hyperkomplekse tall – Store norske leksikon (original) (raw)
Hyperkomplekse tall er en generalisering av de komplekse tallene. Et hyperkomplekst tall kan skrives som en sum av flere grunnelementer, på samme måte som et komplekst tall skrives som en sum av et reelt tall og et imaginært tall.
Faktaboks
Uttale
hˈyperkomplekse tall
Definisjon
Et hyperkomplekst system, også kalt en algebra, er et algebraisk system med basiselementer \(u_1, u_2, \dots, u_n\) slik at ethvert element i det gitte systemet kan skrives (entydig) på formen \(x = \alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \dots + \alpha_nu_n\). Disse basiselementene kalles hyperkomplekse tall. Koeffisientene \(\alpha_2, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) kan være reelle eller komplekse tall, eller de kan tilhøre en vilkårlig tallkropp.
Betegnelsen hyperkomplekse tall kommer av at dette er en generalisering av de vanlige komplekse tallene \(a + bi\) med to basiselementer, \(1\) og \(i\), og reelle koeffisienter.
I alminnelighet er multiplikasjonen av hyperkomplekse tall ikke kommutativ, det vil si at faktorenes orden ikke er likegyldig.
Kvaternioner
De mest kjente ikke-kommutative hyperkomplekse tallene er kvaternionene, som ble oppdaget og studert av William R. Hamilton. De har formen \(x = \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot i + \alpha_3 \cdot j + \alpha_4 \cdot k\), der koeffisientene \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\) er reelle tall, og basiselementene \(i , j\) og \(k\) kan multipliseres slik:
\(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
\(ij = -ji = k\)
\(jk = -kj = i\)
\(ki = -ik = j\)
Kvaternioner har flere anvendelser innen både tallteori og fysikk, særlig kvantemekanikk.