subclass_(set_theory) dbr:Successor_cardinal dbr:Mathematics,_Form_and_Function dbr:Automorphism dbr:Axiom_of_limitation_of_size dbr:Axiom_schema_of_specification dbr:Adjoint_functors dbr:Tlingit_noun dbr:Well-founded_relation dbr:Disjunctive_sum dbr:Domain_of_a_function dbr:Fuzzy_concept dbr:Class dbr:Collection dbr:Hartogs_number dbr:Learning_classifier_system dbr:Linear_map dbr:Lisl_Gaal dbr:Nonlinear_system_identification dbr:Pointed_space dbr:Nilpotent_ideal dbr:Absolute_Infinite dbr:Dynkin_system dbr:Euclidean_domain dbr:Filter_(mathematics) dbr:Forcing_(mathematics) dbr:Nimber dbr:Cardinal_assignment dbr:Cardinal_number dbr:Cardinality dbr:Dichotomy dbr:Dictum_de_omni_et_nullo dbr:Discrete_category dbr:Family_of_sets dbr:Fractal-generating_software dbr:Graph_isomorphism dbr:Hilbert's_thirteenth_problem dbr:Product_(mathematics) dbr:Projective_module dbr:Property_(philosophy) dbr:Reflection_principle dbr:Regular_semigroup dbr:Residency_(medicine) dbr:Hierarchy dbr:Special_classes_of_semigroups dbr:Social_research dbr:Abelian_category dbr:Codomain dbr:Hereditarily_countable_set dbr:Hereditary_property dbr:Richard_Laver dbr:Transitive_set dbr:Reflective_subcategory dbr:Domain_of_discourse dbr:Axiom dbr:Axiom_of_global_choice dbr:Axiom_of_power_set dbr:Axiom_schema_of_replacement dbr:Boolean_algebra_(structure) dbr:Pompeiu_derivative dbr:Class_function dbr:Class_logic dbr:Class_of_groups dbr:Classification dbr:Classification_rule dbr:Group_theory dbr:Groupoid dbr:Injective_object dbr:Mex_(mathematics) dbr:Ontology_(information_science) dbr:Category_(mathematics) dbr:Category_of_groups dbr:Category_of_rings dbr:Category_theory dbr:Set_(mathematics) dbr:Set_theory dbr:Model_of_hierarchical_complexity dbr:Scientific_classification_(disambiguation) dbr:Singleton_(mathematics) dbr:Union_(set_theory) dbr:Variety_(universal_algebra) dbr:Von_Neumann_universe dbr:Near-semiring dbr:Universal_set dbr:Extremal_combinatorics dbr:Implementation_of_mathematics_in_set_theory dbr:List_of_unsolved_problems_in_mathematics dbr:Uniformizable_space dbr:Pointed_set dbr:Exact_category dbr:Existentially_closed_model dbr:Rees_matrix_semigroup dbr:Urelement dbr:S_(set_theory) dbr:Square_principle dbr:Reinhardt_cardinal dbr:Shattered_set dbr:Rathjen's_psi_function dbr:Θ_(set_theory) dbr:Ring_homomorphism dbr:Strict_2-category dbr:Proper_classes dbr:Proper_subclass dbr:Class_(mathematics) dbr:Small_class dbr:Mathematical_class dbr:Strict_subclass dbr:Subclass_(sets)
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Class_(set_theory)