Without loss of generality (original) (raw)
Bez újmy na obecnosti (BÚNO) je v matematice ustálený obrat používaný zejména v důkazech. Obvykle je používán v situacích, kdy se důkaz rozpadá na několik případů, které lze dokázat stejným či obdobným způsobem (například díky symetrii), a mluvčí touto frází dává najevo, že když si vybere a dokáže jeden z nich, dokáže tím vlastně zároveň i všechny ostatní a tím dokončí i důkaz jako celek.
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|---|---|
| dbo:abstract | دون فقد العمومية (بالإنجليزية: Without loss of generality) وتُكتَب في البراهين الرياضية اختصاراً WLOG، هي مصطلح شائع في الرياضيات، يُستخدم للدلالة على أن الافتراض الآتي وُضِعَ اختيارياً ليختزلَ إثبات الفرضية في حالة خاصة، دون أن يُؤثِّر إثباتُ هذه الحالة الخاصة في صحة البرهان كاملاً. غالباً ما تشمل الحالات الأخرى إثباتاً مُناظراً أو مكافئاً مُتشابهاً معه. كنتيجة، يُصبح الإثبات لحالة وحيدة كافٍ لإثبات جميع الحالات. في العديد من الحالات، يكون استخدام «دون فقد العمومية» مُتاحاً بوجود التناظر. فعلى سبيل المثال، إن كانت الخاصيَّة متناظرةً لأعدادٍ حقيقيَّةٍ، فإنه بالإمكان افتراض (دون فقد العمومية) أنَّ . بصفةٍ أكثرَ رياضية، إذا كانت الخاصية تُكافئ فإنَّ إثبات الخاصية عندما كافٍ لإثبات الخاصية عامَّةً. فيما دون ذلكَ من الحالاتِ، إذا انعدم وجود التكافؤ أو التناظر بين الخاصيّتين، ففي هذه الحالة يكون استخدام «دون فقد العمومية» غير صحيح لإثبات الخاصية. ويُعتَبر في هذه الحالة استدلالاً بمثالٍ، وهي مغالطة منطقية عبر إثبات إدعاءٍ باستخدام مثال غير شامل. (ar) Bez újmy na obecnosti (BÚNO) je v matematice ustálený obrat používaný zejména v důkazech. Obvykle je používán v situacích, kdy se důkaz rozpadá na několik případů, které lze dokázat stejným či obdobným způsobem (například díky symetrii), a mluvčí touto frází dává najevo, že když si vybere a dokáže jeden z nich, dokáže tím vlastně zároveň i všechny ostatní a tím dokončí i důkaz jako celek. (cs) Sense pèrdua de generalitat és una expressió usada en demostracions matemàtiques que s'utilitza abans d'introduir una suposició particular, de tal manera que el cas general pugui mostrar-se que és equivalent a aquest cas particular. Quan això succeeix, aquesta suposició o elecció particular és irrellevant per a la demostració, i presenta l'avantatge que permet reduir l'extensió de la demostració reduint el nombre de casos que cal analitzar. De vegades és recomanable indicar per què no existeix pèrdua de generalitat. Per exemple, si una funció és simètrica o periòdica pot ser més fàcil analitzar-la en un interval més petit. Així mateix, quan diverses variables tenen un paper similar, de vegades no fa falta treballar amb totes sinó que n'hi ha prou amb treballar amb una d'elles o amb unes poques. (ca) Sin pérdida de generalidad es una expresión utilizada en las demostraciones matemáticas y que introduce una suposición particular, de tal manera que el caso general pueda mostrarse que es equivalente a ese caso particular. Cuando esto sucede, dicha suposición o elección particular es irrelevante para la demostración, y presenta la ventaja de que permite reducir la extensión de la demostración reduciendo el número de casos que hay que analizar. A veces es recomendable indicar por qué no existe pérdida de generalidad. Por ejemplo, si una función es simétrica o periódica puede ser más fácil analizarla en un intervalo más pequeño. Asimismo, cuando varias variables tienen un papel similar, a veces no hace falta trabajar con todas sino que basta con trabajar con una de ellas o con unas pocas. (es) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, abgekürzt o. B. d. A., ist eine in mathematischen Beweisen vorkommende Formulierung. Darüber hinaus wird auch die Formulierung ohne Einschränkung der Allgemeinheit (o. E. d. A.) oder kurz ohne Einschränkung (o.E. oder als Ligatur Œ) verwendet. Mit diesen Formulierungen wird zum Ausdruck gebracht, dass eine Einschränkung (z. B. des Wertebereichs einer Variablen) nur zur Vereinfachung der Beweisführung vorausgesetzt wird (insbesondere zur Verringerung der Schreibarbeit), ohne dass die Gültigkeit der im Anschluss getroffenen Aussagen in Bezug auf die Allgemeinheit darunter leidet. Der Beweis wird nur für einen von mehreren möglichen Fällen geführt. Dies geschieht unter der Bedingung, dass die anderen Fälle in analoger Weise bewiesen werden können (z. B. bei Symmetrie). Durch o. B. d. A. können auch triviale Sonderfälle übergangen werden. (de) Sans perte de généralité (ou aussi : sans restreindre la généralité[réf. nécessaire]) est une expression fréquemment utilisée dans les démonstrations en mathématiques. Cette expression, généralement suivie par une supposition restrictive, indique que la démonstration se limite à un cas particulier, mais que les autres cas peuvent être établis par une démonstration analogue à celle du cas envisagé, ou même se ramener à ce cas. D'autres expressions comme « sans nuire à la généralité[réf. nécessaire] » ont la même signification. (fr) Without loss of generality (often abbreviated to WOLOG, WLOG or w.l.o.g.; less commonly stated as without any loss of generality or with no loss of generality) is a frequently used expression in mathematics. The term is used to indicate the assumption that follows is chosen arbitrarily, narrowing the premise to a particular case, but does not affect the validity of the proof in general. The other cases are sufficiently similar to the one presented that proving them follows by essentially the same logic. As a result, once a proof is given for the particular case, it is trivial to adapt it to prove the conclusion in all other cases. In many scenarios, the use of "without loss of generality" is made possible by the presence of symmetry. For example, if some property P(x,y) of real numbers is known to be symmetric in x and y, namely that P(x,y) is equivalent to P(y,x), then in proving that P(x,y) holds for every x and y, one may assume "without loss of generality" that x ≤ y. There is no loss of generality in this assumption, since once the case x ≤ y ⇒ P(x,y) has been proved, the other case follows by interchanging x and y : y ≤ x ⇒ P(y,x), and by symmetry of P, this implies P(x,y), thereby showing that P(x,y) holds for all cases. On the other hand, if neither such a symmetry nor another form of equivalence can be established, then the use of "without loss of generality" is incorrect and can amount to an instance of proof by example – a logical fallacy of proving a claim by proving a non-representative example. (en) 数学において、一般性を失わない（いっぱんせいをうしなわない）という表現は、命題の証明中にしばしば用いられるフレーズである。英語では「一般性を失わず（○○とする）」という意味合いで "without loss of generality" と表現され、しばしば W.l.o.g. や WLOG あるいは w.l.g. などと略される。 証明においては、与えられた条件を満足する個々の場合全てに通用する議論を行うべきであるが、問題によってはある特殊な場合の証明から他の全ての場合の証明が容易に導けることがある。このような場合に「（ある特殊な場合だけを考えても）一般性を失わない」として、それ以外の場合についての議論を省略することがある。 このフレーズが使われる状況には、なんらかの対称性が介在することが多い。例えば、同じ条件を満たす 2つの数 x, y に関する命題を x と y の大小関係に着目して証明するとき、x ≤ y の場合と y ≤ x の場合について議論しなければならないが、x ≤ y の場合の証明において x と y を入れ替えれば y ≤ x の場合の証明が得られるので「x ≤ y と仮定して一般性を失わない」と宣言した上で y ≤ x の場合における証明を省くことができる。例えば、シュールの不等式を証明する際には、この手法によって見通しが良くなる。 当然ではあるが、この表現を見たり書いたりした際には、本当に「一般性を失っていない」のかを確認しなくてはならない。省略した部分が自明とはいえないような場合であれば、その証明は完全であるとはいえない。 (ja) 일반성을 잃지 않고(영어: Without loss of generality)는 수학에서 자주 사용되는 표현이다. 이 용어는 그 다음에 나타나는 대상의 임의적인 선택이 전제를 특정 경우로 좁히지만 일반적으로 증명의 유효성에 영향을 미치지 않는다는 가정을 나타내는 데 사용된다. 명시되지 않은 다른 경우는 제시된 것과 기본적으로 동일하고 충분히 유사한 논리를 통해 증명한다. 결과적으로 특정 사례에 대한 증명이 일단 주어지면 다른 모든 사례에서 결론을 증명하기 위해 이를 적용하는 방법은 자명하다. 많은 사례에서 "일반성을 잃지 않고"의 사용은 대칭의 존재로 인해 가능하다. 예를 들어, 실수의 일부 성질 P (x, y)가 x 및 y에서 대칭인 것으로 알려진 경우, 즉 P (x, y)가 P (y, x)와 동치이면 모든 x 및 y 에 대해 P (x, y)를 증명할 때 "일반성을 잃지 않고" x ≤ y 라고 가정할 수 있다. x ≤ y ⇒ P (x, y) 경우가 일단 증명되면 y ≤ x ⇒ P (y, x )와 같이 x 와 y를 교환하여 다른 경우가 뒤따르고, P의 대칭에 의해 이는 P (x, y)를 의미하므로 P (x, y)가 모든 경우에 성립한다. 따라서 이 가정에서 일반성의 손실이 없다. 반면에 그러한 대칭(또는 다른 형태의 동치성)이 확립될 수 없는 경우 "일반성을 잃지 않고"의 사용은 올바르지 않으며 예시를 든 증명(en:proof by example)의 경우에 해당할 수 있다. 이는 비대표적인 예를 증명함으로써 주장을 증명하는 논리적 오류이다. (ko) In een wiskundig bewijs geeft de term zonder verlies van algemeenheid (z.v.v.a.) aan dat men een aanname maakt maar dat het bewijs nog steeds geldig is voor alle mogelijke gevallen. Voor de andere gevallen kan namelijk dezelfde redenering gebruikt worden, vaak door symmetrie. Zo kan men in een bewijs twee getallen a en b hebben waarvoor a < b of b < a geldt: het is mogelijk het bewijs te vervolgen onder de aanname dat a < b, aangezien het bewijs in het geval b < a op dezelfde manier zou verlopen — men kan de variabelen immers zo hernoemen dat de rollen van a en b worden omgewisseld. (nl) Sem perda de generalidade (também abreviado para SPDG; menos comumente escrito como sem qualquer perda de generalidade) é uma expressão frequentemente usada em matemática. O termo é usado para indicar que a suposição que se segue é escolhida arbitrariamente, restringindo a premissa a um caso particular, mas não afeta a validade da prova em geral. Os outros casos também são comprovados por alguma simetria — ou outra equivalência ou semelhança. Como resultado, uma vez que uma prova é fornecida para o caso particular, é trivial adaptá-la para provar a conclusão em todos os outros casos. Em muitos cenários, o uso de "sem perda de generalidade" é possibilitado pela presença de simetria. Por exemplo, se alguma propriedade de números reais é conhecida por ser simétrica em e , ou seja, que é equivalente a , então, ao provar que vale para cada e , pode-se supor, "sem perda de generalidade", que . Não há perda de generalidade nesta suposição, uma vez que o caso foi provado, o outro caso segue por , mostrando assim que é válido para todos os casos. Por outro lado, se tal simetria (ou outra forma de equivalência) não puder ser estabelecida, o uso de "sem perda de generalidade" é incorreto e pode equivaler a um prova por exemplo — uma falácia lógica de provar uma afirmação provando um exemplo não representativo. (pt) Bez straty ogólności (rzadziej bez utraty ogólności, czasami skracane do b.s.o.) jest często używanym wyrażeniem w matematyce. Termin ten jest wykorzystywany do wskazania, że następujące założenie jest wybrane arbitralnie, zawężając dowodzenie twierdzenia do konkretnego przypadku, ale nie wpływa ono na ważność dowodu w ogóle. Pozostałe przypadki są na tyle podobne do wybranego, że ich dowód jest bardzo podobny lub są one z wybranym równoważne. W rezultacie po przedstawieniu dowodu w jednym, konkretnym przypadku pozostałe stają się trywialne. Często użycie „bez utraty ogólności” jest możliwe dzięki symetrii. Na przykład, jeśli wiadomo, że jakaś własność P(x, y) liczb rzeczywistych jest symetryczna, czyli P(x, y) jest równoważna P(y, x), to w dowodzie, że własność P(x, y) jest prawdziwa dla każdego x i y, można „bez utraty ogólności” założyć, że x ≤ y. Takie przejście jest uprawnione, ponieważ jeżeli udowodniony został przypadek x ≤ y ⇒ P (x, y), to dzięki symetrii prawdziwy jest też drugi przypadek, który otrzymujemy poprzez zamianę x i y: y ≤ x ⇒ P(y, x), pokazując tym samym, że własność P(x, y) jest prawdziwa we wszystkich przypadkach. Z drugiej strony, jeśli takiej symetrii (lub innej formy równoważności) nie można stwierdzić, to użycie „bez utraty ogólności” jest nieuprawnione i może prowadzić do błędów poprzez wyciąganie wniosków o całości z konkretnych przypadków. (pl) 不失一般性（without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG或w.l.o.g.）是数学中一个常见的表达。其被用在证明中将前提条件明确到个例上时，说明该个例能代表普遍情况，而非一种特例。 (zh) |
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(fr) In een wiskundig bewijs geeft de term zonder verlies van algemeenheid (z.v.v.a.) aan dat men een aanname maakt maar dat het bewijs nog steeds geldig is voor alle mogelijke gevallen. Voor de andere gevallen kan namelijk dezelfde redenering gebruikt worden, vaak door symmetrie. Zo kan men in een bewijs twee getallen a en b hebben waarvoor a < b of b < a geldt: het is mogelijk het bewijs te vervolgen onder de aanname dat a < b, aangezien het bewijs in het geval b < a op dezelfde manier zou verlopen — men kan de variabelen immers zo hernoemen dat de rollen van a en b worden omgewisseld. (nl) 不失一般性（without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG或w.l.o.g.）是数学中一个常见的表达。其被用在证明中将前提条件明确到个例上时，说明该个例能代表普遍情况，而非一种特例。 (zh) دون فقد العمومية (بالإنجليزية: Without loss of generality) وتُكتَب في البراهين الرياضية اختصاراً WLOG، هي مصطلح شائع في الرياضيات، يُستخدم للدلالة على أن الافتراض الآتي وُضِعَ اختيارياً ليختزلَ إثبات الفرضية في حالة خاصة، دون أن يُؤثِّر إثباتُ هذه الحالة الخاصة في صحة البرهان كاملاً. غالباً ما تشمل الحالات الأخرى إثباتاً مُناظراً أو مكافئاً مُتشابهاً معه. كنتيجة، يُصبح الإثبات لحالة وحيدة كافٍ لإثبات جميع الحالات. (ar) Sense pèrdua de generalitat és una expressió usada en demostracions matemàtiques que s'utilitza abans d'introduir una suposició particular, de tal manera que el cas general pugui mostrar-se que és equivalent a aquest cas particular. Quan això succeeix, aquesta suposició o elecció particular és irrellevant per a la demostració, i presenta l'avantatge que permet reduir l'extensió de la demostració reduint el nombre de casos que cal analitzar. (ca) Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, abgekürzt o. B. d. A., ist eine in mathematischen Beweisen vorkommende Formulierung. Darüber hinaus wird auch die Formulierung ohne Einschränkung der Allgemeinheit (o. E. d. A.) oder kurz ohne Einschränkung (o.E. oder als Ligatur Œ) verwendet. Durch o. B. d. A. können auch triviale Sonderfälle übergangen werden. (de) Sin pérdida de generalidad es una expresión utilizada en las demostraciones matemáticas y que introduce una suposición particular, de tal manera que el caso general pueda mostrarse que es equivalente a ese caso particular. Cuando esto sucede, dicha suposición o elección particular es irrelevante para la demostración, y presenta la ventaja de que permite reducir la extensión de la demostración reduciendo el número de casos que hay que analizar. (es) Without loss of generality (often abbreviated to WOLOG, WLOG or w.l.o.g.; less commonly stated as without any loss of generality or with no loss of generality) is a frequently used expression in mathematics. The term is used to indicate the assumption that follows is chosen arbitrarily, narrowing the premise to a particular case, but does not affect the validity of the proof in general. The other cases are sufficiently similar to the one presented that proving them follows by essentially the same logic. As a result, once a proof is given for the particular case, it is trivial to adapt it to prove the conclusion in all other cases. (en) 일반성을 잃지 않고(영어: Without loss of generality)는 수학에서 자주 사용되는 표현이다. 이 용어는 그 다음에 나타나는 대상의 임의적인 선택이 전제를 특정 경우로 좁히지만 일반적으로 증명의 유효성에 영향을 미치지 않는다는 가정을 나타내는 데 사용된다. 명시되지 않은 다른 경우는 제시된 것과 기본적으로 동일하고 충분히 유사한 논리를 통해 증명한다. 결과적으로 특정 사례에 대한 증명이 일단 주어지면 다른 모든 사례에서 결론을 증명하기 위해 이를 적용하는 방법은 자명하다. 반면에 그러한 대칭(또는 다른 형태의 동치성)이 확립될 수 없는 경우 "일반성을 잃지 않고"의 사용은 올바르지 않으며 예시를 든 증명(en:proof by example)의 경우에 해당할 수 있다. 이는 비대표적인 예를 증명함으로써 주장을 증명하는 논리적 오류이다. (ko) 数学において、一般性を失わない（いっぱんせいをうしなわない）という表現は、命題の証明中にしばしば用いられるフレーズである。英語では「一般性を失わず（○○とする）」という意味合いで "without loss of generality" と表現され、しばしば W.l.o.g. や WLOG あるいは w.l.g. などと略される。 証明においては、与えられた条件を満足する個々の場合全てに通用する議論を行うべきであるが、問題によってはある特殊な場合の証明から他の全ての場合の証明が容易に導けることがある。このような場合に「（ある特殊な場合だけを考えても）一般性を失わない」として、それ以外の場合についての議論を省略することがある。 このフレーズが使われる状況には、なんらかの対称性が介在することが多い。例えば、同じ条件を満たす 2つの数 x, y に関する命題を x と y の大小関係に着目して証明するとき、x ≤ y の場合と y ≤ x の場合について議論しなければならないが、x ≤ y の場合の証明において x と y を入れ替えれば y ≤ x の場合の証明が得られるので「x ≤ y と仮定して一般性を失わない」と宣言した上で y ≤ x の場合における証明を省くことができる。例えば、シュールの不等式を証明する際には、この手法によって見通しが良くなる。 (ja) Bez straty ogólności (rzadziej bez utraty ogólności, czasami skracane do b.s.o.) jest często używanym wyrażeniem w matematyce. Termin ten jest wykorzystywany do wskazania, że następujące założenie jest wybrane arbitralnie, zawężając dowodzenie twierdzenia do konkretnego przypadku, ale nie wpływa ono na ważność dowodu w ogóle. Pozostałe przypadki są na tyle podobne do wybranego, że ich dowód jest bardzo podobny lub są one z wybranym równoważne. W rezultacie po przedstawieniu dowodu w jednym, konkretnym przypadku pozostałe stają się trywialne. (pl) Sem perda de generalidade (também abreviado para SPDG; menos comumente escrito como sem qualquer perda de generalidade) é uma expressão frequentemente usada em matemática. O termo é usado para indicar que a suposição que se segue é escolhida arbitrariamente, restringindo a premissa a um caso particular, mas não afeta a validade da prova em geral. Os outros casos também são comprovados por alguma simetria — ou outra equivalência ou semelhança. Como resultado, uma vez que uma prova é fornecida para o caso particular, é trivial adaptá-la para provar a conclusão em todos os outros casos. (pt) |
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